Inbromsning och bromssträcka

Du kör genom stan i femtio, och tjugo meter framför dig springer ett barn ut bakom parkerade bilar efter en boll. Hinner du stanna? Bilen stannar inte i samma ögonblick som du ser barnet. Först måste du reagera och trampa på bromsen, och först sedan börjar bilen bromsa. Sträckan från att du ser hindret till att du står still består därför av två delar:

• reaktionssträckan s_r, som bilen kör innan föraren börjar bromsa,
• bromssträckan s_b, som bilen kör från att bromsen trampas ned tills den står still.

Index r kommer från reaktion, b från broms. Tillsammans ger de den totala sträckan:

$$s=s_r+s_b$$

Reaktionssträcka

Innan föraren hinner reagera på hindret går det en reaktionstid t_r. Föraren måste uppfatta vad som händer, bestämma sig, flytta foten från gasen till bromsen och trampa ned den. En utvilad och koncentrerad förare klarar det på ungefär 1 s, och med en sekund räknar man också på trafikskolan. En trött förare eller någon som just svarar på ett meddelande reagerar mycket långsammare. Den som kör i femtio och tittar ner i mobilen i två sekunder hinner nästan 28 m i blindo.

Under hela reaktionstiden ändras inte bilens hastighet, föraren bromsar ju inte än. Reaktionssträckan är därför sträckan vid likformig rörelse:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Femtio kilometer i timmen räknar vi om till meter per sekund, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, och på en sekunds reaktionstid hinner bilen

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Nästan fjorton meter och bilen har ännu inte ens börjat bromsa.

Bromssträcka

Så fort föraren trampar på bromsen börjar bilen retardera. En bra bil på torr asfalt bromsar med retardationen ungefär 7 m/s², varje sekund åker den 7 m/s långsammare. Som positiv riktning väljer vi färdriktningen, och accelerationen blir därför negativ, a = −7 m/s². Vi antar att den inte ändras under inbromsningen. Inbromsningen är då en likformigt accelererad rörelse med negativ acceleration, som också kallas likformigt retarderad rörelse.

Inbromsningen börjar med den hastighet v som bilen hade och slutar med hastigheten noll. Tiden intresserar oss inte, så vi väljer sambandet utan tid, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Begynnelsehastigheten är v, sluthastigheten noll och sträckan är bromssträckan:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

Minustecknet i formeln behöver du inte oroa dig för. Accelerationen är negativ, därför är också nämnaren negativ och hela bråket blir positivt, som en sträcka ska vara. Av minustecknet och det negativa värdet på a blir det ett positivt tal, retardationen. Vi betecknar den som accelerationens belopp $|a|$ och skriver med den bromssträckan så här:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Vi sätter in talen i formeln. Hastigheten låter vi vara ett bråk, så att vi inte avrundar någon mellanräkning:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Enheterna stämmer: meter i kvadrat per sekund i kvadrat delat med meter per sekund i kvadrat ger meter. Från femtio bromsar bilen till stopp på 13,8 m, nästan lika långt som den hann under reaktionstiden.

Det är frestande att sätta in hastigheten direkt i kilometer per timme. Då blir det $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, men det är varken meter eller något annat, eftersom kilometer per timme inte förkortas mot meter per sekund i kvadrat. Dessutom borde en bromssträcka på hundraåttio meter från femtio väcka misstankar redan vid en överslagsräkning, det är ju nästan längden av två fotbollsplaner.

Hur lång tid tar inbromsningen? Ur formeln v = v₀ + a · t får vi med sluthastigheten noll genom samma resonemang

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Från att bromsen trampas ned tills bilen står still går det knappt två sekunder.

Hela rörelsen visas i hastighetsgrafen. Under reaktionstiden t_r är den vågrät, bilen åker med konstant hastighet. Sedan sjunker den längs en rät linje ner till noll. Sträckan är arean under grafen: den blå rektangeln är reaktionssträckan, den röda triangeln bromssträckan. Triangelns area är hälften av produkten av kateterna, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, precis som i formeln.

Hinner vi stanna före barnet?

Hela sträckan räknar vi ut stegvis. Först givna värden, hastigheten räknar vi direkt om till meter per sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Allmänt är den totala sträckan summan av de två delarna:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Båda delarna har vi redan räknat ut:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Från att du ser barnet kör bilen ungefär 28 m, ungefär sex billängder. Före barnet som sprang ut tjugo meter framför dig hinner du inte stanna. När du kommer fram till det har du efter reaktionstiden bromsat bara sex meter och åker fortfarande nästan fyrtio.

Dubbel hastighet, fyra gånger så lång bromssträcka

Men tänk om du körde i hundra på en landsväg? Hastigheten är 100 km/h ≈ 27,8 m/s. På en sekunds reaktionstid hinner du 27,8 m, dubbelt så mycket som från femtio. Bromssträckan är

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

fyra gånger så mycket som från femtio. Sammanlagt kör bilen 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, tre gånger så långt som från femtio.

