Areal av en trekant

Arealet av en trekant kan vi finne på to hovedmåter. Enten utvider vi trekanten til et parallellogram og regner ut arealet av dette parallellogrammet, eller så bruker vi Herons formel.

Utvidelse til et parallellogram

Først ser vi på hvordan vi regnet ut arealet av en trekant i tilfellet der det var en rettvinklet trekant. Vi utvidet trekanten til et rektangel, regnet ut arealet av dette rektangelet og delte resultatet på to. Grafisk viser følgende figur det:

Men en trekant som ikke er rettvinklet, kan vi ikke så lett utvide til et rektangel. Men vi kan utvide den til et parallellogram. La oss altså ta følgende trekant ABC:

Vi utvider denne trekanten til et parallellogram ved å trekke et linjestykke fra punktet C som er parallelt med linjestykket AB og like langt. Så trekker vi et linjestykke fra punktet A slik at det er parallelt med linjestykket BC og like langt. Da får vi dette parallellogrammet:

Spørsmålet er hvordan vi regner ut arealet av dette parallellogrammet. Vi kan ikke multiplisere to nabosider som i tilfellet med rektangelet. Men av dette parallellogrammet kan vi enkelt lage et rektangel som har samme areal som parallellogrammet. Det gjelder at følgende trekanter som er framhevet med rødt, har samme areal:

Hvis vi flytter trekanten AED til stedet der trekanten BFC er, får vi et rektangel med samme areal:

Dette er nå et rektangel, og arealet av det er lik produktet av lengdene av to nabosider. Men hva er lengden av siden AE eller BF? Når du ser nøye på den opprinnelige trekanten ABC som er framhevet med tykke streker, ser du at lengden av siden AE nøyaktig svarer til lengden av høyden i trekanten fra hjørnet C. Så hva kan vi skrive om arealet av dette rektangelet? At arealet er lik:

$$A_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

der h_c er høyden fra hjørnet C. Arealet av trekanten er da lik halvparten av dette arealet:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

Sluttformelen

Formelen fra forrige avsnitt kan vi selvfølgelig generalisere til hvilken som helst av de tre sidene:

$$\begin{array}{rcl}{A}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ A_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Her betegner h_a, h_b og h_c høydene på sidene a, b og c.

Herons formel

Hvis du ikke kjenner lengden av noen høyde i trekanten, men kjenner lengdene av alle sidene, kan du regne ut arealet med Herons formel. Det gjelder at:

$$A_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

der

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Kalkulator: regn ut arealet av en trekant