Remmen en remweg

Je rijdt met 50 km/h door de stad en twintig meter voor je rent tussen geparkeerde auto's vandaan een kind achter een bal aan. Kom je op tijd tot stilstand? De auto staat niet stil op het moment dat je het kind ziet. Eerst moet je reageren en de rem intrappen, en pas daarna begint hij te vertragen. De afstand vanaf het zien van het obstakel tot stilstand bestaat daarom uit twee delen:

• de reactieafstand s_r, die de auto aflegt voordat de bestuurder begint te remmen,
• de remweg s_rem, die hij aflegt vanaf het intrappen van de rem tot stilstand.

De index r staat voor reactie en de index rem voor remmen. Samen geven ze de totale afstand, de stopafstand:

$$s=s_r+s_{\mathrm{rem}}$$

Reactieafstand

Voordat de bestuurder op een obstakel reageert, verstrijkt de reactietijd t_r. Hij moet opmerken wat er gebeurt, een besluit nemen, zijn voet van het gas op de rem verplaatsen en die intrappen. Een uitgeruste en geconcentreerde bestuurder doet dat in ongeveer 1 s, en met één seconde wordt daarom ook op de rijschool gerekend. Een vermoeide bestuurder of iemand die net een bericht beantwoordt, reageert veel trager. Wie bij 50 km/h twee seconden naar zijn telefoon kijkt, legt blind bijna 28 m af.

Tijdens de hele reactietijd verandert de snelheid van de auto niet, de bestuurder remt immers nog niet. De reactieafstand is daarom de weg van een eenparige beweging:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Vijftig kilometer per uur rekenen we om naar meter per seconde, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en in één seconde reactietijd legt de auto de volgende afstand af:

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Bijna veertien meter en de auto is nog niet eens begonnen met remmen.

Remweg

Zodra de bestuurder op de rem trapt, begint de auto te vertragen. Een goede auto op droog asfalt remt met een vertraging van ongeveer 7 m/s², elke seconde rijdt hij 7 m/s langzamer. Als positieve richting nemen we de rijrichting en de versnelling komt daarom negatief uit, a = −7 m/s². We nemen aan dat die tijdens het remmen niet verandert. Remmen is dan een eenparig versnelde beweging met een negatieve versnelling, die ook wel eenparig vertraagde beweging heet.

Het remmen begint met de snelheid v waarmee de auto reed en eindigt met snelheid nul. De tijd interesseert ons niet, dus pakken we het verband zonder tijd, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. De beginsnelheid is v, de eindsnelheid nul en de afgelegde weg is de remweg:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_{\mathrm{rem}}/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_{\mathrm{rem}}/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_{\mathrm{rem}}\end{array}$$

Het minteken in de formule hoeft ons niet af te schrikken. De versnelling is negatief, dus ook de noemer is negatief en de hele breuk komt positief uit, zoals het bij een afgelegde weg hoort. Uit het minteken en de negatieve waarde van a ontstaat een positief getal, de vertraging. We noteren die als de grootte van de versnelling $|a|$ en schrijven de remweg ermee zo:

$$s_{\mathrm{rem}}=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

In de formule vullen we getallen in. De snelheid laten we als breuk staan, zodat we het tussenresultaat niet afronden:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{rem}}& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

De eenheden kloppen: meter in het kwadraat per seconde in het kwadraat gedeeld door meter per seconde in het kwadraat geeft meter. Vanaf 50 km/h komt de auto tot stilstand na 13,8 m, bijna even ver als hij tijdens de reactietijd aflegde.

Het is verleidelijk de snelheid meteen in kilometer per uur in te vullen. Er zou $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$ uitkomen, maar dat zijn geen meters en niets anders, omdat kilometer per uur niet wegvalt tegen meter per seconde in het kwadraat. Honderdtachtig meter remweg vanaf vijftig zou bovendien al bij het schatten argwaan moeten wekken, het is bijna de lengte van twee voetbalvelden.

Hoeveel tijd kost het remmen? Uit de formule v = v₀ + a · t krijgen we met eindsnelheid nul met dezelfde redenering

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Vanaf het intrappen van de rem tot stilstand verstrijken bijna twee seconden.

De hele beweging laat de snelheidsgrafiek zien. Tijdens de reactie t_r is hij horizontaal, de auto rijdt met constante snelheid. Daarna daalt hij langs een rechte lijn tot nul. De afgelegde weg is de oppervlakte onder de grafiek: de blauwe rechthoek is de reactieafstand, de rode driehoek de remweg. De oppervlakte van de driehoek is de helft van het product van de rechthoekszijden, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, net als uit de formule.

Staan we stil voor het kind?

De hele afstand rekenen we stap voor stap uit. Eerst de gegevens, de snelheid rekenen we meteen om naar meter per seconde:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

De totale afstand is in het algemeen de som van beide delen:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Beide delen hebben we al uitgerekend:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Vanaf het moment dat je het kind ziet, legt de auto ongeveer 28 m af, ruwweg zes autolengtes. Voor het kind dat twintig meter voor je rende, kom je niet meer tot stilstand. Tegen de tijd dat je bij hem bent, heb je na de reactietijd pas zes meter geremd en rijd je nog steeds bijna veertig.