Varför just fyra gånger? Hastigheten är upphöjd till två i formeln för bromssträckan, och det dubbla i kvadrat är det fyrdubbla: (2 · v)² = 4 · v². Reaktionssträckan växer med hastigheten bara direkt proportionellt, så ju fortare du kör, desto större del av den totala sträckan utgör inbromsningen. På motorväg i 130 km/h kör bilen 36 m under reaktionstiden, men bromsar ytterligare 93 m. Från att hindret syns tills bilen står still behöver den alltså nästan hundratrettio meter, mer än en hel fotbollsplan.

I grafen syns det ännu bättre. Tiden räknar vi här från att bromsen trampas ned. Från hundra börjar grafen dubbelt så högt, och eftersom hastigheten minskar lika snabbt, 7 m/s per sekund, tar inbromsningen också dubbelt så lång tid. Triangeln är dubbelt så hög och dubbelt så bred, och därför fyra gånger så stor. De vita linjerna delar tillsammans med den röda upp den i fyra trianglar, och var och en är kongruent med den röda.

30 km/h vid skolan

Vid skolor gäller hastighetsbegränsningen 30 km/h. Är det meningsfullt när det bara handlar om tjugo kilometer i timmen? Från trettio, alltså från 8,3 m/s, kör bilen 8,3 m under reaktionstiden och bromssträckan är

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Bilen stannar efter 13,3 m. En förare som kör i femtio hinner redan under själva reaktionstiden 13,9 m. Där föraren som körde trettio redan skulle stå still har den andre ännu inte ens börjat bromsa, och han kör på barnet i oförminskade femtio.

Hur stort säkerhetsavstånd?

På en landsväg kör du i 90 km/h, alltså 25 m/s, bakom en annan bil som plötsligt bromsar hårt. Om båda bilarna bromsar lika hårt har de också lika lång bromssträcka. Men du börjar bromsa en reaktionstid senare, och under tiden kör du 25 m med full hastighet. Avståndet måste därför vara minst lika stort som reaktionssträckan, annars kör du på bilen framför.

Trafikskolor rekommenderar tvåsekundersregeln: när bilen framför dig passerar en kantstolpe bör du nå den tidigast två sekunder senare. Vid nittio är det 50 m, dubbelt så mycket som reaktionssträckan. Marginalen kommer väl till pass, eftersom dina bromsar kan vara sämre och bilen framför dig kan stanna mot ett hinder på mycket kortare sträcka än sin bromssträcka.

Hur fort körde han?

Formeln fungerar också åt andra hållet. En äldre bil utan ABS låser hjulen vid hård inbromsning och lämnar ett svart bromsspår på vägen. Efter en olycka på torr väg mäter polisen ett spår som är 25 m långt. Föraren påstår att han körde de tillåtna femtio. Talar han sanning? Givna värden:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Ur formeln för bromssträckan löser vi ut hastigheten. Vi multiplicerar båda sidor med $2\cdot |a|$ och drar roten ur:

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

Vi sätter in:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Roten ur meter i kvadrat per sekund i kvadrat blir meter per sekund. Bilen körde minst ungefär 67 km/h, långt ifrån femtio. Från femtio hade spåret bara varit 13,8 m.

Våt väg och is

På våt väg, på snö och på is retarderar bilen mindre kraftigt, eftersom däcken har sämre grepp på ett halt underlag. Orsaken är friktionen och den kommer vi till när vi går igenom krafter. Tills vidare räcker det att veta att retardationen är mindre. I formeln står den i nämnaren, och halva retardationen betyder därför dubbelt så lång bromssträcka. Riktvärden och bromssträckor från femtio:

På is stannar du från femtio först efter nästan hundra meter. Reaktionssträckan påverkas inte av underlaget, den beror bara på hastigheten och föraren. Just därför kör man långsammare och med större avstånd på vintern.

Miniräknare för bromssträcka

Fyll i hastighet, reaktionstid och underlag så räknar miniräknaren ut reaktionssträckan, bromssträckan, den totala sträckan och tiden från att hindret syns tills bilen står still. Retardationen för underlaget motsvarar tabellen ovan och är bara ett riktvärde, med slitna däck eller sämre bromsar blir den mindre.

Vid inbromsning minskar hastigheten likformigt. Det motsatta fallet möter vi varje dag, det räcker att släppa vad som helst: en fallande sten får för varje sekund lika mycket högre hastighet. Hur djup en brunn är när stenen plaskar efter två sekunder, och varför en hammare och en fjäder slår i marken samtidigt på månen, räknar vi ut i nästa artikel, Fritt fall.