Спиране и спирачен път

Минаваш през града с петдесет и на двайсет метра пред теб иззад паркирани коли изскача дете след топка. Ще спреш ли? Колата не спира в момента, в който видиш детето. Първо трябва да реагираш и да натиснеш спирачката и едва тогава започва да забавя. Пътят от момента, в който видиш препятствието, до спирането затова се състои от две части:

• път за реакция s_реак, който колата изминава, преди шофьорът да започне да спира,
• спирачен път s_сп, който изминава от натискането на спирачката до спирането.

Индексът „реак“ идва от реакция, „сп“ – от спиране. Заедно те дават общия път:

$$s=s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}$$

Път за реакция

Преди шофьорът да реагира на препятствието, минава време за реакция t_реак. Трябва да забележи какво става, да вземе решение, да премести крака от газта на спирачката и да я натисне. Отпочинал и съсредоточен шофьор успява да направи това приблизително за 1 s и с една секунда затова се смята и в школата по шофиране. Уморен шофьор или такъв, който точно отговаря на съобщение, реагира много по-бавно. Който при петдесет погледне за две секунди в телефона, изминава на сляпо почти 28 m.

През цялото време за реакция скоростта на колата не се променя, шофьорът още не спира. Пътят за реакция е затова път при равномерно движение:

$$s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}=v\cdot t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}$$

Петдесет километра в час преобразуваме в метри в секунда, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, и за една секунда време за реакция колата изминава

$$s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Почти четиринайсет метра, а колата още не е започнала да спира.

Спирачен път

Щом шофьорът натисне спирачката, колата започва да забавя. Добра кола на сух асфалт спира със забавяне около 7 m/s², всяка секунда се движи със 7 m/s по-бавно. За положителна посока вземаме посоката на движение и ускорението затова излиза отрицателно, a = −7 m/s². Да предположим, че по време на спирането то не се променя. Спирането е тогава равноускорително движение с отрицателно ускорение, което се нарича и равнозакъснително движение.

Спирането започва със скоростта v, с която колата се е движила, и свършва с нулева скорост. Времето не ни интересува и затова посягаме към зависимостта без време, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Началната скорост е v, крайната нула и пътят е спирачният път:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}\end{array}$$

Минусът във формулата не бива да ни плаши. Ускорението е отрицателно, отрицателен е затова и знаменателят и цялата дроб излиза положителна, както подобава на път. От минуса и отрицателната стойност на a получаваме положително число, забавянето. Означаваме го като големина на ускорението $|a|$ и спирачния път с него записваме така:

$$s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Във формулата поставяме числата. Скоростта оставяме като дроб, за да не закръгляваме междинния резултат:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{с}\mathrm{п}}& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Мерните единици са верни: метри на квадрат в секунда на квадрат, разделени на метри в секунда на квадрат, дават метри. От петдесет колата спира на 13,8 m, почти толкова далече, колкото е изминала по време на реакцията.

Примамливо е да заместим скоростта направо в километри в час. Би излязло $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, но това не са метри, нито нещо друго, защото километрите в час не се съкращават с метрите в секунда на квадрат. Сто и осемдесет метра спирачен път от петдесет би трябвало впрочем да събуди подозрение още при оценката, нали това е почти дължината на две футболни игрища.

Колко време отнема спирането? От формулата v = v₀ + a · t с крайна скорост нула по същото разсъждение получаваме

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

От натискането на спирачката до спирането минават по-малко от две секунди.

Цялото движение показва графиката на скоростта. По време на реакцията t_реак тя е хоризонтална, колата се движи с постоянна скорост. После пада по права до нула. Пътят е лицето под графиката: синият правоъгълник е пътят за реакция, червеният триъгълник спирачният. Лицето на триъгълника е половината от произведението на катетите, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, също както от формулата.

Ще спрем ли пред детето?

Целия път ще пресметнем последователно. Първо условието, скоростта веднага преобразуваме в метри в секунда:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Общият път в общия случай е сбор от двете части:

$$s=v\cdot t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

И двете части вече са пресметнати:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

От момента, в който видиш детето, колата изминава около 28 m, приблизително шест дължини на лек автомобил. Пред дете, което е изскочило на двайсет метра пред теб, няма да успееш да спреш. Когато стигнеш до него, ще спираш едва шест метра след времето за реакция и ще се движиш все още почти с четирийсет.

Двойна скорост, четири пъти по-дълъг спирачен път

А ако се движиш със сто по път от първи клас? Скоростта е 100 km/h ≈ 27,8 m/s. За секундата реакция ще изминеш 27,8 m, два пъти повече отколкото от петдесет. Спирачният път е

$$s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

четири пъти повече отколкото от петдесет. Общо колата изминава 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, три пъти повече отколкото от петдесет.

