Bremsing og bremselengde

Du kjører gjennom byen i femti, og tjue meter foran deg løper et barn ut mellom parkerte biler etter en ball. Klarer du å stoppe? Bilen stopper ikke i det øyeblikket du får øye på barnet. Først må du reagere og trykke ned bremsen, og først etterpå begynner bilen å sakke farten. Strekningen fra du ser hindringen til du står stille, består derfor av to deler:

• reaksjonslengden s_r, som bilen kjører før sjåføren begynner å bremse,
• bremselengden s_b, som den kjører fra bremsen trykkes ned til den står stille.

Indeksen r står for reaksjon, b for bremse. Sammen gir de den samlede strekningen, stopplengden:

$$s=s_r+s_b$$

Reaksjonslengde

Før sjåføren reagerer på hindringen, går det en reaksjonstid t_r. Han må legge merke til hva som skjer, bestemme seg, flytte foten fra gassen til bremsen og trykke på den. En uthvilt og konsentrert sjåfør klarer det på omtrent 1 s, og med ett sekund regner man derfor også på kjøreskolen. En sliten sjåfør eller en som akkurat svarer på en melding, reagerer mye langsommere. Den som ser på mobilen i to sekunder i femti, kjører nesten 28 m i blinde.

I hele reaksjonstiden endrer ikke farten til bilen seg, sjåføren bremser jo ikke ennå. Reaksjonslengden er derfor strekningen ved bevegelse med konstant fart:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Femti kilometer i timen regner vi om til meter per sekund, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, og på ett sekund reaksjonstid kjører bilen

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Nesten fjorten meter, og bilen har ennå ikke begynt å bremse.

Bremselengde

I det øyeblikket sjåføren trår på bremsen, begynner bilen å sakke farten. En god bil på tørr asfalt bremser med retardasjonen omtrent 7 m/s², hvert sekund kjører den 7 m/s saktere. Som positiv retning tar vi kjøreretningen, og akselerasjonen blir derfor negativ, a = −7 m/s². Vi antar at den ikke endrer seg under bremsingen. Bremsingen er da bevegelse med konstant akselerasjon med negativ akselerasjon, som også kalles jevnt retardert bevegelse.

Bremsingen begynner med farten v bilen kjørte med, og slutter med fart null. Tiden interesserer oss ikke, så vi tar fram sammenhengen uten tid, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Startfarten er v, sluttfarten null og strekningen er bremselengden:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

Minustegnet i formelen trenger vi ikke bli redde for. Akselerasjonen er negativ, derfor er også nevneren negativ, og hele brøken blir positiv, som det seg hør og bør for en strekning. Av minustegnet og den negative verdien av a blir det et positivt tall, retardasjonen. Den skriver vi som absoluttverdien av akselerasjonen $|a|$, og bremselengden med den skriver vi slik:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

I formelen setter vi inn tallene. Farten lar vi stå som brøk, så vi ikke runder av mellomresultatet:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Enhetene stemmer: meter i andre per sekund i andre delt på meter per sekund i andre gir meter. Fra femti stopper bilen på 13,8 m, nesten like langt som den kjørte i løpet av reaksjonstiden.

Det frister å sette inn farten rett i kilometer i timen. Da ville vi fått $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, men det er verken meter eller noe annet, fordi kilometer i timen ikke forkortes mot meter per sekund i andre. Hundre og åtti meter bremselengde fra femti burde dessuten vekke mistanke allerede ved overslaget, det er jo nesten lengden av to fotballbaner.

Hvor lang tid tar bremsingen? Fra formelen v = v₀ + a · t får vi med sluttfarten null ved samme resonnement

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Fra bremsen trykkes ned til bilen står stille, går det knapt to sekunder.

Hele bevegelsen viser fartsgrafen. I løpet av reaksjonstiden t_r er den vannrett, bilen kjører med konstant fart. Deretter synker den langs en rett linje ned til null. Strekningen er arealet under grafen: det blå rektangelet er reaksjonslengden, den røde trekanten bremselengden. Arealet av trekanten er halvparten av produktet av katetene, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, akkurat som fra formelen.

Stopper vi før barnet?

Hele strekningen regner vi ut steg for steg. Først oppgaven, farten regner vi med en gang om til meter per sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Den samlede strekningen er generelt summen av begge delene:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Begge delene har vi allerede regnet ut:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Fra du ser barnet, kjører bilen omtrent 28 m, omtrent seks billengder. Før barnet som løp ut tjue meter foran deg, rekker du ikke å stoppe. Når du kommer fram til det, har du etter reaksjonstiden bare bremset i seks meter og kjører fortsatt nesten førti.

