Fékezés és fékút

Ötvennel mész át a városon, és húsz méterre előtted a parkoló autók mögül kiszalad egy gyerek a labdája után. Meg tudsz állni? Az autó nem akkor áll meg, amikor meglátod a gyereket. Először reagálnod kell és rá kell lépned a fékre, az autó csak ezután kezd lassulni. Az akadály észlelésétől a megállásig megtett út ezért két részből áll:

• a reakcióútból (s_r), amelyet az autó addig tesz meg, amíg a sofőr fékezni nem kezd,
• a fékútból (s_f), amelyet a fékre lépéstől a megállásig tesz meg.

Az r index a reakció, az f a fékút szóból van. Együtt a teljes megállási utat adják:

$$s=s_r+s_f$$

Reakcióút

Mielőtt a sofőr az akadályra reagál, eltelik a reakcióidő (t_r). Észre kell vennie, mi történik, el kell döntenie, mit csinál, át kell tennie a lábát a gázról a fékre, és le kell nyomnia. Egy kipihent, összeszedett sofőr nagyjából 1 s alatt megoldja, ezért az autósiskolában is egy másodperccel számolnak. Egy fáradt sofőr, vagy aki éppen üzenetre válaszol, sokkal lassabban reagál. Aki ötvennel két másodpercre a telefonra néz, majdnem 28 m utat tesz meg vakon.

Az egész reakcióidő alatt az autó sebessége nem változik, a sofőr még nem fékez. A reakcióút ezért az egyenletes mozgás útja:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Az ötven kilométert óránként átváltjuk méter per másodpercre, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, és egy másodperc reakcióidő alatt az autó ennyi utat tesz meg:

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Majdnem tizennégy méter, és az autó még nem is kezdett fékezni.

Fékút

Amint a sofőr a fékre lép, az autó lassulni kezd. Egy jó autó száraz aszfalton nagyjából 7 m/s² lassulással fékez, a sebessége minden másodpercben 7 m/s értékkel csökken. Pozitív iránynak a haladás irányát vesszük, ezért a gyorsulás negatív lesz, a = −7 m/s². Tegyük fel, hogy a fékezés alatt nem változik. A fékezés ekkor egyenletesen gyorsuló mozgás negatív gyorsulással, amelyet egyenletesen lassuló mozgásnak is hívnak.

A fékezés az autó eredeti v sebességével kezdődik, és nulla sebességgel végződik. Az idő nem érdekel minket, ezért az idő nélküli összefüggést használjuk, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. A kezdősebesség v, a végső nulla, az út pedig a fékút:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

A mínuszjeltől a képletben nem kell megijedni. A gyorsulás negatív, ezért a nevező is negatív, és az egész tört pozitív lesz, ahogy egy útnak illik. A mínuszból és a negatív a értékből pozitív szám lesz, a lassulás. Ez a gyorsulás nagysága, jele $|a|$, és vele a fékutat így írjuk:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Behelyettesítjük a számokat. A sebességet törtként hagyjuk, hogy ne kerekítsünk részeredményt:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

A mértékegységek egyeznek: méternégyzet per másodpercnégyzet osztva méter per másodpercnégyzettel métert ad. Az autó ötvenről 13,8 m úton fékez le, majdnem annyin, amennyit a reakcióidő alatt megtett.

Csábító a sebességet rögtön kilométer per órában behelyettesíteni. Ez $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$ lenne, de ez nem méter és semmi más sem, mert a kilométer per óra nem egyszerűsödik a méter per másodpercnégyzettel. Száznyolcvan méteres fékút ötvenről ráadásul már becsléskor gyanút kellene keltenie, hiszen ez majdnem két futballpálya hossza.

Mennyi ideig tart a fékezés? A v = v₀ + a · t képletből nulla végsebességgel ugyanezzel a gondolatmenettel azt kapjuk, hogy

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

A fékre lépéstől a megállásig kevesebb mint két másodperc telik el.

A teljes mozgást a sebesség grafikonja mutatja. A t_r reakcióidő alatt vízszintes, az autó állandó sebességgel megy. Aztán egyenes mentén csökken nulláig. Az út a grafikon alatti terület: a kék téglalap a reakcióút, a piros háromszög a fékút. A háromszög területe a befogók szorzatának fele, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, ugyanannyi, mint a képletből.

Megállunk a gyerek előtt?

A teljes utat lépésről lépésre számoljuk ki. Először az adatok, a sebességet rögtön átváltjuk méter per másodpercre:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

A teljes út általában a két rész összege:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Mindkét részt már kiszámoltuk:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Attól a pillanattól, hogy meglátod a gyereket, az autó körülbelül 28 m utat tesz meg, nagyjából hat személyautó-hosszat. A gyerek előtt, aki húsz méterre futott ki előtted, nem tudsz megállni. Mire odaérsz, a reakcióidő után még csak hat métert fékeztél, és még mindig majdnem negyvennel mész.

Kétszeres sebesség, négyszeres fékút

És mi lenne, ha százzal mennél egy főúton? A sebesség 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Egy másodperc reakcióidő alatt 27,8 m utat teszel meg, kétszer annyit, mint ötvenről. A fékút

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

négyszer annyi, mint ötvenről. Az autó összesen 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m utat tesz meg, háromszor annyit, mint ötvenről.

