Frenata e spazio di frenata

Stai attraversando la città a cinquanta all’ora e venti metri davanti a te, da dietro le auto parcheggiate, sbuca un bambino che rincorre un pallone. Ti fermi in tempo? L’auto non si ferma nel momento in cui vedi il bambino. Prima devi reagire e premere il freno, e solo dopo comincia a rallentare. Lo spazio dal momento in cui vedi l’ostacolo a quello in cui ti fermi si compone quindi di due parti:

• lo spazio di reazione s_r, che l’auto percorre prima che il conducente inizi a frenare,
• lo spazio di frenata s_f, che percorre da quando il conducente preme il freno fino all’arresto.

L’indice r sta per reazione, f per frenata. Insieme danno lo spazio totale:

$$s=s_r+s_f$$

Spazio di reazione

Prima che il conducente reagisca a un ostacolo passa il tempo di reazione t_r. Deve accorgersi di che cosa succede, decidere, spostare il piede dall’acceleratore al freno e premerlo. Un conducente riposato e concentrato ce la fa in circa 1 s, e infatti anche a scuola guida si calcola con un secondo. Un conducente stanco o uno che sta rispondendo a un messaggio reagisce molto più lentamente. Chi a cinquanta all’ora guarda il telefono per due secondi percorre alla cieca quasi 28 m.

Per tutto il tempo di reazione la velocità dell’auto non cambia, il conducente non sta ancora frenando. Lo spazio di reazione è quindi lo spazio di un moto uniforme:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Convertiamo i cinquanta chilometri all’ora in metri al secondo, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e in un secondo di tempo di reazione l’auto percorre

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Quasi quattordici metri, e l’auto non ha ancora cominciato a frenare.

Spazio di frenata

Appena il conducente preme il freno, l’auto comincia a rallentare. Una buona auto su asfalto asciutto frena con una decelerazione di circa 7 m/s²: ogni secondo la sua velocità cala di 7 m/s. Come verso positivo prendiamo quello di marcia, quindi l’accelerazione risulta negativa, a = −7 m/s². Supponiamo che durante la frenata non cambi. La frenata è allora un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa, che si chiama anche moto uniformemente decelerato.

La frenata comincia con la velocità v a cui andava l’auto e finisce con velocità nulla. Il tempo non ci interessa, quindi usiamo la relazione senza il tempo, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. La velocità iniziale è v, quella finale zero e lo spazio è lo spazio di frenata:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

Il segno meno nella formula non deve spaventarci. L’accelerazione è negativa, quindi è negativo anche il denominatore e l’intera frazione risulta positiva, come si addice a uno spazio. Dal meno e dal valore negativo di a nasce un numero positivo, la decelerazione. La indichiamo con il modulo dell’accelerazione $|a|$ e con essa scriviamo lo spazio di frenata così:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Inseriamo i numeri nella formula. Lasciamo la velocità come frazione, per non arrotondare un risultato intermedio:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Le unità tornano: metri quadrati al secondo quadrato divisi per metri al secondo quadrato danno metri. Da cinquanta all’ora l’auto si ferma in 13,8 m, quasi quanto ha percorso durante il tempo di reazione.

Viene la tentazione di sostituire la velocità direttamente in chilometri all’ora. Verrebbe $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, ma non sono metri né nient’altro, perché i chilometri all’ora non si semplificano con i metri al secondo quadrato. Inoltre centottanta metri di spazio di frenata da cinquanta all’ora dovrebbero destare sospetto già a una stima: è quasi la lunghezza di due campi da calcio.

Quanto dura la frenata? Dalla formula v = v₀ + a · t, con velocità finale nulla, otteniamo con lo stesso ragionamento

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Da quando premi il freno a quando ti fermi passano meno di due secondi.

L’intero moto è mostrato dal grafico della velocità. Durante il tempo di reazione t_r è orizzontale, l’auto va a velocità costante. Poi scende lungo una retta fino a zero. Lo spazio è l’area sotto il grafico: il rettangolo blu è lo spazio di reazione, il triangolo rosso quello di frenata. L’area del triangolo è metà del prodotto dei cateti, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, proprio come dalla formula.

Ci fermiamo prima del bambino?

Calcoliamo lo spazio totale passo per passo. Prima i dati, con la velocità subito convertita in metri al secondo:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Lo spazio totale è in generale la somma delle due parti:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Entrambe le parti le abbiamo già calcolate:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Da quando vedi il bambino l’auto percorre circa 28 m, più o meno sei lunghezze di un’auto. Non fai in tempo a fermarti prima del bambino, sbucato venti metri davanti a te. Quando lo raggiungi, dopo il tempo di reazione stai frenando da soli sei metri e vai ancora a quasi quaranta all’ora.

Velocità doppia, spazio di frenata quadruplo

E se andassi a cento all’ora su una superstrada? La velocità è 100 km/h ≈ 27,8 m/s. In un secondo di tempo di reazione percorri 27,8 m, il doppio che a cinquanta. Lo spazio di frenata è

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

quattro volte quello da cinquanta. In tutto l’auto percorre 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, tre volte quanto da cinquanta.

