Bremsen und Bremsweg

Du fährst mit 50 durch die Stadt, und zwanzig Meter vor dir rennt hinter geparkten Autos ein Kind seinem Ball hinterher. Kommst du rechtzeitig zum Stehen? Das Auto steht nicht in dem Moment, in dem du das Kind siehst. Zuerst musst du reagieren und auf die Bremse treten, und erst dann beginnt das Auto langsamer zu werden. Der Weg vom Erkennen des Hindernisses bis zum Stillstand besteht deshalb aus zwei Teilen:

• dem Reaktionsweg s_R, den das Auto zurücklegt, bevor der Fahrer zu bremsen beginnt,
• dem Bremsweg s_B, den es vom Betätigen der Bremse bis zum Stillstand zurücklegt.

Der Index R steht für Reaktion, B für Bremsen. Zusammen ergeben sie den Anhalteweg:

$$s=s_R+s_B$$

Reaktionsweg

Bevor der Fahrer auf das Hindernis reagiert, vergeht die Reaktionszeit t_R. Er muss bemerken, was passiert, sich entscheiden, den Fuß vom Gas auf die Bremse setzen und sie durchtreten. Ein ausgeruhter und konzentrierter Fahrer schafft das in etwa 1 s, und mit einer Sekunde wird deshalb auch in der Fahrschule gerechnet. Ein müder Fahrer oder jemand, der gerade eine Nachricht beantwortet, reagiert viel langsamer. Wer bei Tempo 50 zwei Sekunden aufs Handy schaut, fährt fast 28 m blind.

Während der ganzen Reaktionszeit ändert sich die Geschwindigkeit des Autos nicht, der Fahrer bremst ja noch nicht. Der Reaktionsweg ist deshalb der Weg einer gleichförmigen Bewegung:

$$s_R=v\cdot t_R$$

Fünfzig Kilometer pro Stunde rechnen wir in Meter pro Sekunde um, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, und in einer Sekunde Reaktionszeit legt das Auto diesen Weg zurück:

$$s_R=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Fast vierzehn Meter, und das Auto hat noch nicht einmal zu bremsen begonnen.

Bremsweg

Sobald der Fahrer auf die Bremse tritt, wird das Auto langsamer. Ein gutes Auto bremst auf trockenem Asphalt mit einer Verzögerung von etwa 7 m/s², jede Sekunde wird es um 7 m/s langsamer. Als positive Richtung nehmen wir die Fahrtrichtung, die Beschleunigung ist deshalb negativ, a = −7 m/s². Nehmen wir an, dass sie sich beim Bremsen nicht ändert. Das Bremsen ist dann eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit negativer Beschleunigung, die man auch gleichmäßig verzögerte Bewegung nennt.

Das Bremsen beginnt mit der Geschwindigkeit v, mit der das Auto gefahren ist, und endet mit der Geschwindigkeit null. Die Zeit interessiert uns nicht, also greifen wir zur Beziehung ohne Zeit, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Die Anfangsgeschwindigkeit ist v, die Endgeschwindigkeit null, und der Weg ist der Bremsweg:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_B/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_B/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_B\end{array}$$

Das Minus in der Formel muss uns nicht erschrecken. Die Beschleunigung ist negativ, deshalb ist auch der Nenner negativ, und der ganze Bruch wird positiv, wie es sich für einen Weg gehört. Aus dem Minus und dem negativen Wert von a entsteht eine positive Zahl, die Verzögerung. Wir bezeichnen sie als Betrag der Beschleunigung $|a|$ und schreiben den Bremsweg mit ihr so:

$$s_B=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

In die Formel setzen wir die Zahlen ein. Die Geschwindigkeit lassen wir als Bruch stehen, damit wir das Zwischenergebnis nicht runden:

$$\begin{array}{rl}{s}_B& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Die Einheiten stimmen: Meter zum Quadrat pro Sekunde zum Quadrat geteilt durch Meter pro Sekunde zum Quadrat ergibt Meter. Aus Tempo 50 kommt das Auto nach 13,8 m zum Stehen, fast genauso weit, wie es während der Reaktionszeit gefahren ist.

