Frenleme ve Fren Mesafesi

Şehir içinde saatte elli kilometreyle gidiyorsun ve yirmi metre önünde park etmiş arabaların arkasından bir çocuk topun peşinden fırlıyor. Durabilir misin? Araba, çocuğu gördüğün anda durmaz. Önce tepki verip frene basman gerekir, ancak ondan sonra yavaşlamaya başlar. Engeli görmenden durmaya kadar alınan yol bu yüzden iki parçadan oluşur:

• reaksiyon mesafesi s_r, sürücü fren yapmaya başlayana kadar arabanın aldığı yol,
• fren mesafesi s_f, frene bastığı andan durana kadar aldığı yol.

r indisi reaksiyon, f indisi fren kelimesinden gelir. İkisi birlikte durma mesafesini verir:

$$s=s_r+s_f$$

Reaksiyon Mesafesi

Sürücü engele tepki verene kadar reaksiyon süresi t_r geçer. Neler olduğunu fark etmesi, karar vermesi, ayağını gazdan frene kaydırması ve frene basması gerekir. Dinlenmiş ve dikkatli bir sürücü bunu kabaca 1 s’de yapar ve sürücü kurslarında da bir saniye ile hesap yapılır. Yorgun sürücü ya da o sırada bir mesajı cevaplayan sürücü çok daha yavaş tepki verir. Saatte elli kilometreyle giderken iki saniye telefona bakan biri, neredeyse 28 m’yi körlemesine gider.

Bütün reaksiyon süresi boyunca arabanın sürati değişmez, sürücü henüz fren yapmıyordur. Reaksiyon mesafesi bu yüzden düzgün hareketin yoludur:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Saatte elli kilometreyi saniyede metreye çeviririz, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ve bir saniyelik reaksiyon süresinde arabanın aldığı yol şudur:

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Neredeyse on dört metre ve araba daha frenlemeye bile başlamadı.

Fren Mesafesi

Sürücü frene basar basmaz araba yavaşlamaya başlar. Kuru asfaltta iyi bir araba kabaca 7 m/s² yavaşlamayla frenler, her saniye 7 m/s daha yavaş gider. Pozitif yön olarak gidiş yönünü alırız ve bu yüzden ivme negatif çıkar, a = −7 m/s². Frenleme sırasında bunun değişmediğini varsayalım. Frenleme o zaman negatif ivmeli bir düzgün hızlanan harekettir, ona düzgün yavaşlayan hareket de denir.

Frenleme, arabanın gittiği v hızıyla başlar ve sıfır hızla biter. Süre bizi ilgilendirmiyor, bu yüzden zamansız bağıntıya başvururuz, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. İlk hız v, son hız sıfırdır ve yol fren mesafesidir:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

Formüldeki eksiden korkmamıza gerek yok. İvme negatiftir, bu yüzden payda da negatiftir ve bütün kesir, bir yol için olması gerektiği gibi pozitif çıkar. Eksi işaretiyle negatif a değerinden pozitif bir sayı, yani yavaşlama çıkar. Ona ivmenin büyüklüğü $|a|$ deriz ve fren mesafesini onunla şöyle yazarız:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Formüle sayıları koyalım. Ara sonucu yuvarlamamak için sürati kesir olarak bırakalım:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Birimler uyuyor: metre kare bölü saniye kareyi metre bölü saniye kareye bölünce metre çıkar. Araba saatte elliden 13,8 m’de durur, reaksiyon süresinde aldığı yolla neredeyse aynı.

Sürati doğrudan saatte kilometre olarak yerine koymak cezbedicidir. $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$ çıkardı, ama bu ne metredir ne de başka bir şey, çünkü saatte kilometre, metre bölü saniye kareyle sadeleşmez. Elliden yüz seksen metre fren mesafesi ise daha tahmin aşamasında şüphe uyandırmalıdır, neredeyse iki futbol sahası uzunluğudur.

Frenleme ne kadar sürer? v = v₀ + a · t formülünden, son hız sıfırken aynı düşünceyle şunu buluruz:

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Frene basmakla durmak arasında iki saniyeden az geçer.

Bütün hareketi hız grafiği gösterir. Reaksiyon süresi t_r boyunca yataydır, araba sabit hızla gider. Sonra bir doğru boyunca sıfıra iner. Yol, grafiğin altındaki alandır: mavi dikdörtgen reaksiyon mesafesi, kırmızı üçgen fren mesafesidir. Üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, formülden çıkanla aynı.

Çocuğun Önünde Durabilir miyiz?

Bütün mesafeyi adım adım hesaplayalım. Önce verilenler, sürati hemen saniyede metreye çevirelim:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Durma mesafesi genel olarak iki parçanın toplamıdır:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

İki parçayı zaten hesapladık:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Çocuğu gördüğün andan itibaren araba yaklaşık 28 m gider, bu kabaca altı binek araba boyu eder. Yirmi metre önünde fırlayan çocuğun önünde duramazsın. Ona vardığında, reaksiyon süresinden sonra yalnızca altı metredir frenliyor olacaksın ve hâlâ saatte neredeyse kırk kilometreyle gidiyor olacaksın.

İki Kat Sürat, Dört Kat Fren Mesafesi

Peki şehirler arası yolda saatte yüzle gitseydin? Sürat 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Bir saniyelik reaksiyon süresinde 27,8 m gidersin, elliden iki kat fazla. Fren mesafesi

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

elliden dört kat fazla. Toplamda araba 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m yol alır, elliden üç kat fazla.

