Opbremsning og bremselængde

Du kører gennem byen med 50 km/h, og tyve meter foran dig løber et barn ud mellem de parkerede biler efter en bold. Kan du nå at standse? Bilen holder ikke i det øjeblik, du får øje på barnet. Først skal du reagere og træde på bremsen, og først derefter begynder bilen at sænke farten. Strækningen fra det øjeblik, du ser forhindringen, til bilen står stille, består derfor af to dele:

• reaktionslængden s_r, som bilen kører, før føreren begynder at bremse,
• bremselængden s_b, som den kører fra bremsen trædes ned, til bilen står stille.

Indekset r står for reaktion, b for bremse. Sammen giver de standselængden:

$$s=s_r+s_b$$

Reaktionslængde

Før føreren reagerer på forhindringen, går der en reaktionstid t_r. Føreren skal opdage, hvad der sker, beslutte sig, flytte foden fra speederen til bremsen og træde den ned. En udhvilet og koncentreret bilist klarer det på omkring 1 s, og derfor regner man også på køreskolen med et sekund. En træt bilist eller en, der lige svarer på en besked, reagerer meget langsommere. Kigger du ved 50 km/h to sekunder på din telefon, kører du næsten 28 m i blinde.

I hele reaktionstiden ændrer bilens fart sig ikke, for føreren bremser endnu ikke. Reaktionslængden er derfor strækningen ved jævn bevægelse:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Vi omregner halvtreds kilometer i timen til meter i sekundet, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, og i løbet af et sekunds reaktionstid kører bilen

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Næsten fjorten meter, og bilen er endnu ikke begyndt at bremse.

Bremselængde

Så snart føreren træder på bremsen, begynder bilen at sænke farten. En god bil bremser på tør asfalt med en deceleration på omkring 7 m/s², hvert sekund kører den 7 m/s langsommere. Som positiv retning vælger vi kørselsretningen, og accelerationen bliver derfor negativ, a = −7 m/s². Vi antager, at den ikke ændrer sig under opbremsningen. Opbremsning er så en jævnt accelereret bevægelse med negativ acceleration, som man også kalder jævnt decelereret bevægelse.

Opbremsningen begynder med den hastighed v, som bilen kørte med, og slutter med hastigheden nul. Tiden interesserer os ikke, og derfor tager vi fat i sammenhængen uden tid, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Begyndelseshastigheden er v, sluthastigheden er nul, og strækningen er bremselængden:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

Minusset i formlen skal ikke skræmme dig. Accelerationen er negativ, og derfor er nævneren også negativ, og hele brøken bliver positiv, som sig hør og bør for en strækning. Af minusset og den negative værdi af a opstår et positivt tal, decelerationen. Vi betegner den som accelerationens størrelse $|a|$ og skriver bremselængden med den således:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Vi sætter tal ind i formlen. Farten lader vi stå som brøk, så vi ikke afrunder et mellemresultat:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Enhederne passer: meter i anden pr. sekund i anden divideret med meter pr. sekund i anden giver meter. Fra 50 km/h standser bilen på 13,8 m, næsten lige så langt, som den kørte i reaktionstiden.

Det er fristende at indsætte farten direkte i kilometer i timen. Så ville resultatet blive $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, men det er hverken meter eller noget andet, for kilometer i timen kan ikke forkortes med meter pr. sekund i anden. Næsten hundrede og firs meter bremselængde fra 50 km/h burde desuden vække mistanke allerede ved et overslag, det er jo næsten to fodboldbaner.

Hvor lang tid tager opbremsningen? Af formlen v = v₀ + a · t får vi med sluthastigheden nul på samme måde

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Fra bremsen trædes ned, til bilen står stille, går der knap to sekunder.

Hele bevægelsen ser vi i hastighedsgrafen. I reaktionstiden t_r er den vandret, bilen kører med konstant fart. Derefter falder den langs en ret linje ned til nul. Strækningen er arealet under grafen: det blå rektangel er reaktionslængden, den røde trekant bremselængden. Arealet af en trekant er halvdelen af produktet af kateterne, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, ligesom ud fra formlen.

Kan vi nå at standse før barnet?

Hele strækningen beregner vi skridt for skridt. Først opgaven, farten omregner vi med det samme til meter pr. sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Standselængden er generelt summen af de to dele:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Begge dele har vi allerede regnet ud:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Fra det øjeblik, du ser barnet, kører bilen cirka 28 m, omkring seks billængder. Du når ikke at standse, før du er ved barnet, der løb ud tyve meter foran dig. Når du når hen til det, har du efter reaktionstiden kun bremset i seks meter og kører stadig næsten 40 km/h.

