Гальмування і гальмівний шлях

Ти їдеш містом зі швидкістю п'ятдесят кілометрів за годину, і за двадцять метрів перед тобою з-за припаркованих машин вибігає дитина за м'ячем. Чи встигнеш зупинитися? Автомобіль не зупиняється в ту мить, коли ти бачиш дитину. Спершу треба зреагувати й натиснути на гальмо, і лише тоді він починає сповільнюватися. Шлях від моменту, коли ти помічаєш перешкоду, до зупинки тому складається з двох частин:

• шляху за час реакції s_реак, який автомобіль проїжджає, поки водій ще не почав гальмувати,
• гальмівного шляху s_гальм, який він проїжджає від натискання на гальмо до зупинки.

Індекс «реак» походить від слова «реакція», «гальм» — від слова «гальмування». Разом вони дають повний шлях:

$$s=s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}$$

Шлях за час реакції

Перш ніж водій зреагує на перешкоду, спливає час реакції t_реак. Він має помітити, що відбувається, ухвалити рішення, перенести ногу з педалі газу на гальмо й натиснути на нього. Відпочилий і зосереджений водій впорається приблизно за 1 с, тому з однією секундою рахують і в автошколі. Втомлений водій або той, хто саме відповідає на повідомлення, реагує значно повільніше. Хто на швидкості п'ятдесят кілометрів за годину дві секунди дивиться в телефон, проїжджає наосліп майже 28 м.

Увесь час реакції швидкість автомобіля не змінюється, водій поки що не гальмує. Шлях за час реакції тому — це шлях рівномірного руху:

$$s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}=v\cdot t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}$$

П'ятдесят кілометрів за годину переведемо в метри за секунду, 50 км/год, тобто $\frac{50}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}$, і за одну секунду часу реакції автомобіль проїде

$$s_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}=13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}\cdot 1\mathrm{с}=13,9\mathrm{м}.$$

Майже чотирнадцять метрів, а автомобіль ще навіть не почав гальмувати.

Гальмівний шлях

Щойно водій натисне на гальмо, автомобіль починає сповільнюватися. Справний автомобіль на сухому асфальті гальмує зі сповільненням приблизно 7 м/с², щосекунди він їде на 7 м/с повільніше. Додатним напрямом осі оберемо напрям руху, тому прискорення вийде від'ємним, a = −7 м/с². Припустимо, що під час гальмування воно не змінюється. Гальмування тоді — це рівноприскорений рух з від'ємним прискоренням, який називають також рівносповільненим рухом.

Гальмування починається зі швидкості v, з якою автомобіль їхав, і закінчується нульовою швидкістю. Час нас не цікавить, тож скористаємося співвідношенням без часу, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Початкова швидкість — v, кінцева — нуль, а шлях — гальмівний шлях:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}\end{array}$$

Мінус у формулі не повинен лякати. Прискорення від'ємне, тому від'ємний і знаменник, і весь дріб виходить додатним, як і належить шляху. З мінуса та від'ємного значення a утворюється додатне число, сповільнення. Позначаємо його як модуль прискорення $|a|$, і гальмівний шлях з ним записується так:

$$s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Підставимо числа. Швидкість залишимо дробом, щоб не округлювати проміжний результат:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{м}}^2{/\mathrm{с}}^2}{14{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{м}\end{array}$$

Одиниці збігаються: метри в квадраті за секунду в квадраті, поділені на метри за секунду в квадраті, дають метри. З п'ятдесяти кілометрів за годину автомобіль зупиняється на 13,8 м, майже на тій самій відстані, яку проїхав за час реакції.

Спокусливо підставити швидкість одразу в кілометрах за годину. Вийшло б $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, але це не метри й узагалі не відомо що, бо кілометри за годину з метрами за секунду в квадраті не скорочуються. До того ж сто вісімдесят метрів гальмівного шляху з п'ятдесяти мали б викликати підозру вже на етапі оцінки, адже це майже довжина двох футбольних полів.

Скільки часу триває гальмування? З формули v = v₀ + a · t за кінцевої швидкості нуль міркуванням, подібним до попереднього, отримаємо

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}}{7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 1,99\mathrm{с}.$$

Від натискання на гальмо до зупинки спливає менше двох секунд.

Увесь рух показує графік швидкості. Протягом часу реакції t_реак він горизонтальний, автомобіль їде зі сталою швидкістю. Потім графік спадає по прямій до нуля. Шлях — це площа під графіком: синій прямокутник — шлях за час реакції, червоний трикутник — гальмівний. Площа трикутника дорівнює половині добутку катетів, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{с}\cdot 13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 13,8\mathrm{м}$, так само як і за формулою.

Чи зупинимося перед дитиною?

Повний шлях обчислимо поетапно. Спершу умова, швидкість одразу переведемо в метри за секунду:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\approx 13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}& =1\mathrm{с}\\ |a|& =7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ s& =?(\mathrm{м})\end{array}$$

Повний шлях у загальному вигляді — сума обох частин:

$$s=v\cdot t_{\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{а}\mathrm{к}}+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Обидві частини ми вже обчислили:

$$s\approx 13,9\mathrm{м}+13,8\mathrm{м}\approx 28\mathrm{м}$$

Від моменту, коли ти побачиш дитину, автомобіль проїде приблизно 28 м, тобто близько шести довжин легкового автомобіля. Перед дитиною, яка вибігла за двадцять метрів від тебе, зупинитися ти не встигнеш. Коли доїдеш до неї, після часу реакції гальмуватимеш лише шість метрів і їхатимеш ще майже зі швидкістю сорок кілометрів за годину.

