Φρενάρισμα και διάστημα πέδησης

Οδηγείς μέσα στην πόλη με πενήντα και είκοσι μέτρα μπροστά σου πετάγεται ανάμεσα από τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα ένα παιδί που κυνηγά μια μπάλα. Θα σταματήσεις; Το αυτοκίνητο δεν σταματά τη στιγμή που βλέπεις το παιδί. Πρώτα πρέπει να αντιδράσεις και να πατήσεις το φρένο, και μόνο μετά αρχίζει να επιβραδύνεται. Η απόσταση από τη στιγμή που βλέπεις το εμπόδιο ως τη στάση αποτελείται γι' αυτό από δύο μέρη:

• το διάστημα αντίδρασης s_α, που διανύει το αυτοκίνητο προτού ο οδηγός αρχίσει να φρενάρει,
• το διάστημα πέδησης s_π, που διανύει από τη στιγμή που πατάς το φρένο ως τη στάση.

Ο δείκτης α προέρχεται από τη λέξη αντίδραση, ο π από τη λέξη πέδηση. Μαζί δίνουν τη συνολική απόσταση, την απόσταση ακινητοποίησης:

$$s=s_{\alpha }+s_{\pi }$$

Διάστημα αντίδρασης

Προτού ο οδηγός αντιδράσει στο εμπόδιο, περνά ο χρόνος αντίδρασης t_α. Πρέπει να προσέξει τι συμβαίνει, να αποφασίσει, να μετακινήσει το πόδι από το γκάζι στο φρένο και να το πατήσει. Ένας ξεκούραστος και συγκεντρωμένος οδηγός το καταφέρνει περίπου σε 1 s, και γι' αυτό με ένα δευτερόλεπτο υπολογίζουν και στη σχολή οδηγών. Ένας κουρασμένος οδηγός ή αυτός που τη στιγμή εκείνη απαντά σε ένα μήνυμα αντιδρά πολύ πιο αργά. Όποιος κοιτάξει με ταχύτητα πενήντα το κινητό για δύο δευτερόλεπτα, διανύει στα τυφλά σχεδόν 28 m.

Σε όλη τη διάρκεια του χρόνου αντίδρασης η ταχύτητα του αυτοκινήτου δεν αλλάζει, ο οδηγός ακόμη δεν φρενάρει. Το διάστημα αντίδρασης είναι γι' αυτό το διάστημα μιας ομαλής κίνησης:

$$s_{\alpha }=\upsilon \cdot t_{\alpha }$$

Τα πενήντα χιλιόμετρα την ώρα τα μετατρέπουμε σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, και σε ένα δευτερόλεπτο χρόνου αντίδρασης το αυτοκίνητο διανύει

$$s_{\alpha }=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Σχεδόν δεκατέσσερα μέτρα και το αυτοκίνητο ακόμη δεν έχει αρχίσει να φρενάρει.

Διάστημα πέδησης

Μόλις ο οδηγός πατήσει το φρένο, το αυτοκίνητο αρχίζει να επιβραδύνεται. Ένα καλό αυτοκίνητο σε στεγνή άσφαλτο φρενάρει με επιβράδυνση περίπου 7 m/s², κάθε δευτερόλεπτο κινείται κατά 7 m/s πιο αργά. Ως θετική φορά παίρνουμε τη φορά της κίνησης και η επιτάχυνση γι' αυτό βγαίνει αρνητική, α = −7 m/s². Ας υποθέσουμε ότι δεν αλλάζει κατά το φρενάρισμα. Το φρενάρισμα είναι τότε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρνητική επιτάχυνση, που ονομάζεται και ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

Το φρενάρισμα αρχίζει με την ταχύτητα υ με την οποία κινούνταν το αυτοκίνητο και τελειώνει με μηδενική ταχύτητα. Ο χρόνος δεν μας ενδιαφέρει, και γι' αυτό καταφεύγουμε στη σχέση χωρίς χρόνο, ${\upsilon }^2={\upsilon }_0^2+2\cdot \alpha \cdot s$. Η αρχική ταχύτητα είναι υ, η τελική μηδέν και το διάστημα είναι το διάστημα πέδησης:

$$\begin{array}{rcl}0& =& {\upsilon }^2+2\cdot \alpha \cdot s_{\pi }/-{\upsilon }^2\\ -{\upsilon }^2& =& 2\cdot \alpha \cdot s_{\pi }/:(2\cdot \alpha )\\ -\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot \alpha }& =& s_{\pi }\end{array}$$