Dobbelt så høj fart, fire gange så lang bremselængde

Og hvad hvis du kørte 100 km/h på en landevej? Farten er 100 km/h ≈ 27,8 m/s. I løbet af et sekunds reaktionstid kører du 27,8 m, dobbelt så langt som fra 50. Bremselængden er

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

fire gange så lang som fra 50. I alt kører bilen 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, tre gange så langt som fra 50.

Hvorfor netop fire gange? Farten indgår i formlen for bremselængden i anden potens, og det dobbelte i anden er det firdobbelte: (2 · v)² = 4 · v². Reaktionslængden vokser kun ligefrem proportionalt med farten, så jo hurtigere du kører, desto større del af standselængden udgør selve opbremsningen. På motorvejen kører bilen ved 130 km/h i reaktionstiden 36 m, men bremser derefter yderligere 93 m. Fra forhindringen opdages, til bilen står stille, skal den bruge næsten hundrede og tredive meter, mere end en hel fodboldbane.

I grafen ser man det endnu tydeligere. Tiden regner vi her fra det øjeblik, bremsen trædes ned. Fra 100 begynder grafen dobbelt så højt oppe, og da farten falder lige hurtigt, 7 m/s pr. sekund, varer opbremsningen også dobbelt så længe. Trekanten er dobbelt så høj og dobbelt så bred, og dens areal er derfor fire gange så stort. De hvide streger deler sammen med den røde den store trekant i fire trekanter, som alle er kongruente med den røde.

30 km/h foran skolen

Ved skoler er der fartgrænse på 30 km/h. Giver det mening, når det kun drejer sig om tyve kilometer i timen? Fra tredive, altså fra 8,3 m/s, kører bilen i reaktionstiden 8,3 m, og bremselængden er

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Bilen standser efter 13,3 m. En bilist, der kører 50 km/h, kører alene i reaktionstiden 13,9 m. Dér, hvor bilisten med 30 km/h allerede ville holde stille, er den anden endnu ikke engang begyndt at bremse og rammer barnet med fulde 50 km/h.

Hvor stor en afstand?

På landevejen kører du 90 km/h, altså 25 m/s, bag en anden bil, som pludselig bremser hårdt. Hvis begge biler bremser lige hårdt, har de også lige lang bremselængde. Men du begynder at bremse en reaktionstid senere og kører imens 25 m med fuld fart. Afstanden skal derfor mindst være lige så stor som reaktionslængden, ellers kører du ind i bilen foran dig.

Køreskolerne anbefaler to-sekunders-reglen: Når bilen foran dig passerer en kantpæl, skal der gå mindst to sekunder, før du selv når frem til den. Ved 90 er det 50 m, dobbelt så meget som reaktionslængden. Reserven er god at have, for dine bremser kan være dårligere, og bilen foran dig kan standse mod en forhindring meget tidligere end efter en bremselængde.

Hvor hurtigt kørte han?

Formlen virker også omvendt. En ældre bil uden ABS blokerer hjulene ved hård opbremsning og efterlader et sort bremsespor på vejen. Efter et uheld på tør vej måler politiet et bremsespor på 25 m. Føreren siger, at han kørte de tilladte 50 km/h. Taler han sandt? Opgaven lyder:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Af formlen for bremselængden isolerer vi farten. Vi ganger begge sider med $2\cdot |a|$ og tager kvadratroden:

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

Vi sætter ind:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Kvadratroden af meter i anden pr. sekund i anden giver meter pr. sekund. Bilen kørte mindst cirka 67 km/h, ingen 50 km/h. Fra 50 ville sporet kun være 13,8 m langt.

Våd vej og is

På våd vej, på sne og på is bremser bilen dårligere, fordi dækkene får dårligere fat i det glatte underlag. Årsagen er gnidning, og den kommer vi til, når vi når kræfterne. Indtil videre er det nok at vide, at decelerationen er mindre. I formlen står den i nævneren, og halv deceleration betyder derfor dobbelt så lang bremselængde. Vejledende værdier og bremselængder fra 50:

På is standser du fra 50 først efter næsten hundrede meter. Reaktionslængden påvirkes ikke af underlaget, den afhænger kun af farten og af føreren. Netop derfor kører man langsommere og med større afstand om vinteren.

Beregner til bremselængde

Indtast farten, reaktionstiden og vejens underlag, og beregneren udregner reaktionslængden, bremselængden, standselængden og tiden fra forhindringen opdages, til bilen står stille. Decelerationen efter underlag svarer til tabellen ovenfor og er kun vejledende, med slidte dæk eller dårligere bremser bliver den mindre.

Ved opbremsning aftager farten jævnt. Det modsatte oplever vi hver dag, det er nok at tabe noget: en faldende sten får hvert sekund sin fart øget med det samme stykke. Hvor dyb er en brønd, når stenen plasker efter to sekunder, og hvorfor hammeren og fjeren lander på Månen samtidig, regner vi på i den næste artikel, Frit fald.