Hamowanie i droga hamowania

Jedziesz przez miasto pięćdziesiątką, a dwadzieścia metrów przed tobą zza zaparkowanych samochodów wybiega dziecko za piłką. Zatrzymasz się? Samochód nie staje w chwili, gdy zobaczysz dziecko. Najpierw musisz zareagować i wcisnąć hamulec, a dopiero potem auto zaczyna zwalniać. Droga od zauważenia przeszkody do zatrzymania składa się więc z dwóch części:

• drogi reakcji s_r, którą samochód przejedzie, zanim kierowca zacznie hamować,
• drogi hamowania s_h, którą przejedzie od wciśnięcia hamulca do zatrzymania.

Indeks r pochodzi od słowa reakcja, h od słowa hamowanie. Razem dają całkowitą drogę zatrzymania:

$$s=s_r+s_h$$

Droga reakcji

Zanim kierowca zareaguje na przeszkodę, mija czas reakcji t_r. Musi zauważyć, co się dzieje, podjąć decyzję, przenieść nogę z gazu na hamulec i go wcisnąć. Wypoczęty i skupiony kierowca zrobi to mniej więcej w 1 s i właśnie z jedną sekundą liczy się też na kursie prawa jazdy. Zmęczony kierowca albo ktoś, kto akurat odpisuje na wiadomość, reaguje dużo wolniej. Kto przy pięćdziesiątce spojrzy na dwie sekundy w telefon, przejedzie na ślepo prawie 28 m.

Przez cały czas reakcji prędkość samochodu się nie zmienia, bo kierowca jeszcze nie hamuje. Droga reakcji jest więc drogą w ruchu jednostajnym:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Pięćdziesiąt kilometrów na godzinę zamieniamy na metry na sekundę, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, i w ciągu jednej sekundy czasu reakcji samochód przejedzie

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Prawie czternaście metrów, a samochód jeszcze nawet nie zaczął hamować.

Droga hamowania

Gdy tylko kierowca naciśnie hamulec, samochód zaczyna zwalniać. Dobry samochód na suchym asfalcie hamuje z opóźnieniem około 7 m/s², czyli co sekundę jedzie o 7 m/s wolniej. Za zwrot dodatni przyjmijmy zwrot zgodny z kierunkiem jazdy, więc przyspieszenie wychodzi ujemne, a = −7 m/s². Załóżmy, że podczas hamowania się nie zmienia. Hamowanie jest wtedy ruchem jednostajnie opóźnionym. Razem z ruchem jednostajnie przyspieszonym jest to szczególny przypadek ruchu jednostajnie zmiennego, więc wzory z artykułu o ruchu jednostajnie przyspieszonym obowiązują bez zmian, tylko przyspieszenie jest ujemne.

Hamowanie zaczyna się z prędkością v, z jaką jechał samochód, a kończy z prędkością zerową. Czas nas nie interesuje, więc sięgamy po zależność bez czasu, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Prędkość początkowa to v, końcowa zero, a droga to droga hamowania:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_h/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_h/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_h\end{array}$$

Minus we wzorze nie musi nas straszyć. Przyspieszenie jest ujemne, więc ujemny jest też mianownik i cały ułamek wychodzi dodatni, jak przystało na drogę. Z minusa i ujemnej wartości a powstaje liczba dodatnia, opóźnienie. Zapisujemy je jako wartość przyspieszenia $|a|$ i drogę hamowania piszemy z nią tak:

$$s_h=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Podstawiamy liczby. Prędkość zostawiamy w postaci ułamka, żeby nie zaokrąglać wyniku pośredniego:

$$\begin{array}{rl}{s}_h& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Jednostki się zgadzają: metry kwadratowe na sekundę do kwadratu podzielone przez metry na sekundę do kwadratu dają metry. Z pięćdziesiątki samochód wyhamuje na 13,8 m, prawie tak samo daleko, jak przejechał w czasie reakcji.