Το μείον στον τύπο δεν χρειάζεται να μας τρομάζει. Η επιτάχυνση είναι αρνητική, αρνητικός είναι γι' αυτό και ο παρονομαστής και ολόκληρο το κλάσμα βγαίνει θετικό, όπως ταιριάζει σε ένα διάστημα. Από το μείον και την αρνητική τιμή του α προκύπτει ένας θετικός αριθμός, η επιβράδυνση. Τη συμβολίζουμε με το μέτρο της επιτάχυνσης $|\alpha |$ και το διάστημα πέδησης με αυτήν το γράφουμε έτσι:

$$s_{\pi }=\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot |\alpha |}$$

Βάζουμε στον τύπο τους αριθμούς. Την ταχύτητα την αφήνουμε ως κλάσμα, για να μη στρογγυλοποιήσουμε ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\pi }& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Οι μονάδες βγαίνουν: μέτρα στο τετράγωνο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο διά μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο δίνουν μέτρα. Από τα πενήντα το αυτοκίνητο σταματά μέσα σε 13,8 m, σχεδόν τόσο μακριά όσο διήνυσε στη διάρκεια του χρόνου αντίδρασης.

Μπαίνουμε στον πειρασμό να βάλουμε την ταχύτητα κατευθείαν σε χιλιόμετρα την ώρα. Θα έβγαινε $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, αυτά όμως δεν είναι μέτρα ούτε κάτι άλλο, επειδή τα χιλιόμετρα την ώρα δεν απλοποιούνται με τα μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Εκατόν ογδόντα μέτρα διάστημα πέδησης από τα πενήντα θα έπρεπε εξάλλου να προκαλέσουν υποψία ήδη στην εκτίμηση, αφού είναι σχεδόν το μήκος δύο γηπέδων ποδοσφαίρου.

Πόσο χρόνο παίρνει το φρενάρισμα; Από τον τύπο υ = υ₀ + α · t με τελική ταχύτητα μηδέν παίρνουμε με το ίδιο σκεπτικό

$$t=\frac{\upsilon }{|\alpha |}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Από το πάτημα του φρένου ως τη στάση περνούν λιγότερο από δύο δευτερόλεπτα.

Ολόκληρη την κίνηση τη δείχνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας. Στη διάρκεια της αντίδρασης t_α είναι οριζόντια, το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μετά κατεβαίνει ευθύγραμμα ως το μηδέν. Το διάστημα είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση: το μπλε ορθογώνιο είναι το διάστημα αντίδρασης, το κόκκινο τρίγωνο το διάστημα πέδησης. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, όπως από τον τύπο.

Θα σταματήσουμε πριν από το παιδί;

Ολόκληρη την απόσταση την υπολογίζουμε σταδιακά. Πρώτα τα δεδομένα, την ταχύτητα τη μετατρέπουμε αμέσως σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_{\alpha }& =1\mathrm{s}\\ |\alpha |& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Η απόσταση ακινητοποίησης είναι γενικά το άθροισμα των δύο μερών:

$$s=\upsilon \cdot t_{\alpha }+\frac{{\upsilon }^2}{2\cdot |\alpha |}$$

Και τα δύο μέρη τα έχουμε ήδη υπολογίσει:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Από τη στιγμή που θα δεις το παιδί, το αυτοκίνητο διανύει περίπου 28 m, γύρω στα έξι μήκη ενός επιβατικού αυτοκινήτου. Πριν από το παιδί που βγήκε είκοσι μέτρα μπροστά σου δεν προλαβαίνεις να σταματήσεις. Όταν φτάσεις σε αυτό, μετά τον χρόνο αντίδρασης θα φρενάρεις μόλις για έξι μέτρα και θα κινείσαι ακόμη σχεδόν με σαράντα.

Διπλάσια ταχύτητα, τετραπλάσιο διάστημα πέδησης

Και αν κινούσουν με εκατό σε εθνική οδό; Η ταχύτητα είναι 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Σε ένα δευτερόλεπτο χρόνου αντίδρασης διανύεις 27,8 m, διπλάσιο από ό,τι με πενήντα. Το διάστημα πέδησης είναι

$$s_{\pi }=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

τέσσερις φορές περισσότερο από ό,τι με πενήντα. Συνολικά το αυτοκίνητο διανύει 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, τρεις φορές περισσότερο από ό,τι με πενήντα.

