Üçgenin Alanı

Üçgenin alanını iki ana yöntemle bulabiliriz. Ya üçgeni paralelkenara tamamlayıp bu paralelkenarın alanını hesaplarız ya da Heron formülünü kullanırız.

Paralelkenara Tamamlama

Önce, dik üçgen söz konusu olduğunda üçgenin alanını nasıl hesapladığımıza bakalım. Üçgeni bir dikdörtgene tamamlamış, bu dikdörtgenin alanını hesaplamış ve sonucu ikiye bölmüştük. Bunu aşağıdaki şekil gösteriyor:

Ancak dik olmayan bir üçgeni bu kadar kolay dikdörtgene tamamlayamayız. Fakat paralelkenara tamamlayabiliriz. Şu ABC üçgenini alalım:

Bu üçgeni paralelkenara şöyle tamamlarız: C noktasından AB doğru parçasına paralel ve aynı uzunlukta bir doğru parçası çizeriz. Sonra A noktasından BC doğru parçasına paralel ve aynı uzunlukta bir doğru parçası çizeriz. Şu paralelkenarı elde ederiz:

Soru, bu paralelkenarın alanını nasıl hesaplayacağımızdır. Dikdörtgendeki gibi yan yana iki kenarı çarpamayız. Ama bu paralelkenardan, paralelkenarla aynı alana sahip bir dikdörtgeni kolayca oluşturabiliriz. Kırmızıyla vurgulanmış şu üçgenlerin alanları eşittir:

AED üçgenini BFC üçgeninin yerine taşırsak aynı alana sahip bir dikdörtgen elde ederiz:

Bu artık bir dikdörtgendir ve alanı yan yana iki kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir. Peki AE ya da BF kenarının uzunluğu nedir? Kalın çizilmiş asıl ABC üçgenine dikkatle bakarsan, AE kenarının uzunluğunun tam olarak üçgenin C köşesinden inen yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu görürsün. Öyleyse bu dikdörtgenin alanı hakkında ne yazabiliriz? Alanı şuna eşittir:

$$A(ABFE)=|h_c|\cdot |AB|,$$

burada h_c, C köşesinden inen yüksekliktir. Üçgenin alanı da bu alanın yarısına eşittir:

$$A(ABC)=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Son Formül

Önceki bölümdeki formülü elbette üç kenardan herhangi birine genelleyebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}A(ABC)& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A(ABC)& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A(ABC)& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Burada h_a, h_b ve h_c sırasıyla a, b ve c kenarlarına ait yükseklikleri gösterir.

Heron Formülü

Üçgende hiçbir yüksekliğin uzunluğunu bilmiyor, ama bütün kenarların uzunluklarını biliyorsan alanı Heron formülüyle hesaplayabilirsin. Şu geçerlidir:

$$A(ABC)=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

burada

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Hesap Makinesi: Üçgenin Alanını Hesapla