Frenado y distancia de frenado

Vas por la ciudad a cincuenta por hora y veinte metros delante de ti sale un niño corriendo de detrás de unos coches aparcados, tras una pelota. ¿Lograrás parar? El coche no se detiene en el momento en que ves al niño. Primero tienes que reaccionar y pisar el freno, y solo entonces empieza a decelerar. La distancia desde que ves el obstáculo hasta que te detienes se compone, por tanto, de dos partes:

• la distancia de reacción s_r, que recorre el coche antes de que el conductor empiece a frenar,
• la distancia de frenado s_f, que recorre desde que se pisa el freno hasta que se detiene.

El subíndice r viene de «reacción»; el otro, de «frenado». Juntas dan la distancia total:

$$s=s_r+s_f$$

Distancia de reacción

Antes de que el conductor reaccione ante el obstáculo transcurre el tiempo de reacción t_r. Tiene que darse cuenta de lo que pasa, decidirse, mover el pie del acelerador al freno y pisarlo. Un conductor descansado y concentrado lo consigue en aproximadamente 1 s, y por eso en la autoescuela se cuenta con un segundo. Un conductor cansado, o el que está contestando un mensaje, reacciona mucho más despacio. Quien a cincuenta por hora mira dos segundos el móvil recorre a ciegas casi 28 m.

Durante todo el tiempo de reacción la velocidad del coche no cambia, porque el conductor todavía no frena. La distancia de reacción es, pues, la distancia de un movimiento uniforme:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Convertimos cincuenta kilómetros por hora a metros por segundo, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y en un segundo de tiempo de reacción el coche recorre

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Casi catorce metros y el coche todavía ni ha empezado a frenar.

Distancia de frenado

En cuanto el conductor pisa el freno, el coche empieza a decelerar. Un buen coche sobre asfalto seco frena con una deceleración de aproximadamente 7 m/s²: cada segundo va 7 m/s más despacio. Tomamos como sentido positivo el de la marcha, y por eso la aceleración sale negativa, a = −7 m/s². Supongamos que no cambia durante el frenado. El frenado es entonces un movimiento uniformemente acelerado con aceleración negativa, que también se llama movimiento uniformemente decelerado.

El frenado empieza con la velocidad v a la que iba el coche y termina con velocidad cero. El tiempo no nos interesa, así que recurrimos a la relación sin tiempo, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. La velocidad inicial es v, la final es cero y la distancia es la distancia de frenado:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

El menos de la fórmula no tiene por qué asustarnos. La aceleración es negativa, también lo es el denominador y toda la fracción sale positiva, como corresponde a una distancia. Del menos y del valor negativo de a resulta un número positivo, la deceleración. Lo llamamos módulo de la aceleración $|a|$ y con él escribimos así la distancia de frenado:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Introducimos los números en la fórmula. Dejamos la velocidad como fracción para no redondear el resultado intermedio:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Las unidades cuadran: metros al cuadrado por segundo al cuadrado divididos entre metros por segundo al cuadrado dan metros. Desde cincuenta por hora el coche frena en 13,8 m, casi la misma distancia que recorrió durante el tiempo de reacción.

Tienta sustituir la velocidad directamente en kilómetros por hora. Saldría $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, pero eso no son metros ni ninguna otra cosa, porque los kilómetros por hora no se simplifican con los metros por segundo al cuadrado. Además, ciento ochenta metros de distancia de frenado desde cincuenta deberían levantar sospechas ya en la estimación, pues es casi la longitud de dos campos de fútbol.

¿Cuánto tiempo dura el frenado? De la fórmula v = v₀ + a · t, con velocidad final cero, obtenemos con el mismo razonamiento

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Desde que se pisa el freno hasta que el coche se detiene pasan casi dos segundos.

Todo el movimiento lo muestra la gráfica de la velocidad. Durante el tiempo de reacción t_r es horizontal, el coche va con velocidad constante. Después baja en línea recta hasta cero. La distancia es el área bajo la gráfica: el rectángulo azul es la distancia de reacción y el triángulo rojo, la de frenado. El área del triángulo es la mitad del producto de los catetos, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, igual que con la fórmula.

¿Nos detendremos antes de llegar al niño?

Calculamos la distancia total paso a paso. Primero los datos; la velocidad la pasamos enseguida a metros por segundo:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

La distancia total es, en general, la suma de las dos partes:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Las dos partes ya las tenemos calculadas:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Desde el momento en que ves al niño, el coche recorre unos 28 m, más o menos seis longitudes de un turismo. No conseguirás detenerte antes de llegar al niño, que salió corriendo a veinte metros de ti. Cuando llegues hasta él, tras el tiempo de reacción solo llevarás seis metros frenando y seguirás yendo a casi cuarenta por hora.

El doble de velocidad, cuatro veces más distancia de frenado

¿Y si fueras a cien por hora? La velocidad es 100 km/h ≈ 27,8 m/s. En un segundo de tiempo de reacción recorres 27,8 m, el doble que desde cincuenta. La distancia de frenado es

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

cuatro veces más que desde cincuenta. En total el coche recorre 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, tres veces más que desde cincuenta.