Γιατί ακριβώς τέσσερις φορές; Η ταχύτητα στον τύπο του διαστήματος πέδησης υψώνεται στο τετράγωνο και το διπλάσιο στο τετράγωνο είναι τετραπλάσιο: (2 · υ)² = 4 · υ². Το διάστημα αντίδρασης αυξάνεται με την ταχύτητα μόνο ανάλογα, και γι' αυτό όσο πιο γρήγορα κινείσαι, τόσο μεγαλύτερο μέρος της απόστασης ακινητοποίησης αποτελεί το φρενάρισμα. Στον αυτοκινητόδρομο με 130 km/h το αυτοκίνητο διανύει στον χρόνο αντίδρασης 36 m, φρενάρει όμως άλλα 93 m. Από τη στιγμή που ο οδηγός βλέπει το εμπόδιο ως τη στάση το αυτοκίνητο χρειάζεται έτσι σχεδόν εκατόν τριάντα μέτρα, περισσότερο από ένα ολόκληρο γήπεδο ποδοσφαίρου.

Στη γραφική παράσταση φαίνεται ακόμη καλύτερα. Τον χρόνο τον μετράμε εδώ από το πάτημα του φρένου. Από τα εκατό η γραφική παράσταση ξεκινά δύο φορές πιο ψηλά, και επειδή η ταχύτητα χάνεται εξίσου γρήγορα, 7 m/s το δευτερόλεπτο, το φρενάρισμα διαρκεί επίσης δύο φορές περισσότερο. Το τρίγωνο είναι δύο φορές ψηλότερο και δύο φορές πλατύτερο, και γι' αυτό το εμβαδόν του είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο. Οι λευκές γραμμές μαζί με την κόκκινη το χωρίζουν σε τέσσερα τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με το κόκκινο.

Τα τριάντα μπροστά από το σχολείο

Κοντά στα σχολεία ισχύει όριο ταχύτητας 30 km/h. Έχει νόημα, όταν πρόκειται μόνο για είκοσι χιλιόμετρα την ώρα; Από τα τριάντα, δηλαδή από 8,3 m/s, το αυτοκίνητο διανύει στον χρόνο αντίδρασης 8,3 m και το διάστημα πέδησης είναι

$$s_{\pi }=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Το αυτοκίνητο σταματά μετά από 13,3 m. Ένας οδηγός που κινείται με πενήντα διανύει μόνο στον χρόνο αντίδρασης 13,9 m. Εκεί όπου ο οδηγός με τριάντα θα στεκόταν ήδη, ο άλλος ακόμη δεν έχει καν αρχίσει να φρενάρει και θα χτυπήσει το παιδί με τα πλήρη πενήντα.

Πόση απόσταση ασφαλείας;

Σε έναν επαρχιακό δρόμο κινείσαι με ταχύτητα 90 km/h, δηλαδή 25 m/s, πίσω από ένα άλλο αυτοκίνητο που ξαφνικά φρενάρει απότομα. Αν και τα δύο αυτοκίνητα φρενάρουν εξίσου, έχουν και ίσα διαστήματα πέδησης. Εσύ όμως αρχίζεις να φρενάρεις με καθυστέρηση ίση με τον χρόνο αντίδρασης και στο μεταξύ διανύεις 25 m με πλήρη ταχύτητα. Η απόσταση ασφαλείας πρέπει γι' αυτό να είναι τουλάχιστον όσο το διάστημα αντίδρασης, αλλιώς θα χτυπήσεις το αυτοκίνητο μπροστά σου.

Οι σχολές οδηγών συμβουλεύουν τον κανόνα των δύο δευτερολέπτων: όταν το αυτοκίνητο μπροστά σου περάσει από ένα σημάδι στην άκρη του δρόμου, πρέπει να φτάσεις σε αυτό το νωρίτερο σε δύο δευτερόλεπτα. Με ενενήντα είναι 50 m, δύο φορές το διάστημα αντίδρασης. Το περιθώριο είναι χρήσιμο, επειδή τα φρένα σου μπορεί να είναι χειρότερα και το αυτοκίνητο μπροστά σου μπορεί να σταματήσει πάνω σε ένα εμπόδιο σε πολύ μικρότερη απόσταση από το διάστημα πέδησης.