Kusi, żeby podstawić prędkość od razu w kilometrach na godzinę. Wyszłoby $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, ale to nie są ani metry, ani nic innego, bo kilometry na godzinę nie skracają się z metrami na sekundę do kwadratu. Sto osiemdziesiąt metrów drogi hamowania z pięćdziesiątki powinno zresztą wzbudzić podejrzenia już przy szacowaniu, to przecież prawie długość dwóch boisk piłkarskich.

Ile czasu zajmie hamowanie? Ze wzoru v = v₀ + a · t przy prędkości końcowej równej zero dostajemy tym samym rozumowaniem

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Od wciśnięcia hamulca do zatrzymania mijają niecałe dwie sekundy.

Cały ruch pokazuje wykres prędkości. Przez czas reakcji t_r jest poziomy, samochód jedzie ze stałą prędkością. Potem spada po linii prostej aż do zera. Droga to pole pod wykresem: niebieski prostokąt to droga reakcji, czerwony trójkąt droga hamowania. Pole trójkąta to połowa iloczynu przyprostokątnych, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, tak samo jak ze wzoru.

Czy zatrzymamy się przed dzieckiem?

Całą drogę obliczymy krok po kroku. Najpierw dane, prędkość od razu zamieniamy na metry na sekundę:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Całkowita droga jest w ogólności sumą obu części:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Obie części mamy już obliczone:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Od chwili, gdy zobaczysz dziecko, samochód przejedzie około 28 m, mniej więcej sześć długości samochodu osobowego. Przed dzieckiem, które wybiegło dwadzieścia metrów przed tobą, nie zdążysz się zatrzymać. Gdy do niego dojedziesz, po czasie reakcji zdążysz hamować dopiero przez sześć metrów i wciąż będziesz jechać prawie czterdziestką.

Dwa razy większa prędkość, cztery razy dłuższa droga hamowania

A gdybyś jechał setką ekspresówką? Prędkość wynosi 100 km/h ≈ 27,8 m/s. W ciągu sekundy czasu reakcji przejedziesz 27,8 m, dwa razy więcej niż z pięćdziesiątki. Droga hamowania wynosi

$$s_h=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

cztery razy więcej niż z pięćdziesiątki. W sumie samochód przejedzie 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, trzy razy więcej niż z pięćdziesiątki.

Dlaczego akurat cztery razy? Prędkość we wzorze na drogę hamowania podnosimy do kwadratu, a kwadrat dwukrotności to czterokrotność kwadratu: (2 · v)² = 4 · v². Droga reakcji rośnie z prędkością tylko wprost proporcjonalnie, więc im szybciej jedziesz, tym większą część całkowitej drogi stanowi hamowanie. Na autostradzie przy 130 km/h samochód przejedzie w czasie reakcji 36 m, ale hamuje przez kolejne 93 m. Od zauważenia przeszkody do zatrzymania potrzebuje więc prawie stu trzydziestu metrów, więcej niż całe boisko piłkarskie.

Na wykresie widać to jeszcze lepiej. Czas liczymy tu od wciśnięcia hamulca. Z setki wykres zaczyna się dwa razy wyżej, a ponieważ prędkości ubywa tak samo szybko, o 7 m/s na sekundę, hamowanie trwa też dwa razy dłużej. Trójkąt jest dwa razy wyższy i dwa razy szerszy, więc jego pole jest cztery razy większe. Białe linie razem z czerwoną dzielą go na cztery trójkąty, z których każdy jest przystający do czerwonego.

Trzydziestka przed szkołą

Przy szkołach często obowiązuje ograniczenie do 30 km/h. Czy to ma sens, skoro chodzi tylko o dwadzieścia kilometrów na godzinę? Z trzydziestki, czyli z 8,3 m/s, samochód przejedzie w czasie reakcji 8,3 m, a droga hamowania wynosi

$$s_h=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Samochód zatrzyma się po 13,3 m. Kierowca jadący pięćdziesiątką przejedzie w samym czasie reakcji 13,9 m. Tam, gdzie kierowca jadący trzydziestką już by stał, ten drugi jeszcze nawet nie zaczął hamować i uderzy w dziecko z pełną pięćdziesiątką.