Удвічі більша швидкість, учетверо довший гальмівний шлях

А якщо їхати зі швидкістю сто кілометрів за годину по шосе? Швидкість 100 км/год ≈ 27,8 м/с. За секунду часу реакції ти проїдеш 27,8 м, удвічі більше, ніж із п'ятдесяти. Гальмівний шлях дорівнює

$$s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 55,1\mathrm{м},$$

учетверо більше, ніж із п'ятдесяти. Загалом автомобіль проїде 27,8 м + 55,1 м ≈ 83 м, утричі більше, ніж із п'ятдесяти.

Чому саме вчетверо? У формулі гальмівного шляху швидкість підноситься до квадрата, а подвоєне значення в квадраті дає учетверо більше: (2 · v)² = 4 · v². Шлях за час реакції зростає зі швидкістю лише прямо пропорційно, тож що швидше ти їдеш, то більшу частину повного шляху становить гальмування. На автомагістралі за 130 км/год автомобіль за час реакції проїжджає 36 м, а гальмує ще 93 м. Від моменту, коли помічено перешкоду, до зупинки йому потрібно майже сто тридцять метрів, більше за ціле футбольне поле.

На графіку це видно ще краще. Час тут відлічуємо від натискання на гальмо. Для ста графік починається вдвічі вище, а що швидкість зменшується однаково швидко, на 7 м/с за секунду, то й гальмування триває вдвічі довше. Трикутник удвічі вищий і вдвічі ширший, тому його площа вчетверо більша. Білі лінії разом із червоною розділяють його на чотири трикутники, кожен із яких дорівнює червоному.

Тридцять біля школи

Біля шкіл нерідко встановлюють знак обмеження швидкості до 30 км/год. Чи є в цьому сенс, якщо мова лише про двадцять кілометрів за годину? З тридцяти, тобто з 8,3 м/с, автомобіль за час реакції проїжджає 8,3 м, а гальмівний шлях дорівнює

$$s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 5\mathrm{м}.$$

Автомобіль зупиняється після 13,3 м. Водій, який їде зі швидкістю п'ятдесят, проїжджає лише за час реакції 13,9 м. Там, де водій зі швидкістю тридцять уже стояв би, другий ще навіть не почав гальмувати і вріжеться в дитину на швидкості повних п'ятдесят.

Яка дистанція потрібна?

На районній дорозі ти їдеш зі швидкістю 90 км/год, тобто 25 м/с, за іншим автомобілем, який раптом різко гальмує. Якщо обидва автомобілі гальмують однаково, їхні гальмівні шляхи однакові. Але ти почнеш гальмувати на час реакції пізніше й за цей час проїдеш 25 м на повній швидкості. Дистанція тому має бути щонайменше такою, як шлях за час реакції, інакше ти вріжешся в автомобіль попереду.

Автошколи радять правило двох секунд: коли автомобіль перед тобою проминає стовпчик, ти маєш дістатися до нього не раніше ніж за дві секунди. За швидкості дев'яносто це 50 м, удвічі більше за шлях за час реакції. Запас стане в пригоді, бо твої гальма можуть бути гіршими, а автомобіль перед тобою може врізатися в перешкоду й зупинитися значно раніше, ніж за гальмівний шлях.

Як швидко він їхав?

Формула працює й навпаки. Старий автомобіль без ABS під час різкого гальмування блокує колеса й залишає на дорозі чорний гальмівний слід. Після аварії на сухій дорозі поліція вимірює слід завдовжки 25 м. Водій стверджує, що їхав дозволені п'ятдесят. Чи каже він правду? Умова така:

$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}& =25\mathrm{м}\\ |a|& =7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ v& =?(\mathrm{м}/\mathrm{с})\end{array}$$

З формули гальмівного шляху виразимо швидкість. Обидві частини помножимо на $2\cdot |a|$ і добудемо корінь:

$$\begin{array}{rcl}{s}_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_{\mathrm{г}\mathrm{а}\mathrm{л}\mathrm{ь}\mathrm{м}}}\end{array}$$

Підставимо:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 25\mathrm{м}}=\sqrt{350{\mathrm{м}}^2{/\mathrm{с}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 67\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Корінь із метрів у квадраті за секунду в квадраті дає метри за секунду. Автомобіль їхав щонайменше приблизно 67 км/год, ніякі не п'ятдесят. З п'ятдесяти слід мав би довжину лише 13,8 м.

Мокра дорога і ожеледиця

На мокрій дорозі, на снігу та на льоду автомобіль сповільнюється менше, бо шини гірше тримаються на слизькій поверхні. Причина — тертя, до нього ми дійдемо в розділі про сили. Поки що досить знати, що сповільнення менше. У формулі воно стоїть у знаменнику, тож удвічі менше сповільнення означає вдвічі довший гальмівний шлях. Орієнтовні значення та гальмівні шляхи з п'ятдесяти:

На льоду з п'ятдесяти ти зупинишся майже за сто метрів. На шлях за час реакції покриття не впливає, він залежить лише від швидкості та водія. Саме тому взимку їздять повільніше та з більшою дистанцією.

Калькулятор гальмівного шляху

Введи швидкість, час реакції та тип покриття, і калькулятор обчислить шлях за час реакції, гальмівний шлях, повний шлях і час від моменту, коли помічено перешкоду, до зупинки. Сповільнення для покриття відповідає таблиці вище й лише орієнтовне, зі зношеними шинами чи гіршими гальмами воно буде меншим.

Під час гальмування швидкість рівномірно спадає. Протилежний випадок ми зустрічаємо щодня, достатньо щось упустити: камінь, що падає, щосекунди має швидкість більшу на однакову величину. Наскільки глибокий колодязь, якщо камінь хлюпає у воду через дві секунди, і чому на Місяці молоток і пір'їна падають одночасно, ми обчислимо в наступній статті — Вільне падіння.