Лице на триъгълник

Лицето на триъгълник можем да намерим по два основни начина. Или допълваме триъгълника до успоредник и пресмятаме лицето на този успоредник, или използваме формулата на Херон.

Допълване до успоредник

Първо ще видим как пресмятахме лицето на триъгълник, когато беше правоъгълен. Допълнихме триъгълника до правоъгълник, пресметнахме лицето на този правоъгълник и резултата разделихме на две. Графично това показва следната фигура:

Триъгълник, който не е правоъгълен, обаче не можем така лесно да допълним до правоъгълник. Можем да го допълним до успоредник. Нека е даден следният триъгълник ABC:

Допълваме триъгълника до успоредник, като от точката C прекараме отсечка, успоредна на отсечката AB и със същата дължина. След това от точката A прекарваме отсечка, успоредна на отсечката BC и със същата дължина. Получаваме този успоредник:

Въпросът е как да пресметнем лицето на този успоредник. Не можем да умножим две съседни страни, както при правоъгълник. От успоредника обаче лесно можем да направим правоъгълник със същото лице. Откроените в червено триъгълници имат равни лица:

Ако триъгълника AED преместим на мястото на триъгълника BFC, получаваме правоъгълник със същото лице:

Това вече е правоъгълник и лицето му е равно на произведението от дължините на две съседни страни. Но каква е дължината на страната AE или BF? Ако погледнеш внимателно удебелено откроения първоначален триъгълник ABC, ще видиш, че дължината на страната AE е точно равна на дължината на височината на триъгълника от върха C. Какво можем да запишем тогава за лицето на този правоъгълник? Че лицето е равно на:

$$S_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

където h_c е височината от върха C. Тогава лицето на триъгълника е половината от това лице:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Окончателна формула

Формулата от предишния раздел, разбира се, можем да обобщим за коя да е от трите страни:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Тук h_a, h_b и h_c са височините към страните a, b и c.

Формула на Херон

Ако не знаеш дължината на никоя височина в триъгълника, но знаеш дължините на всичките му страни, можеш да пресметнеш лицето по формулата на Херон. Тя гласи:

$$S_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$

където

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Калкулатор: пресметни лицето на триъгълник