Dubbele snelheid, vier keer zo lange remweg

En als je 100 km/h zou rijden op een weg buiten de bebouwde kom? De snelheid is 100 km/h ≈ 27,8 m/s. In een seconde reactietijd leg je 27,8 m af, twee keer zoveel als bij vijftig. De remweg is

$$s_{\mathrm{rem}}=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

vier keer zoveel als bij vijftig. In totaal legt de auto 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m af, drie keer zoveel als bij vijftig.

Waarom precies vier keer? De snelheid staat in de formule voor de remweg in het kwadraat en het dubbele in het kwadraat is vier keer zoveel: (2 · v)² = 4 · v². De reactieafstand groeit met de snelheid maar recht evenredig, dus hoe sneller je rijdt, hoe groter het deel van de totale afstand dat uit remmen bestaat. Op de snelweg bij 130 km/h legt de auto tijdens de reactietijd 36 m af, maar remt hij nog eens 93 m. Vanaf het zien van het obstakel tot stilstand heeft hij zo bijna honderddertig meter nodig, meer dan een heel voetbalveld.

In de grafiek zie je het nog beter. De tijd tellen we hier vanaf het intrappen van de rem. Vanaf honderd begint de grafiek twee keer zo hoog en omdat de snelheid even snel afneemt, 7 m/s per seconde, duurt het remmen ook twee keer zo lang. De driehoek is twee keer zo hoog en twee keer zo breed, en zijn oppervlakte is daarom vier keer zo groot. De witte lijnen verdelen hem samen met de rode in vier driehoeken, die elk congruent zijn met de rode.

Dertig bij de school

Bij scholen geldt een maximumsnelheid van 30 km/h. Heeft dat zin als het maar om twintig kilometer per uur gaat? Bij dertig, dus bij 8,3 m/s, legt de auto tijdens de reactietijd 8,3 m af en de remweg is

$$s_{\mathrm{rem}}=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

De auto staat stil na 13,3 m. Een bestuurder die 50 km/h rijdt, legt alleen al tijdens de reactietijd 13,9 m af. Waar de bestuurder die dertig reed al zou stilstaan, is de ander nog niet eens begonnen met remmen en botst hij met volle vijftig tegen het kind.

Hoe groot moet de afstand zijn?

Op een landweg rijd je met 90 km/h, dus 25 m/s, achter een andere auto die plotseling hard remt. Als beide auto's even hard remmen, hebben ze ook een even lange remweg. Maar jij begint een reactietijd later te remmen en legt intussen 25 m met volle snelheid af. De afstand moet daarom minstens zo groot zijn als de reactieafstand, anders bots je achter op de auto voor je.

Rijscholen adviseren de twee-secondenregel: als de auto voor je een paaltje langs de weg passeert, mag jij er pas twee seconden later langsrijden. Bij negentig is dat 50 m, twee keer zoveel als de reactieafstand. De marge komt van pas, omdat jouw remmen slechter kunnen zijn en de auto voor je door een obstakel veel eerder kan stilstaan dan na een volledige remweg.

Hoe snel reed hij?

De formule werkt ook omgekeerd. Een oudere auto zonder ABS blokkeert bij hard remmen de wielen en laat een zwart remspoor op de weg achter. Na een ongeluk op een droge weg meet de politie een spoor van 25 m lang. De bestuurder beweert dat hij de toegestane vijftig reed. Spreekt hij de waarheid? De opgave luidt:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{rem}}& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Uit de formule voor de remweg maken we de snelheid. Beide kanten vermenigvuldigen we met $2\cdot |a|$ en we nemen de wortel:

$$\begin{array}{rcl}{s}_{\mathrm{rem}}& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{rem}}& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{rem}}}\end{array}$$

We vullen in:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

De wortel uit meter in het kwadraat per seconde in het kwadraat geeft meter per seconde. De auto reed minstens ongeveer 67 km/h, geen vijftig. Vanaf vijftig zou het spoor maar 13,8 m meten.

Nat wegdek en ijs

Op een nat wegdek, op sneeuw en op ijs vertraagt een auto minder, omdat de banden zich slechter aan een glad oppervlak vasthouden. De oorzaak is wrijving en daar komen we bij de krachten op terug. Voorlopig volstaat het te weten dat de vertraging kleiner is. In de formule staat ze in de noemer, en een halve vertraging betekent daarom een dubbele remweg. Richtwaarden en remwegen vanaf vijftig:

Op ijs sta je vanaf vijftig pas na bijna honderd meter stil. De reactieafstand wordt niet door de ondergrond beïnvloed, die hangt alleen van de snelheid en de bestuurder af. Juist daarom rijdt men in de winter langzamer en met meer afstand.

Rekenmachine voor de remweg

Voer de snelheid, de reactietijd en de ondergrond in en de rekenmachine berekent de reactieafstand, de remweg, de stopafstand en de tijd vanaf het zien van het obstakel tot stilstand. De vertraging per ondergrond komt overeen met de tabel hierboven en is slechts een richtwaarde, met versleten banden of slechtere remmen zal ze kleiner zijn.

Bij remmen neemt de snelheid gelijkmatig af. Het omgekeerde zien we elke dag, je hoeft maar iets te laten vallen: een vallende steen heeft elke seconde een snelheid die met hetzelfde stuk toeneemt. Hoe diep een put is als de steen na twee seconden plonst, en waarom op de maan een hamer en een veer tegelijk landen, rekenen we uit in het volgende artikel, Vrije val.