Защо точно четири пъти? Скоростта във формулата за спирачния път се повдига на квадрат а удвоеното число на квадрат дава четири пъти повече: (2 · v)² = 4 · v². Пътят за реакция расте със скоростта само право пропорционално, така че колкото по-бързо караш, толкова по-голяма част от общия път е спирането. На магистралата при 130 km/h колата за времето за реакция изминава 36 m, но спира още 93 m. От виждането на препятствието до спирането ѝ трябват така почти сто и трийсет метра, повече от цяло футболно игрище.

В графиката това се вижда още по-добре. Времето тук броим от натискането на спирачката. От сто графиката започва два пъти по-високо и тъй като скоростта се губи със същата бързина, 7 m/s за секунда, спирането трае също два пъти по-дълго. Триъгълникът е два пъти по-висок и два пъти по-широк и лицето му затова е четири пъти по-голямо. Белите линии заедно с червената го разделят на четири триъгълника, всеки от които е еднакъв с червения.

Трийсет километра в час пред училището

Пред училищата важи ограничение 30 km/h. Има ли смисъл, когато става дума само за двайсет километра в час? От трийсет, тоест от 8,3 m/s, колата за времето за реакция изминава 8,3 m и спирачният път е

$$s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Колата спира след 13,3 m. Шофьорът, който се движи с петдесет, само за времето за реакция изминава 13,9 m. Там, където шофьорът с трийсет вече би стоял, другият още дори не е започнал да спира и ще удари детето с пълните петдесет.

Колко голяма дистанция?

По второстепенен път се движиш със скорост 90 km/h, тоест 25 m/s, зад друга кола, която внезапно рязко спира. Ако двете коли спират еднакво, имат и еднакво дълъг спирачен път. Ти обаче започваш да спираш с времето за реакция по-късно и междувременно изминаваш 25 m с пълна скорост. Дистанцията затова трябва да е най-малко толкова голяма, колкото е пътят за реакция, иначе ще се блъснеш в колата пред теб.

Школите по шофиране съветват правило на двете секунди: когато колата пред теб подмине пътен стълб, трябва да стигнеш до него най-рано след две секунди. При деветдесет това са 50 m, два пъти повече от пътя за реакция. Резервът е добре дошъл, защото твоите спирачки могат да са по-лоши и колата пред теб може да се удари в препятствие и да спре много по-рано, отколкото след спирачния си път.

С каква скорост се е движил?

Формулата работи и обратно. По-стара кола без ABS при рязко спиране блокира колелата и оставя на пътя черна спирачна следа. След катастрофа на сух път полицията измерва следа с дължина 25 m. Шофьорът твърди, че се е движил с разрешените петдесет. Казва ли истината? Условието гласи:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{с}\mathrm{п}}& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

От формулата за спирачния път изразяваме скоростта. Двете страни умножаваме по $2\cdot |a|$ и извличаме корен:

$$\begin{array}{rcl}{s}_{\mathrm{с}\mathrm{п}}& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{с}\mathrm{п}}}\end{array}$$

Заместваме:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Коренът от метри на квадрат в секунда на квадрат дава метри в секунда. Колата се е движила най-малко приблизително със 67 km/h, никакви петдесет. От петдесет следата щеше да е само 13,8 m.

Мокър път и лед

По мокър път, по сняг и по лед колата забавя по-слабо, защото гумите се държат по-трудно на хлъзгава повърхност. Причината е триенето и до него ще стигнем при силите. Засега стига да знаем, че забавянето е по-малко. Във формулата то стои в знаменателя и два пъти по-малко забавяне затова означава двоен спирачен път. Ориентировъчни стойности и спирачни пътища от петдесет:

На лед от петдесет ще спреш след почти сто метра. На пътя за реакция повърхността не влияе, той зависи само от скоростта и от шофьора. Точно затова през зимата се кара по-бавно и с по-голяма дистанция.

Калкулатор на спирачния път

Въведи скорост, време за реакция и вида на пътя и калкулаторът ще пресметне пътя за реакция, спирачния път, общия път и времето от виждането на препятствието до спирането. Забавянето според повърхността отговаря на таблицата по-горе и е само ориентировъчно, с износени гуми или по-лоши спирачки ще е по-малко.

При спирането скоростта намалява равномерно. Обратния случай срещаме всеки ден, достатъчно е да изпуснем нещо: падащият камък има всяка секунда скорост, по-голяма с една и съща стойност. Колко е дълбок кладенецът, ако камъкът цопне във водата след две секунди, и защо на Луната чукът и перото падат едновременно, ще пресметнем в следващата статия, Свободно падане.