Es ist verlockend, die Geschwindigkeit gleich in Kilometern pro Stunde einzusetzen. Es käme $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$ heraus, aber das sind weder Meter noch sonst etwas, weil sich Kilometer pro Stunde nicht gegen Meter pro Sekunde zum Quadrat kürzen lassen. Hundertachtzig Meter Bremsweg aus Tempo 50 sollten außerdem schon bei einer Überschlagsrechnung Verdacht erregen, das ist ja fast die Länge von zwei Fußballfeldern.

Wie lange dauert das Bremsen? Aus der Formel v = v₀ + a · t erhalten wir mit der Endgeschwindigkeit null durch dieselbe Überlegung

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Vom Betätigen der Bremse bis zum Stillstand vergehen knapp zwei Sekunden.

Die ganze Bewegung zeigt der Geschwindigkeitsgraph. Während der Reaktionszeit t_R ist er waagerecht, das Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Danach fällt er geradlinig bis auf null. Der Weg ist die Fläche unter dem Graphen: Das blaue Rechteck ist der Reaktionsweg, das rote Dreieck der Bremsweg. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, genau wie aus der Formel.

Halten wir vor dem Kind?

Den ganzen Weg berechnen wir Schritt für Schritt. Zuerst die Angaben, die Geschwindigkeit rechnen wir gleich in Meter pro Sekunde um:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_R& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Der gesamte Weg ist allgemein die Summe der beiden Teile:

$$s=v\cdot t_R+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Beide Teile haben wir schon berechnet:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Ab dem Moment, in dem du das Kind siehst, legt das Auto etwa 28 m zurück, ungefähr sechs Pkw-Längen. Vor dem Kind, das zwanzig Meter vor dir losgerannt ist, kommst du nicht mehr zum Stehen. Bis du bei ihm bist, hast du nach der Reaktionszeit erst sechs Meter gebremst und fährst noch fast 40.

Doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg

Und was, wenn du auf einer Landstraße mit 100 unterwegs wärst? Die Geschwindigkeit ist 100 km/h ≈ 27,8 m/s. In einer Sekunde Reaktionszeit legst du 27,8 m zurück, doppelt so viel wie bei Tempo 50. Der Bremsweg ist

$$s_B=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

viermal so lang wie bei Tempo 50. Insgesamt legt das Auto 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m zurück, dreimal so viel wie bei Tempo 50.

Warum gerade viermal? Die Geschwindigkeit wird in der Formel für den Bremsweg quadriert, und das Doppelte zum Quadrat ist das Vierfache: (2 · v)² = 4 · v². Der Reaktionsweg wächst mit der Geschwindigkeit nur direkt proportional, je schneller du also fährst, desto größer ist der Anteil des Bremsens am gesamten Weg. Auf der Autobahn bei 130 km/h legt das Auto in der Reaktionszeit 36 m zurück und bremst dann noch weitere 93 m. Vom Erkennen des Hindernisses bis zum Stillstand braucht es so fast hundertdreißig Meter, mehr als ein ganzes Fußballfeld.

Im Graphen sieht man das noch besser. Die Zeit zählen wir hier ab dem Betätigen der Bremse. Bei Tempo 100 beginnt der Graph doppelt so hoch, und weil die Geschwindigkeit gleich schnell abnimmt, 7 m/s pro Sekunde, dauert das Bremsen auch doppelt so lange. Das Dreieck ist doppelt so hoch und doppelt so breit, sein Flächeninhalt ist deshalb viermal so groß. Die weißen Linien teilen es zusammen mit der roten in vier Dreiecke, von denen jedes zum roten kongruent ist.

Tempo 30 vor der Schule

Vor Schulen gilt eine Begrenzung auf 30 km/h. Bringt das etwas, wenn es nur um zwanzig Kilometer pro Stunde geht? Aus Tempo 30, also aus 8,3 m/s, legt das Auto in der Reaktionszeit 8,3 m zurück, und der Bremsweg ist

$$s_B=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Das Auto steht nach 13,3 m. Ein Fahrer, der mit 50 fährt, legt allein in der Reaktionszeit 13,9 m zurück. Dort, wo der Fahrer mit Tempo 30 schon stünde, hat der andere noch nicht einmal zu bremsen begonnen und prallt mit vollen 50 gegen das Kind.