Neden tam dört kat? Fren mesafesi formülünde sürat karesi alınır ve iki katının karesi dört kattır: (2 · v)² = 4 · v². Reaksiyon mesafesi süratle yalnızca doğru orantılı büyür, yani ne kadar hızlı gidersen, durma mesafesinin o kadar büyük kısmını frenleme oluşturur. Otoyolda 130 km/h ile giden araba reaksiyon süresinde 36 m gider, ama ardından 93 m daha frenler. Engeli görmekle durmak arasında bu yüzden neredeyse yüz otuz metreye ihtiyaç duyar, bütün bir futbol sahasından fazla.

Grafikte bu daha da iyi görünür. Zamanı burada frene basıldığı andan sayıyoruz. Yüzden frenlerken grafik iki kat yüksekten başlar ve sürat aynı çabuklukla, saniyede 7 m/s, azaldığı için frenleme de iki kat uzun sürer. Üçgen iki kat yüksek ve iki kat geniştir, alanı bu yüzden dört kat büyüktür. Beyaz çizgiler kırmızıyla birlikte onu, her biri kırmızıya eş dört üçgene böler.

Okulun Önünde Saatte Otuz

Okulların önünde sürücülerden genellikle 30 km/h ile gitmeleri beklenir. Fark yalnızca saatte yirmi kilometreyken bunun bir anlamı var mı? Otuzdan, yani 8,3 m/s’den, araba reaksiyon süresinde 8,3 m gider ve fren mesafesi

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Araba 13,3 m’de durur. Saatte elliyle giden sürücü yalnızca reaksiyon süresinde 13,9 m gider. Otuzla giden sürücünün çoktan durduğu yerde, öteki daha frene bile başlamamıştır ve çocuğa saatte tam elli kilometreyle çarpar.

Takip Mesafesi Ne Kadar Olmalı?

Kırsal yolda 90 km/h, yani 25 m/s ile başka bir arabanın arkasından gidiyorsun ve o araba birden sert frene basıyor. İki araba da aynı şekilde frenliyorsa fren mesafeleri de aynıdır. Ama sen reaksiyon süresi kadar geç frenlemeye başlarsın ve bu arada tam süratle 25 m gidersin. Takip mesafesi bu yüzden en az reaksiyon mesafesi kadar büyük olmalıdır, yoksa öndeki arabaya çarparsın.

Sürücü kursları iki saniye kuralını öğütler: öndeki araba yol kenarındaki bir direği geçtiğinde, sen ona en erken iki saniye sonra varmalısın. Doksanda bu 50 m’dir, reaksiyon mesafesinin iki katı. Bu pay işe yarar, çünkü senin frenlerin daha kötü olabilir ve öndeki araba bir engele çarparak fren mesafesinden çok daha önce durabilir.

Ne Kadar Hızlı Gidiyordu?

Formül tersine de işler. ABS’si olmayan eski bir araba sert frenlemede tekerlekleri kilitler ve yolda siyah bir fren izi bırakır. Kuru yoldaki bir kazadan sonra polis 25 m uzunluğunda bir iz ölçer. Sürücü kurallara uygun, saatte elli ile gittiğini söylüyor. Doğruyu mu söylüyor? Verilenler şöyle:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Fren mesafesi formülünden sürati çekeriz. İki tarafı $2\cdot |a|$ ile çarpar ve karekök alırız:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Yerine koyarız:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Metre kare bölü saniye karenin karekökü metre bölü saniye verir. Araba en azından yaklaşık 67 km/h ile gidiyordu, elli değil. Saatte elliyle gidiyor olsaydı iz yalnızca 13,8 m ölçerdi.

Islak Yol ve Buz

Islak yolda, karda ve buzda araba daha az yavaşlar, çünkü lastikler kaygan zemine daha kötü tutunur. Nedeni sürtünmedir ve ona kuvvetler konusunda geleceğiz. Şimdilik yavaşlamanın daha küçük olduğunu bilmek yeter. Formülde paydada durur ve bu yüzden yarı yavaşlama, iki kat fren mesafesi demektir. Yaklaşık değerler ve elliden fren mesafeleri:

Buzda elliden yaklaşık yüz metrede durursun. Reaksiyon mesafesini zemin etkilemez, o yalnızca sürate ve sürücüye bağlıdır. Kışın bu yüzden daha yavaş ve daha uzun takip mesafesiyle gidilir.

Fren Mesafesi Hesap Makinesi

Sürati, reaksiyon süresini ve yolun zeminini gir, hesap makinesi reaksiyon mesafesini, fren mesafesini, durma mesafesini ve engeli görmenden durmaya kadar geçen süreyi hesaplasın. Zemine göre yavaşlama yukarıdaki tabloya uyar ve yalnızca yaklaşıktır, yıpranmış lastikler ya da daha kötü frenlerle daha küçük olur.

Frenlemede sürat düzgün azalır. Karşıt durumla her gün karşılaşırız, elimizden bir şey bırakmamız yeter: düşen taşın hızı her saniye aynı miktar artar. Taşın suya çarpma sesi iki saniye sonra geliyorsa kuyu ne kadar derindir ve Ay’da çekiçle tüy neden aynı anda yere düşer, bunları bir sonraki makalede, Serbest Düşme makalesinde hesaplayacağız.