Freinage et distance de freinage

Tu traverses la ville à cinquante et, à vingt mètres devant toi, un enfant surgit de derrière des voitures garées en courant après un ballon. Vas-tu t’arrêter à temps ? La voiture ne s’arrête pas au moment où tu vois l’enfant. Il faut d’abord que tu réagisses et que tu appuies sur la pédale de frein, et seulement ensuite la voiture commence à ralentir. La distance parcourue entre le moment où tu vois l’obstacle et l’arrêt se compose donc de deux parties :

• la distance de réaction d_r, que la voiture parcourt avant que le conducteur ne commence à freiner,
• la distance de freinage d_f, qu’elle parcourt de l’instant où l’on appuie sur le frein jusqu’à l’arrêt.

L’indice r vient de réaction, f de freinage. Ensemble, elles donnent la distance totale :

$$d=d_r+d_f$$

La distance de réaction

Avant que le conducteur ne réagisse à l’obstacle, le temps de réaction t_r s’écoule. Il doit remarquer ce qui se passe, décider, déplacer le pied de l’accélérateur au frein et appuyer dessus. Un conducteur reposé et concentré y arrive en 1 s environ, et c’est pourquoi l’auto-école compte elle aussi avec une seconde. Un conducteur fatigué, ou celui qui est justement en train de répondre à un message, réagit beaucoup plus lentement. Qui regarde son téléphone pendant deux secondes à cinquante parcourt presque 28 m à l’aveugle.

Pendant tout le temps de réaction, la vitesse de la voiture ne change pas, le conducteur ne freine pas encore. La distance de réaction est donc la distance d’un mouvement uniforme :

$$d_r=v\cdot t_r$$

Nous convertissons cinquante kilomètres par heure en mètres par seconde, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et en une seconde de temps de réaction la voiture parcourt

$$d_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Presque quatorze mètres, et la voiture n’a même pas encore commencé à freiner.

La distance de freinage

Dès que le conducteur appuie sur le frein, la voiture commence à ralentir. Une bonne voiture sur asphalte sec freine avec une décélération d’environ 7 m/s², sa vitesse diminue de 7 m/s à chaque seconde. Nous prenons pour sens positif le sens de la marche, et l’accélération est donc négative, a = −7 m/s². Supposons qu’elle ne change pas pendant le freinage. Le freinage est alors un mouvement uniformément accéléré avec une accélération négative, qu’on appelle aussi mouvement uniformément ralenti.

Le freinage commence à la vitesse v à laquelle la voiture roulait et finit à une vitesse nulle. Le temps ne nous intéresse pas, nous utilisons donc la relation sans le temps, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot d$. La vitesse initiale est v, la vitesse finale zéro et la distance est la distance de freinage :

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot d_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot d_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& d_f\end{array}$$

Le signe moins dans la formule ne doit pas nous effrayer. L’accélération est négative, donc le dénominateur aussi, et toute la fraction est positive, comme il se doit pour une distance. Le signe moins et la valeur négative de a donnent ensemble un nombre positif, la décélération. Nous la notons comme la valeur de l’accélération $|a|$ et nous écrivons avec elle la distance de freinage ainsi :

$$d_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Nous remplaçons les grandeurs par leurs valeurs. Nous gardons la vitesse sous forme de fraction pour ne pas arrondir de résultat intermédiaire :

$$\begin{array}{rl}{d}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Les unités sont cohérentes : des mètres carrés par seconde carrée divisés par des mètres par seconde carrée donnent des mètres. À partir de cinquante, la voiture s’arrête en 13,8 m, presque autant que ce qu’elle a parcouru pendant le temps de réaction.

Il est tentant de remplacer directement la vitesse en kilomètres par heure. Cela donnerait $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, mais ce ne sont ni des mètres ni rien d’autre, car les kilomètres par heure ne se simplifient pas avec les mètres par seconde carrée. De plus, cent quatre-vingts mètres de distance de freinage à partir de cinquante devraient éveiller le soupçon dès l’estimation, c’est presque la longueur de deux terrains de football.

Combien de temps le freinage prend-il ? Avec la formule v = v₀ + a · t et une vitesse finale nulle, le même raisonnement donne

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Entre le moment où l’on appuie sur le frein et l’arrêt, il s’écoule moins de deux secondes.

Tout le mouvement apparaît dans le graphique de la vitesse. Pendant le temps de réaction t_r, il est horizontal, la voiture roule à vitesse constante. Ensuite il descend en ligne droite jusqu’à zéro. La distance est l’aire sous le graphique : le rectangle bleu est la distance de réaction, le triangle rouge la distance de freinage. L’aire du triangle est la moitié du produit des côtés de l’angle droit, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, comme avec la formule.

Allons-nous nous arrêter avant l’enfant ?

Nous calculons toute la distance pas à pas. D’abord les données, nous convertissons tout de suite la vitesse en mètres par seconde :

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ d& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

La distance totale est en général la somme des deux parties :

$$d=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Nous avons déjà calculé les deux parties :

$$d\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

À partir du moment où tu vois l’enfant, la voiture parcourt environ 28 m, à peu près six longueurs de voiture. Tu n’auras pas le temps de t’arrêter avant l’enfant qui a surgi à vingt mètres devant toi. Quand tu arriveras à sa hauteur, tu n’auras freiné, après le temps de réaction, que sur six mètres et tu rouleras encore à presque quarante.