Miért éppen négyszer? A fékút képletében a sebesség négyzetre van emelve, és a kétszeres négyzete a négyszeres: (2 · v)² = 4 · v². A reakcióút a sebességgel csak egyenesen arányosan nő, így minél gyorsabban mész, annál nagyobb részét teszi ki a teljes útnak a fékezés. Az autópályán 130 km/h sebességnél az autó a reakcióidő alatt 36 m utat tesz meg, és még 93 m úton fékez. Az akadály észlelésétől a megállásig így majdnem százharminc méterre van szüksége, ez több, mint egy egész futballpálya.

A grafikonon ez még jobban látszik. Az időt itt a fékre lépéstől számoljuk. Százról a grafikon kétszer olyan magasról indul, és mivel a sebesség ugyanolyan gyorsan fogy, másodpercenként 7 m/s értékkel, a fékezés is kétszer tovább tart. A háromszög kétszer olyan magas és kétszer olyan széles, így a területe négyszer akkora. A fehér vonalak a pirossal együtt négy háromszögre osztják, amelyek mindegyike egybevágó a pirossal.

Harmincas tábla az iskola előtt

Az iskolák előtt 30 km/h sebességkorlátozás van. Van ennek értelme, ha csak húsz kilométer per óra a különbség? Harmincról, vagyis 8,3 m/s sebességről az autó a reakcióidő alatt 8,3 m utat tesz meg, a fékút pedig

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Az autó 13,3 m úton áll meg. Az ötvennel haladó sofőr már a reakcióidő alatt 13,9 m utat tesz meg. Ott, ahol a harminccal haladó sofőr már áll, a másik még meg sem kezdte a fékezést, és teljes ötvennel üti el a gyereket.

Mekkora legyen a követési távolság?

Egy mellékúton 90 km/h, vagyis 25 m/s sebességgel mész egy másik autó mögött, amely hirtelen erősen fékez. Ha mindkét autó egyformán fékez, a fékútjuk is egyforma hosszú. Te azonban egy reakcióidőnyivel később kezdesz fékezni, és közben 25 m utat teszel meg teljes sebességgel. A követési távolságnak ezért legalább akkorának kell lennie, mint a reakcióút, különben belerohansz az előtted levő autóba.

Az autósiskolák a kétmásodperces szabályt tanácsolják: amikor az előtted haladó autó elhalad egy út menti oszlop mellett, legalább két másodperc múlva érj oda te is. Kilencvennél ez 50 m, kétszer annyi, mint a reakcióút. A tartalék jól jön, mert a te féked rosszabb is lehet, az előtted menő autó pedig egy akadálynak ütközve a fékútjánál sokkal hamarabb megállhat.

Milyen gyorsan ment?

A képlet visszafelé is működik. Egy régebbi, ABS nélküli autó erős fékezéskor blokkolja a kerekeket, és fekete féknyomot hagy az úton. Egy száraz úton történt baleset után a rendőrség 25 m hosszú féknyomot mér. A sofőr azt állítja, hogy az előírt ötvennel ment. Igazat mond? Az adatok:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

A fékút képletéből kifejezzük a sebességet. Mindkét oldalt megszorozzuk $2\cdot |a|$ értékkel, és gyököt vonunk:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

A méternégyzet per másodpercnégyzet gyöke méter per másodperc. Az autó legalább nagyjából 67 km/h sebességgel ment, szó sincs ötvenről. Ötvenről a féknyom csak 13,8 m hosszú lett volna.

Nedves út és jég

Nedves úton, havon és jégen az autó kevésbé lassul, mert a gumik rosszabbul tapadnak a csúszós felületen. Az ok a súrlódás, és ehhez az erőknél jutunk el. Egyelőre elég annyit tudni, hogy a lassulás kisebb. A képletben a nevezőben áll, ezért a fele akkora lassulás kétszer akkora fékutat jelent. Tájékoztató értékek és az ötvenről mért fékutak:

Jégen ötvenről majdnem száz méter alatt állsz meg. A reakcióutat a felület nem befolyásolja, az csak a sebességtől és a sofőrtől függ. Éppen ezért megyünk télen lassabban és nagyobb követési távolsággal.

A fékút számológépe

Add meg a sebességet, a reakcióidőt és az út felületét, a számológép pedig kiszámolja a reakcióutat, a fékutat, a teljes utat és az akadály észlelésétől a megállásig eltelt időt. A felülettől függő lassulás a fenti táblázatnak felel meg, és csak tájékoztató jellegű, kopott gumikkal vagy rosszabb fékkel kisebb lesz.

Fékezéskor a sebesség egyenletesen fogy. Az ellenkező esetet minden nap megtapasztaljuk, elég bármit elejteni: a leeső kő sebessége minden másodpercben ugyanannyival nő. Milyen mély a kút, ha a kő két másodperc múlva csobban, és miért ér földet a Holdon egyszerre a kalapács és a toll, azt a következő, Szabadesés című cikkben számoljuk ki.