Frenagem e distância de frenagem

Você está andando pela cidade a 50 km/h e, vinte metros à sua frente, uma criança sai correndo do meio dos carros estacionados atrás de uma bola. Você consegue parar? O carro não para no momento em que você vê a criança. Primeiro você precisa reagir e pisar no freio, e só depois ele começa a desacelerar. A distância desde o momento em que você vê o obstáculo até parar, por isso, se compõe de duas partes:

• a distância de reação s_r, que o carro percorre antes de o motorista começar a frear,
• a distância de frenagem s_f, que ele percorre desde a pisada no freio até parar.

O índice r vem de reação, o f de frenagem. Juntas, elas dão a distância total:

$$s=s_r+s_f$$

Distância de reação

Antes de o motorista reagir ao obstáculo, passa o tempo de reação t_r. Ele precisa perceber o que está acontecendo, decidir, passar o pé do acelerador para o freio e pisar nele. Um motorista descansado e concentrado consegue fazer isso em cerca de 1 s, e é com um segundo, por isso, que se calcula também na autoescola. Um motorista cansado ou aquele que está justamente respondendo a uma mensagem reage muito mais devagar. Quem, a 50 km/h, olha por dois segundos para o celular percorre às cegas quase 28 m.

Durante todo o tempo de reação a velocidade do carro não muda, o motorista ainda não está freando. A distância de reação é, por isso, a distância de um movimento uniforme:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Convertemos cinquenta quilômetros por hora em metros por segundo, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e em um segundo de tempo de reação o carro percorre

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Quase catorze metros e o carro ainda nem começou a frear.

Distância de frenagem

Assim que o motorista pisa no freio, o carro começa a desacelerar. Um bom carro em asfalto seco freia com desaceleração de cerca de 7 m/s², a cada segundo anda 7 m/s mais devagar. Tomamos como sentido positivo o sentido da marcha e a aceleração, por isso, sai negativa, a = −7 m/s². Suponhamos que ela não mude durante a frenagem. A frenagem é então um movimento uniformemente variado com aceleração negativa, também chamado de movimento uniformemente retardado.

A frenagem começa com a velocidade v com que o carro andava e termina com velocidade nula. O tempo não nos interessa, e por isso recorremos à relação sem tempo, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. A velocidade inicial é v, a final é zero e a distância é a distância de frenagem:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

O sinal de menos na fórmula não precisa nos assustar. A aceleração é negativa, por isso o denominador também é negativo e a fração inteira sai positiva, como convém a uma distância. Do menos e do valor negativo de a surge um número positivo, a desaceleração. Nós a indicamos como o módulo da aceleração $|a|$ e, com ela, escrevemos a distância de frenagem assim:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Colocamos os números na fórmula. Deixamos a velocidade como fração, para não arredondar um resultado intermediário:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

As unidades conferem: metros ao quadrado por segundo ao quadrado divididos por metros por segundo ao quadrado dão metros. De 50 km/h o carro freia em 13,8 m, quase tão longe quanto percorreu durante o tempo de reação.

Dá vontade de substituir a velocidade direto em quilômetros por hora. Sairia $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, mas isso não são metros nem outra coisa, porque quilômetros por hora não se cancelam com metros por segundo ao quadrado. Cento e setenta e nove metros de distância de frenagem a partir de 50 km/h, além disso, deveriam levantar suspeita já na estimativa, afinal é quase o comprimento de dois campos de futebol.

Quanto tempo a frenagem leva? Da fórmula v = v₀ + a · t obtemos, com velocidade final zero, pelo mesmo raciocínio

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Da pisada no freio até parar passam menos de dois segundos.

O gráfico da velocidade mostra o movimento inteiro. Durante o tempo de reação t_r ele é horizontal, o carro anda com velocidade constante. Depois desce em linha reta até zero. A distância é a área sob o gráfico: o retângulo azul é a distância de reação e o triângulo vermelho, a de frenagem. A área do triângulo é metade do produto dos catetos, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, igual à da fórmula.

Conseguimos parar antes da criança?

Calculamos a distância inteira passo a passo. Primeiro os dados; já convertemos a velocidade em metros por segundo:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

A distância total é, em geral, a soma das duas partes:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Já calculamos as duas partes:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Desde o momento em que você vê a criança, o carro percorre cerca de 28 m, mais ou menos seis comprimentos de um carro de passeio. Diante da criança que correu vinte metros à sua frente você não consegue parar. Quando chegar até ela, depois do tempo de reação você terá freado só seis metros e ainda andará quase a 40 km/h.

O dobro da velocidade, o quádruplo da distância de frenagem

E se você andasse a 100 km/h numa rodovia? A velocidade é 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Em um segundo de tempo de reação você percorre 27,8 m, duas vezes mais do que a 50. A distância de frenagem é

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

quatro vezes mais do que a 50. No total o carro percorre 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, três vezes mais do que a 50.