¿Por qué justo cuatro veces? En la fórmula de la distancia de frenado la velocidad está elevada al cuadrado, y el doble elevado al cuadrado es el cuádruple: (2 · v)² = 4 · v². La distancia de reacción crece con la velocidad solo de forma directamente proporcional, así que cuanto más deprisa vas, mayor parte de la distancia total corresponde al frenado. En una autopista francesa, a 130 km/h, el coche recorre durante el tiempo de reacción 36 m y frena otros 93 m. Desde que ve el obstáculo hasta que se detiene necesita, pues, casi ciento treinta metros, más que un campo de fútbol entero.

En la gráfica se ve todavía mejor. Aquí contamos el tiempo desde que se pisa el freno. Desde cien, la gráfica empieza el doble de alta y, como la velocidad se pierde igual de deprisa, 7 m/s por segundo, el frenado dura también el doble. El triángulo es el doble de alto y el doble de ancho, y por eso su área es cuatro veces mayor. Las líneas blancas, junto con la roja, lo dividen en cuatro triángulos, cada uno igual al rojo.

Treinta por hora delante del colegio

Junto a los colegios la velocidad está limitada a 30 km/h. ¿Tiene sentido cuando se trata de solo veinte kilómetros por hora de diferencia? Desde treinta, es decir, desde 8,3 m/s, el coche recorre durante el tiempo de reacción 8,3 m y la distancia de frenado es

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

El coche se detiene tras 13,3 m. Un conductor que va a cincuenta recorre solo durante el tiempo de reacción 13,9 m. Allí donde el conductor que iba a treinta ya estaría parado, el otro ni siquiera ha empezado a frenar y atropella al niño a cincuenta por hora, sin haber reducido nada.

¿Qué distancia de seguridad?

En una carretera secundaria vas a 90 km/h, es decir, a 25 m/s, detrás de otro coche que de repente frena con fuerza. Si los dos coches frenan igual, tienen también la misma distancia de frenado. Pero tú empiezas a frenar un tiempo de reacción más tarde y mientras tanto recorres 25 m a toda velocidad. La distancia de seguridad tiene que ser, por tanto, al menos tan grande como la distancia de reacción; si no, chocarás con el coche de delante.

Las autoescuelas aconsejan la regla de los dos segundos: cuando el coche de delante pase junto a un poste de la carretera, tú deberías llegar a él al menos dos segundos después. A noventa por hora son 50 m, el doble que la distancia de reacción. El margen viene bien, porque tus frenos pueden ser peores y el coche de delante puede detenerse contra un obstáculo mucho antes que en la distancia de frenado.

¿A qué velocidad iba?

La fórmula funciona también al revés. Un coche antiguo sin ABS, al frenar con fuerza, bloquea las ruedas y deja en la carretera una marca negra de frenada. Tras un accidente en carretera seca, la policía mide una marca de 25 m. El conductor afirma que iba a la velocidad permitida, cincuenta. ¿Dice la verdad? El enunciado es:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

De la fórmula de la distancia de frenado despejamos la velocidad. Multiplicamos ambos miembros por $2\cdot |a|$ y extraemos la raíz:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Sustituimos:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La raíz de metros al cuadrado por segundo al cuadrado da metros por segundo. El coche iba al menos a unos 67 km/h, nada de cincuenta. Desde cincuenta la marca mediría solo 13,8 m.

Calzada mojada y hielo

Sobre calzada mojada, sobre nieve y sobre hielo el coche decelera menos, porque los neumáticos se agarran peor a una superficie resbaladiza. La causa es el rozamiento y a ello llegaremos al tratar las fuerzas. Por ahora basta saber que la deceleración es menor. En la fórmula está en el denominador, y por eso la mitad de deceleración significa el doble de distancia de frenado. Valores orientativos y distancias de frenado desde cincuenta:

Sobre hielo, desde cincuenta te detienes tras casi cien metros. La distancia de reacción no depende de la superficie, solo de la velocidad y del conductor. Precisamente por eso en invierno se conduce más despacio y con más distancia de seguridad.

Calculadora de la distancia de frenado

Introduce la velocidad, el tiempo de reacción y la superficie de la carretera, y la calculadora hallará la distancia de reacción, la distancia de frenado, la distancia total y el tiempo desde que se ve el obstáculo hasta que el coche se detiene. La deceleración según la superficie corresponde a la tabla anterior y es solo orientativa: con neumáticos gastados o peores frenos será menor.

Al frenar, la velocidad disminuye de manera uniforme. El caso contrario lo encontramos todos los días, basta con dejar caer cualquier cosa: una piedra que cae gana cada segundo la misma cantidad de velocidad. Qué profundidad tiene un pozo si la piedra chapotea a los dos segundos, y por qué en la Luna un martillo y una pluma llegan al suelo a la vez, lo calcularemos en el siguiente artículo, Caída libre.