Wie groß muss der Abstand sein?

Auf der Landstraße fährst du mit 90 km/h, also 25 m/s, hinter einem anderen Auto, das plötzlich stark bremst. Wenn beide Autos gleich stark bremsen, haben sie auch denselben Bremsweg. Du beginnst aber um die Reaktionszeit später zu bremsen und fährst in der Zeit noch 25 m mit voller Geschwindigkeit. Der Abstand muss deshalb mindestens so groß sein wie der Reaktionsweg, sonst fährst du auf das Auto vor dir auf.

Die Fahrschule empfiehlt die Zwei-Sekunden-Regel: Wenn das Auto vor dir an einem Leitpfosten vorbeifährt, solltest du frühestens nach zwei Sekunden dort ankommen. Bei neunzig sind das 50 m, doppelt so viel wie der Reaktionsweg. Die Reserve ist willkommen, denn deine Bremsen können schlechter sein, und das Auto vor dir kann an einem Hindernis viel früher zum Stehen kommen als nach einem Bremsweg.

Wie schnell ist er gefahren?

Die Formel funktioniert auch umgekehrt. Ein älteres Auto ohne ABS blockiert beim starken Bremsen die Räder und hinterlässt auf der Straße eine schwarze Bremsspur. Nach einem Unfall auf trockener Straße misst die Polizei eine Spur von 25 m. Der Fahrer behauptet, er sei mit den erlaubten 50 gefahren. Sagt er die Wahrheit? Die Angaben lauten:

$$\begin{array}{rl}{s}_B& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Aus der Formel für den Bremsweg drücken wir die Geschwindigkeit aus. Wir multiplizieren beide Seiten mit $2\cdot |a|$ und ziehen die Wurzel:

$$\begin{array}{rcl}{s}_B& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_B& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_B}\end{array}$$

Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Die Wurzel aus Meter zum Quadrat pro Sekunde zum Quadrat ergibt Meter pro Sekunde. Das Auto fuhr mindestens etwa 67 km/h, von wegen 50. Aus Tempo 50 wäre die Spur nur 13,8 m lang.

Nasse Straße und Eis

Auf nasser Straße, auf Schnee und auf Eis wird das Auto weniger stark langsamer, weil die Reifen auf rutschigem Untergrund schlechter haften. Der Grund ist die Reibung, und die behandeln wir bei den Kräften. Vorerst genügt es zu wissen, dass die Verzögerung kleiner ist. In der Formel steht sie im Nenner, und halbe Verzögerung bedeutet deshalb doppelten Bremsweg. Richtwerte und die Bremswege aus Tempo 50:

Auf Eis kommst du aus Tempo 50 erst nach fast hundert Metern zum Stehen. Der Reaktionsweg wird vom Untergrund nicht beeinflusst, er hängt nur von der Geschwindigkeit und vom Fahrer ab. Genau deshalb fährt man im Winter langsamer und mit mehr Abstand.

Bremsweg-Rechner

Gib die Geschwindigkeit, die Reaktionszeit und den Straßenzustand ein, und der Rechner berechnet den Reaktionsweg, den Bremsweg, den Anhalteweg und die Zeit vom Erkennen des Hindernisses bis zum Stillstand. Die Verzögerung je nach Untergrund entspricht der Tabelle oben und ist nur ein Richtwert, mit abgefahrenen Reifen oder schlechteren Bremsen wird sie kleiner sein.

Beim Bremsen nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig ab. Den umgekehrten Fall erleben wir jeden Tag, man muss nur etwas fallen lassen: Ein fallender Stein hat in jeder Sekunde eine um denselben Betrag größere Geschwindigkeit. Wie tief ein Brunnen ist, wenn der Stein nach zwei Sekunden platscht, und warum auf dem Mond Hammer und Feder gleichzeitig aufschlagen, rechnen wir im nächsten Artikel aus, Freier Fall.