Dobbelt så stor fart, fire ganger så lang bremselengde

Og hva om du kjørte i hundre på en landevei? Farten er 100 km/h ≈ 27,8 m/s. På ett sekund reaksjonstid kjører du 27,8 m, dobbelt så langt som fra femti. Bremselengden er

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

fire ganger så mye som fra femti. Til sammen kjører bilen 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, tre ganger så langt som fra femti.

Hvorfor akkurat fire ganger? Farten er opphøyd i andre i formelen for bremselengde, og det dobbelte i andre er det firedobbelte: (2 · v)² = 4 · v². Reaksjonslengden vokser bare proporsjonalt med farten, så jo fortere du kjører, desto større del av stopplengden utgjør bremsingen. På motorveien ved 130 km/h kjører bilen 36 m i løpet av reaksjonstiden, men bremser deretter 93 m. Fra hindringen oppdages til bilen står stille, trenger den dermed nesten hundre og tretti meter, mer enn en hel fotballbane.

I grafen ser det enda tydeligere ut. Tiden regner vi her fra bremsen trykkes ned. Fra hundre begynner grafen dobbelt så høyt, og siden farten minker like fort, 7 m/s per sekund, varer bremsingen også dobbelt så lenge. Trekanten er dobbelt så høy og dobbelt så bred, og arealet er derfor fire ganger så stort. De hvite linjene deler den sammen med den røde i fire trekanter, og hver av dem er kongruent med den røde.

Tretti ved skolen

Ved skolene gjelder fartsgrensen 30 km/h. Gir det mening når forskjellen bare er tjue kilometer i timen? Fra tretti, altså fra 8,3 m/s, kjører bilen 8,3 m i løpet av reaksjonstiden, og bremselengden er

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Bilen stopper etter 13,3 m. En sjåfør som kjører femti, kjører i løpet av reaksjonstiden alene 13,9 m. Der sjåføren som kjører tretti allerede står stille, har den andre ikke engang begynt å bremse og treffer barnet med full femti.

Hvor stor avstand?

På en landevei kjører du 90 km/h, altså 25 m/s, bak en annen bil som plutselig bremser hardt. Når begge bilene bremser likt, har de også like lang bremselengde. Men du begynner å bremse en reaksjonstid senere og kjører i mellomtiden 25 m med full fart. Avstanden må derfor være minst like stor som reaksjonslengden, ellers kjører du inn i bilen foran deg.

Kjøreskolene anbefaler tosekundersregelen: når bilen foran deg passerer en stolpe, bør du komme fram til den tidligst to sekunder senere. Ved nitti er det 50 m, dobbelt så mye som reaksjonslengden. Reserven er nyttig, for bremsene dine kan være dårligere, og bilen foran deg kan stoppe mot en hindring mye tidligere enn på bremselengden.

Hvor fort kjørte han?

Formelen fungerer også omvendt. En eldre bil uten ABS låser hjulene ved kraftig bremsing og etterlater et svart bremsespor på veien. Etter en ulykke på tørr vei måler politiet et spor på 25 m. Sjåføren hevder at han kjørte lovlige femti. Snakker han sant? Oppgaven lyder:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Fra formelen for bremselengde løser vi ut farten. Vi multipliserer begge sider med $2\cdot |a|$ og tar kvadratroten:

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

Vi setter inn:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Kvadratroten av meter i andre per sekund i andre gir meter per sekund. Bilen kjørte minst omtrent 67 km/h, ingen femti. Fra femti ville sporet bare vært 13,8 m langt.

Våt vei og is

På våt vei, på snø og på is bremser bilen mindre, fordi dekkene får dårligere grep på det glatte underlaget. Årsaken er friksjon, og den kommer vi til når vi tar for oss krefter. Foreløpig er det nok å vite at retardasjonen er mindre. I formelen står den i nevneren, og halv retardasjon betyr derfor dobbelt så lang bremselengde. Veiledende verdier og bremselengder fra femti:

På isen stopper du fra femti først etter nesten hundre meter. Reaksjonslengden påvirkes ikke av underlaget, den avhenger bare av farten og sjåføren. Nettopp derfor kjører man saktere og med større avstand om vinteren.

Kalkulator for bremselengde

Skriv inn farten, reaksjonstiden og underlaget, så regner kalkulatoren ut reaksjonslengden, bremselengden, stopplengden og tiden fra hindringen oppdages til bilen står stille. Retardasjonen etter underlag svarer til tabellen ovenfor og er bare veiledende, med slitte dekk eller dårligere bremser blir den mindre.

Ved bremsing avtar farten jevnt. Det motsatte møter vi hver dag, det holder å slippe hva som helst: en stein som faller, får hvert sekund like mye større fart. Hvor dyp en brønn er når steinen plasker etter to sekunder, og hvorfor en hammer og en fjær treffer bakken samtidig på Månen, regner vi ut i neste artikkel, Fritt fall.