Με τι ταχύτητα κινούνταν;

Ο τύπος λειτουργεί και αντίστροφα. Ένα παλιότερο αυτοκίνητο χωρίς ABS σε απότομο φρενάρισμα μπλοκάρει τους τροχούς και αφήνει στον δρόμο ένα μαύρο ίχνος φρεναρίσματος. Μετά από ένα ατύχημα σε στεγνό δρόμο η αστυνομία μετράει ίχνος μήκους 25 m. Ο οδηγός ισχυρίζεται ότι κινούνταν με τα νόμιμα πενήντα. Λέει αλήθεια; Τα δεδομένα είναι:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\pi }& =25\mathrm{m}\\ |\alpha |& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ \upsilon & =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Από τον τύπο του διαστήματος πέδησης εκφράζουμε την ταχύτητα. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $2\cdot |\alpha |$ και παίρνουμε τετραγωνική ρίζα:

$$\begin{array}{rcl}{s}_{\pi }& =& \frac{{\upsilon }^2}{2\cdot |\alpha |}/\cdot 2\cdot |\alpha |\\ 2\cdot |\alpha |\cdot s_{\pi }& =& {\upsilon }^2\\ \upsilon & =& \sqrt{2\cdot |\alpha |\cdot s_{\pi }}\end{array}$$

Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Η ρίζα των μέτρων στο τετράγωνο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο δίνει μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Το αυτοκίνητο κινούνταν τουλάχιστον με περίπου 67 km/h, όχι με πενήντα. Από τα πενήντα το ίχνος θα είχε μήκος μόνο 13,8 m.

Βρεγμένος δρόμος και πάγος

Σε βρεγμένο δρόμο, στο χιόνι και στον πάγο το αυτοκίνητο επιβραδύνεται λιγότερο, επειδή τα ελαστικά πιάνουν χειρότερα σε ολισθηρή επιφάνεια. Ο λόγος είναι η τριβή και θα την εξετάσουμε στο μέρος για τις δυνάμεις. Προς το παρόν αρκεί να ξέρουμε ότι η επιβράδυνση είναι μικρότερη. Στον τύπο βρίσκεται στον παρονομαστή, και γι' αυτό η μισή επιβράδυνση σημαίνει διπλάσιο διάστημα πέδησης. Ενδεικτικές τιμές και διαστήματα πέδησης από τα πενήντα:

Στον πάγο από τα πενήντα σταματάς σχεδόν μετά από εκατό μέτρα. Το διάστημα αντίδρασης η επιφάνεια δεν το επηρεάζει, αυτό εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα και τον οδηγό. Γι' αυτό ακριβώς τον χειμώνα οδηγούμε πιο αργά και με μεγαλύτερη απόσταση ασφαλείας.

Αριθμομηχανή διαστήματος πέδησης

Δώσε την ταχύτητα, τον χρόνο αντίδρασης και την επιφάνεια του δρόμου και η αριθμομηχανή υπολογίζει το διάστημα αντίδρασης, το διάστημα πέδησης, την απόσταση ακινητοποίησης και τον χρόνο από τη στιγμή που βλέπεις το εμπόδιο ως τη στάση. Η επιβράδυνση ανάλογα με την επιφάνεια αντιστοιχεί στον πίνακα παραπάνω και είναι μόνο ενδεικτική, με φθαρμένα ελαστικά ή χειρότερα φρένα θα είναι μικρότερη.

Στο φρενάρισμα η ταχύτητα ελαττώνεται ομοιόμορφα. Την αντίθετη περίπτωση τη συναντάμε κάθε μέρα, αρκεί να ρίξουμε οτιδήποτε: μια πέτρα που πέφτει έχει κάθε δευτερόλεπτο ταχύτητα μεγαλύτερη κατά το ίδιο κομμάτι. Πόσο βαθύ είναι ένα πηγάδι, όταν η πέτρα κάνει πλατς σε δύο δευτερόλεπτα, και γιατί στη Σελήνη το σφυρί και το πούπουλο πέφτουν ταυτόχρονα, θα το υπολογίσουμε στο επόμενο άρθρο, Ελεύθερη πτώση.