Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte van een driehoek kunnen we op twee hoofdmanieren vinden. Of we vullen de driehoek aan tot een parallellogram en berekenen de oppervlakte van dat parallellogram, of we gebruiken de formule van Heron.

Aanvullen tot een parallellogram

Eerst kijken we hoe we de oppervlakte van een driehoek berekenden in het geval van een rechthoekige driehoek. We vulden de driehoek aan tot een rechthoek, berekenden de oppervlakte van die rechthoek en deelden het resultaat door twee. Grafisch laat de volgende afbeelding dat zien:

Maar een driehoek die niet rechthoekig is, kunnen we niet zo gemakkelijk aanvullen tot een rechthoek. We kunnen hem wel aanvullen tot een parallellogram. We nemen dus de volgende driehoek ABC:

Deze driehoek vullen we aan tot een parallellogram door vanuit punt C een lijnstuk te trekken dat evenwijdig is aan lijnstuk AB en ook even lang is. Dan trekken we een lijnstuk vanuit punt A dat evenwijdig is aan lijnstuk BC en ook even lang is. We krijgen dit parallellogram:

De vraag is hoe we de oppervlakte van dit parallellogram berekenen. We kunnen niet twee naburige zijden vermenigvuldigen zoals bij een rechthoek. Maar uit dit parallellogram kunnen we gemakkelijk een rechthoek maken die dezelfde oppervlakte heeft als het parallellogram. Er geldt dat de volgende rood gemarkeerde driehoeken dezelfde oppervlakte hebben:

Als we driehoek AED verschuiven naar de plaats van driehoek BFC, krijgen we een rechthoek met dezelfde oppervlakte:

Dit is nu een rechthoek en zijn oppervlakte is dus gelijk aan het product van de lengtes van twee naburige zijden. Maar wat is de lengte van zijde AE of BF? Als je goed kijkt naar de vetgedrukte oorspronkelijke driehoek ABC, zie je dat de lengte van zijde AE precies overeenkomt met de lengte van de hoogtelijn van de driehoek vanuit hoekpunt C. Wat kunnen we dus schrijven over de oppervlakte van deze rechthoek? Dat de oppervlakte gelijk is aan:

$${\text{opp.}}_{◻}=|h_c|\cdot |AB|,$$

waarbij h_c de hoogtelijn vanuit hoekpunt C is. De oppervlakte van de driehoek is dan gelijk aan de helft van deze oppervlakte:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{|h_c|\cdot |AB|}{2}.$$

De uiteindelijke formule

De formule uit de vorige paragraaf kunnen we natuurlijk generaliseren naar elk van de drie zijden:

$$\begin{array}{rcl}{\text{opp.}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_a|\cdot |a|}{2},\\ {\text{opp.}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_b|\cdot |b|}{2},\\ {\text{opp.}}_{\mathrm{△}}& =& \frac{|h_c|\cdot |c|}{2}.\end{array}$$

Waarbij h_a, h_b en h_c de hoogtelijnen op de zijden a, b en c aanduiden.

Formule van Heron

Als je de lengte van geen enkele hoogtelijn in de driehoek kent, maar wel de lengtes van alle zijden, kun je de oppervlakte berekenen met de formule van Heron. Er geldt:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)},$$

waarbij

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$

Rekenmachine: bereken zelf de oppervlakte van een driehoek