Jaki odstęp?

Jedziesz drogą powiatową z prędkością 90 km/h, czyli 25 m/s, za innym samochodem, który nagle gwałtownie hamuje. Jeśli oba samochody hamują tak samo, mają też tak samo długą drogę hamowania. Ty jednak zaczniesz hamować o czas reakcji później i w tym czasie przejedziesz 25 m z pełną prędkością. Odstęp musi więc być co najmniej tak duży jak droga reakcji, inaczej wjedziesz w samochód przed sobą.

Instruktorzy jazdy radzą stosować zasadę dwóch sekund: gdy samochód przed tobą minie słupek przy jezdni, powinieneś do niego dojechać najwcześniej po dwóch sekundach. Przy dziewięćdziesiątce to 50 m, dwa razy więcej niż droga reakcji. Zapas się przydaje, bo twoje hamulce mogą być gorsze, a samochód przed tobą może zatrzymać się na przeszkodzie dużo wcześniej niż po drodze hamowania.

Jak szybko jechał?

Wzór działa też w drugą stronę. Starszy samochód bez ABS przy gwałtownym hamowaniu blokuje koła i zostawia na jezdni czarny ślad hamowania. Po wypadku na suchej drodze policja mierzy ślad o długości 25 m. Kierowca twierdzi, że jechał przepisową pięćdziesiątką. Czy mówi prawdę? Dane i szukane:

$$\begin{array}{rl}{s}_h& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Ze wzoru na drogę hamowania wyznaczamy prędkość. Obie strony mnożymy przez $2\cdot |a|$ i pierwiastkujemy:

$$\begin{array}{rcl}{s}_h& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_h& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_h}\end{array}$$

Podstawiamy:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Pierwiastek z metrów kwadratowych na sekundę do kwadratu daje metry na sekundę. Samochód jechał co najmniej około 67 km/h, żadna pięćdziesiątka. Z pięćdziesiątki ślad miałby tylko 13,8 m.

Mokra jezdnia i lód

Na mokrej jezdni, na śniegu i na lodzie samochód hamuje słabiej, bo opony gorzej trzymają się śliskiej nawierzchni. Przyczyną jest tarcie, do którego dojdziemy przy siłach. Na razie wystarczy wiedzieć, że opóźnienie jest mniejsze. We wzorze stoi w mianowniku, więc dwa razy mniejsze opóźnienie oznacza dwa razy dłuższą drogę hamowania. Orientacyjne wartości i drogi hamowania z pięćdziesiątki:

Na lodzie z pięćdziesiątki zatrzymasz się prawie po stu metrach. Na drogę reakcji nawierzchnia nie ma wpływu, ta zależy tylko od prędkości i od kierowcy. Właśnie dlatego zimą jeździ się wolniej i z większym odstępem.

Kalkulator drogi hamowania

Wpisz prędkość, czas reakcji i nawierzchnię drogi, a kalkulator obliczy drogę reakcji, drogę hamowania, całkowitą drogę zatrzymania i czas od zauważenia przeszkody do zatrzymania. Opóźnienie dla danej nawierzchni odpowiada tabeli powyżej i jest tylko orientacyjne, przy zużytych oponach albo gorszych hamulcach będzie mniejsze.

Podczas hamowania prędkość maleje jednostajnie. Przypadek odwrotny spotykamy codziennie, wystarczy coś upuścić: spadający kamień co sekundę ma prędkość większą o taki sam kawałek. Jak głęboka jest studnia, jeśli kamień plusnie po dwóch sekundach, i dlaczego na Księżycu młotek i piórko spadają jednocześnie, obliczymy w następnym artykule, Spadek swobodny.