Por que exatamente quatro vezes? A velocidade, na fórmula da distância de frenagem, é elevada ao quadrado e o dobro ao quadrado é o quádruplo: (2 · v)² = 4 · v². A distância de reação cresce com a velocidade só de modo diretamente proporcional, de modo que, quanto mais depressa você anda, maior a parte da distância total que é frenagem. Na rodovia, a 130 km/h, o carro percorre durante o tempo de reação 36 m, mas ainda freia mais 93 m. Da visão do obstáculo até parar, portanto, ele precisa de quase cento e trinta metros, mais do que um campo de futebol inteiro.

No gráfico isso se vê melhor ainda. Aqui contamos o tempo a partir da pisada no freio. De 100, o gráfico começa duas vezes mais alto e, como a velocidade se perde com a mesma rapidez, 7 m/s por segundo, a frenagem dura também duas vezes mais. O triângulo é duas vezes mais alto e duas vezes mais largo e, por isso, a área dele é quatro vezes maior. As linhas brancas, junto com a vermelha, o dividem em quatro triângulos, cada um congruente com o vermelho.

30 km/h em frente à escola

Em frente às escolas vale o limite de 30 km/h. Faz sentido, se são só vinte quilômetros por hora a menos? De 30, ou seja, de 8,3 m/s, o carro percorre durante o tempo de reação 8,3 m e a distância de frenagem é

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

O carro para depois de 13,3 m. O motorista que anda a 50 km/h percorre só durante o tempo de reação 13,9 m. Ali onde o motorista que anda a 30 já estaria parado, o outro ainda nem começou a frear e atinge a criança em plenos 50 km/h.

Que distância manter?

Numa estrada secundária você anda a 90 km/h, ou seja, 25 m/s, atrás de outro carro, que de repente freia com força. Se os dois carros freiam do mesmo jeito, também têm a mesma distância de frenagem. Mas você começa a frear um tempo de reação mais tarde e, nesse meio-tempo, percorre 25 m com a velocidade inteira. A distância de segurança, por isso, precisa ser pelo menos tão grande quanto a distância de reação, senão você bate no carro da frente.

As autoescolas aconselham a regra dos dois segundos: quando o carro à sua frente passa por um poste, você deve chegar a ele no mínimo dois segundos depois. A 90 km/h, isso dá 50 m, duas vezes a distância de reação. A margem vem a calhar, porque os seus freios podem ser piores e o carro à sua frente pode parar contra um obstáculo muito antes do que a distância de frenagem.

A que velocidade ele andava?

A fórmula funciona também ao contrário. Um carro mais antigo, sem ABS, numa frenagem brusca trava as rodas e deixa na estrada uma marca preta de frenagem. Depois de um acidente em pista seca, a polícia mede uma marca de 25 m de comprimento. O motorista afirma que andava na velocidade permitida de 50 km/h. Ele diz a verdade? O enunciado é:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Na fórmula da distância de frenagem, isolamos a velocidade. Multiplicamos os dois lados por $2\cdot |a|$ e extraímos a raiz quadrada:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Substituímos:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

A raiz quadrada de metros ao quadrado por segundo ao quadrado dá metros por segundo. O carro andava a pelo menos uns 67 km/h, nada de 50. De 50 a marca mediria só 13,8 m.

Pista molhada e gelo

Na pista molhada, na neve e no gelo, o carro desacelera menos, porque os pneus se seguram pior numa superfície escorregadia. O motivo é o atrito e a ele chegaremos nas forças. Por enquanto basta saber que a desaceleração é menor. Na fórmula ela está no denominador, e a metade da desaceleração, por isso, significa o dobro da distância de frenagem. Valores aproximados e distâncias de frenagem a partir de 50:

No gelo, a partir de 50 você só para depois de quase cem metros. A superfície não influencia a distância de reação, ela depende só da velocidade e do motorista. É justamente por isso que, no inverno, se anda mais devagar e com maior distância.

Calculadora da distância de frenagem

Digite a velocidade, o tempo de reação e a superfície da pista, e a calculadora calcula a distância de reação, a distância de frenagem, a distância total e o tempo desde a visão do obstáculo até parar. A desaceleração conforme a superfície corresponde à tabela acima e é apenas aproximada, com pneus gastos ou freios piores será menor.

Na frenagem, a velocidade diminui uniformemente. Encontramos o caso oposto todo dia, basta deixar cair qualquer coisa: uma pedra que cai tem, a cada segundo, uma velocidade maior na mesma medida. No próximo artigo, Queda livre, calcularemos qual é a profundidade de um poço se a pedra faz “splash” em dois segundos e por que na Lua o martelo e a pena chegam ao chão ao mesmo tempo.