Perché proprio quattro volte? Nella formula dello spazio di frenata la velocità è elevata al quadrato, e il doppio al quadrato è il quadruplo: (2 · v)² = 4 · v². Lo spazio di reazione cresce con la velocità solo in proporzione diretta, quindi più vai veloce, maggiore è la parte dello spazio totale occupata dalla frenata. In autostrada a 130 km/h l’auto durante il tempo di reazione percorre 36 m, ma frena per altri 93 m. Dall’avvistamento dell’ostacolo all’arresto le servono quindi quasi centotrenta metri, più di un intero campo da calcio.

Nel grafico lo si vede ancora meglio. Qui il tempo si conta da quando premi il freno. Da cento il grafico parte due volte più in alto e, poiché la velocità si perde con la stessa rapidità, 7 m/s al secondo, la frenata dura anche il doppio. Il triangolo è due volte più alto e due volte più largo, quindi la sua area è quattro volte maggiore. Le linee bianche insieme a quella rossa lo dividono in quattro triangoli, ciascuno uguale a quello rosso.

Trenta davanti alla scuola

Davanti alle scuole vale il limite di 30 km/h. Ha senso, se si tratta solo di venti chilometri all’ora in meno? Da trenta, cioè da 8,3 m/s, durante il tempo di reazione l’auto percorre 8,3 m e lo spazio di frenata è

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

L’auto si ferma dopo 13,3 m. Un conducente che va a cinquanta, solo durante il tempo di reazione, percorre già 13,9 m. Dove il conducente che va a trenta sarebbe già fermo, l’altro non ha ancora cominciato a frenare e investe il bambino a cinquanta all’ora.

Che distanza di sicurezza?

Su una strada provinciale vai a 90 km/h, cioè 25 m/s, dietro un’altra auto che all’improvviso frena bruscamente. Se entrambe le auto frenano allo stesso modo, hanno anche lo stesso spazio di frenata. Ma tu inizi a frenare con un tempo di reazione di ritardo, e nel frattempo percorri 25 m a piena velocità. La distanza di sicurezza deve quindi essere almeno pari allo spazio di reazione, altrimenti tamponi l’auto davanti.

Le scuole guida consigliano la regola dei due secondi: quando l’auto davanti a te supera un paletto a bordo strada, tu dovresti arrivarci non prima di due secondi dopo. A novanta all’ora sono 50 m, il doppio dello spazio di reazione. Il margine è utile, perché i tuoi freni possono essere peggiori e l’auto davanti può fermarsi contro un ostacolo in molto meno del suo spazio di frenata.

A che velocità andava?

La formula funziona anche al contrario. Un’auto più vecchia senza ABS, in una frenata brusca, blocca le ruote e lascia sulla strada una traccia nera di frenata. Dopo un incidente su strada asciutta la polizia misura una traccia lunga 25 m. Il conducente sostiene di aver rispettato il limite dei cinquanta all’ora. Dice la verità? I dati sono:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Dalla formula dello spazio di frenata ricaviamo la velocità. Moltiplichiamo entrambi i membri per $2\cdot |a|$ ed estraiamo la radice:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Sostituiamo:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La radice di metri quadrati al secondo quadrato dà metri al secondo. L’auto andava almeno a circa 67 km/h, altro che cinquanta. Da cinquanta la traccia sarebbe lunga solo 13,8 m.

Strada bagnata e ghiaccio

Su strada bagnata, sulla neve e sul ghiaccio l’auto rallenta meno, perché i pneumatici fanno più fatica ad aderire a una superficie scivolosa. La ragione è l’attrito e ci arriveremo con le forze. Per ora basta sapere che la decelerazione è minore. Nella formula sta al denominatore, e una decelerazione dimezzata significa quindi uno spazio di frenata doppio. Valori indicativi e spazi di frenata da cinquanta all’ora:

Sul ghiaccio da cinquanta all’ora ti fermi dopo quasi cento metri. Lo spazio di reazione non dipende dal fondo, dipende solo dalla velocità e dal conducente. Per questo d’inverno si va più piano e con una distanza di sicurezza maggiore.

Calcolatrice dello spazio di frenata

Inserisci la velocità, il tempo di reazione e il fondo stradale, e la calcolatrice calcola lo spazio di reazione, lo spazio di frenata, lo spazio totale e il tempo da quando vedi l’ostacolo all’arresto. La decelerazione per ciascun fondo corrisponde alla tabella qui sopra ed è solo indicativa: con pneumatici consumati o freni peggiori sarà minore.

Frenando, la velocità diminuisce in modo uniforme. Il caso opposto lo incontriamo ogni giorno, basta lasciar cadere qualcosa: la velocità di un sasso che cade aumenta ogni secondo della stessa quantità. Quanto è profondo un pozzo, se il sasso tocca l’acqua dopo due secondi, e perché sulla Luna il martello e la piuma arrivano a terra insieme, lo calcoleremo nel prossimo articolo, Caduta libera.