Vitesse double, distance de freinage quadruple

Et si tu roulais à cent sur une route nationale ? La vitesse est 100 km/h ≈ 27,8 m/s. En une seconde de temps de réaction, tu parcours 27,8 m, deux fois plus qu’à cinquante. La distance de freinage est

$$d_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

quatre fois plus qu’à cinquante. Au total, la voiture parcourt 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, trois fois plus qu’à cinquante.

Pourquoi justement quatre fois ? Dans la formule de la distance de freinage, la vitesse est élevée au carré et le double au carré fait le quadruple : (2 · v)² = 4 · v². La distance de réaction n’augmente avec la vitesse que de façon proportionnelle, donc plus tu roules vite, plus le freinage représente une grande partie de la distance totale. Sur l’autoroute, à 130 km/h, la voiture parcourt 36 m pendant le temps de réaction, mais elle freine encore sur 93 m. Entre le moment où l’obstacle est aperçu et l’arrêt, il lui faut ainsi presque cent trente mètres, plus qu’un terrain de football entier.

Dans le graphique, on le voit encore mieux. Le temps est ici compté à partir du moment où l’on appuie sur le frein. À partir de cent, le graphique commence deux fois plus haut, et comme la vitesse diminue aussi vite, de 7 m/s par seconde, le freinage dure aussi deux fois plus longtemps. Le triangle est deux fois plus haut et deux fois plus large, et son aire est donc quatre fois plus grande. Les traits blancs, avec le rouge, le divisent en quatre triangles, chacun identique au rouge.

La zone 30 devant l’école

Devant les écoles, la limitation est de 30 km/h. A-t-elle un sens, alors qu’il ne s’agit que de vingt kilomètres par heure de moins ? À trente, donc à 8,3 m/s, la voiture parcourt 8,3 m pendant le temps de réaction et la distance de freinage est

$$d_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

La voiture s’arrête après 13,3 m. Un conducteur qui roule à cinquante parcourt 13,9 m rien que pendant le temps de réaction. Là où le conducteur qui roule à trente serait déjà à l’arrêt, l’autre n’a même pas encore commencé à freiner et percute l’enfant à cinquante à l’heure.

Quelle distance de sécurité ?

Sur une route départementale, tu roules à 90 km/h, donc à 25 m/s, derrière une autre voiture qui freine soudain brutalement. Si les deux voitures freinent de la même façon, elles ont aussi la même distance de freinage. Mais toi, tu commences à freiner avec un temps de réaction de retard et, entre-temps, tu parcours 25 m à pleine vitesse. La distance de sécurité doit donc être au moins aussi grande que la distance de réaction, sinon tu percutes la voiture qui est devant toi.

Les auto-écoles conseillent la règle des deux secondes : quand la voiture qui est devant toi passe à hauteur d’une balise au bord de la route, tu ne devrais l’atteindre qu’au bout de deux secondes. À quatre-vingt-dix, cela fait 50 m, deux fois plus que la distance de réaction. Cette marge est utile, car tes freins peuvent être moins bons et la voiture qui est devant toi peut s’arrêter net en heurtant un obstacle, bien avant la distance de freinage.

À quelle vitesse roulait-il ?

La formule marche aussi dans l’autre sens. Une voiture ancienne sans ABS bloque les roues lors d’un freinage brutal et laisse sur la route une trace de freinage noire. Après un accident sur route sèche, la police mesure une trace longue de 25 m. Le conducteur affirme qu’il roulait à la vitesse autorisée de cinquante. Dit-il la vérité ? Les données sont :

$$\begin{array}{rl}{d}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

De la formule de la distance de freinage, nous isolons la vitesse. Nous multiplions les deux côtés par $2\cdot |a|$ et nous prenons la racine carrée :

$$\begin{array}{rcl}{d}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot d_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot d_f}\end{array}$$

Nous remplaçons :

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La racine carrée de mètres carrés par seconde carrée donne des mètres par seconde. La voiture roulait à au moins 67 km/h environ, pas du tout à cinquante. À cinquante, la trace n’aurait mesuré que 13,8 m.

Route mouillée et verglas

Sur route mouillée, sur la neige et sur le verglas, la voiture décélère moins, car les pneus adhèrent moins bien à une surface glissante. Cela tient aux frottements, et nous y viendrons avec les forces. Pour l’instant, il suffit de savoir que la décélération est plus faible. Dans la formule, elle est au dénominateur, et une décélération deux fois plus faible signifie donc une distance de freinage deux fois plus grande. Valeurs indicatives et distances de freinage à partir de cinquante :

Sur le verglas, à partir de cinquante, tu ne t’arrêtes qu’au bout de presque cent mètres. Le revêtement n’influence pas la distance de réaction, qui ne dépend que de la vitesse et du conducteur. C’est justement pourquoi on roule plus lentement et avec une plus grande distance de sécurité en hiver.

Calculatrice de la distance de freinage

Saisis la vitesse, le temps de réaction et le revêtement de la route, et la calculatrice calcule la distance de réaction, la distance de freinage, la distance totale et le temps entre le moment où tu vois l’obstacle et l’arrêt. La décélération selon le revêtement correspond au tableau ci-dessus et n’est qu’indicative, avec des pneus usés ou de moins bons freins, elle sera plus faible.

Pendant le freinage, la vitesse diminue de façon régulière. Le cas inverse, nous le rencontrons tous les jours, il suffit de laisser tomber un objet : la vitesse d’une pierre qui tombe augmente chaque seconde de la même quantité. Quelle est la profondeur d’un puits quand la pierre fait plouf dans l’eau au bout de deux secondes, et pourquoi sur la Lune le marteau et la plume arrivent en même temps au sol, nous le calculerons dans l’article suivant, Chute libre.