Frânarea și distanța de frânare

Treci prin oraș cu 50 km/h și la douăzeci de metri în fața ta un copil aleargă după o minge și iese dintre mașinile parcate. Te oprești? Mașina nu se oprește în clipa în care vezi copilul. Mai întâi trebuie să reacționezi și să apeși pedala de frână, și abia apoi mașina începe să încetinească. Distanța de la observarea obstacolului până la oprire se compune deci din două părți:

• distanța de reacție s_r, pe care o parcurge mașina până când șoferul începe să frâneze,
• distanța de frânare s_f, pe care o parcurge de la apăsarea frânei până la oprire.

Indicele r vine de la cuvântul „reacție”, iar f de la „frânare”. Împreună dau distanța totală:

$$s=s_r+s_f$$

Distanța de reacție

Până când șoferul reacționează la obstacol, trece timpul de reacție t_r. Trebuie să observe ce se întâmplă, să se hotărască, să mute piciorul de pe accelerație pe frână și să o apese. Un șofer odihnit și atent reușește în aproximativ 1 s, de aceea și la școala de șoferi se calculează cu o secundă. Un șofer obosit sau unul care tocmai răspunde la un mesaj reacționează mult mai încet. Cine se uită două secunde în telefon la 50 km/h parcurge orbește aproape 28 m.

Pe toată durata reacției viteza mașinii nu se schimbă, șoferul încă nu frânează. Distanța de reacție este deci distanța unei mișcări uniforme:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Cincizeci de kilometri pe oră îi transformăm în metri pe secundă, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, iar într-o secundă de timp de reacție mașina parcurge

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Aproape paisprezece metri, iar mașina încă nici nu a început să frâneze.

Distanța de frânare

De îndată ce șoferul apasă frâna, mașina începe să încetinească. O mașină bună pe asfalt uscat frânează cu o încetinire de aproximativ 7 m/s², în fiecare secundă merge cu 7 m/s mai încet. Ca sens pozitiv luăm sensul de mers, așa că accelerația iese negativă, a = −7 m/s². Presupunem că ea nu se schimbă în timpul frânării. Frânarea este atunci o mișcare uniform accelerată cu accelerație negativă, numită și mișcare uniform încetinită.

Frânarea începe cu viteza v, cu care mergea mașina, și se termină cu viteza zero. Timpul nu ne interesează, așa că folosim relația fără timp, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Viteza inițială este v, cea finală zero, iar distanța este distanța de frânare:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_f/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_f/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_f\end{array}$$

Minusul din formulă nu trebuie să ne sperie. Accelerația este negativă, deci și numitorul este negativ, iar întreaga fracție iese pozitivă, cum se cuvine unei distanțe. Din minus și valoarea negativă a lui a rezultă un număr pozitiv, încetinirea. Acesta este modulul accelerației $|a|$, iar cu el distanța de frânare se scrie astfel:

$$s_f=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Introducem numerele în formulă. Viteza o lăsăm ca fracție, ca să nu rotunjim rezultatul intermediar:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Unitățile se potrivesc: metri la pătrat pe secundă la pătrat împărțiți la metri pe secundă la pătrat dau metri. De la 50 km/h mașina frânează pe 13,8 m, aproape la fel de departe cât a parcurs în timpul de reacție.

Ești tentat să introduci viteza direct în kilometri pe oră. Ar ieși $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, dar acestea nu sunt nici metri, nici altceva, pentru că kilometrii pe oră nu se simplifică cu metrii pe secundă la pătrat. O sută optzeci de metri de frânare de la 50 km/h ar trebui în plus să trezească bănuiala încă de la estimare, doar e aproape lungimea a două terenuri de fotbal.

Cât timp durează frânarea? Din formula v = v₀ + a · t obținem cu viteza finală zero, printr-un raționament asemănător,

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

De la apăsarea frânei până la oprire trec ceva mai puțin de două secunde.

Întreaga mișcare o arată graficul vitezei. Pe durata reacției t_r este orizontal, mașina merge cu viteză constantă. Apoi coboară pe o dreaptă până la zero. Distanța este aria de sub grafic: dreptunghiul albastru este distanța de reacție, triunghiul roșu cea de frânare. Aria triunghiului este jumătate din produsul catetelor, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, la fel ca din formulă.

Ne oprim înaintea copilului?

Distanța întreagă o calculăm pas cu pas. Mai întâi datele problemei, viteza o transformăm direct în metri pe secundă:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Distanța totală este în general suma celor două părți:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Pe amândouă le-am calculat deja:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Din clipa în care vezi copilul, mașina parcurge aproximativ 28 m, cam șase lungimi de autoturism. Nu apuci să te oprești înaintea copilului care a apărut la douăzeci de metri în fața ta. Când ajungi la el, după timpul de reacție abia ai frânat pe șase metri și mergi încă cu aproape 40 km/h.

Viteza dublă, distanța de frânare de patru ori mai mare

Și dacă ai merge cu 100 km/h pe un drum național? Viteza este 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Într-o secundă de timp de reacție parcurgi 27,8 m, de două ori mai mult decât de la 50. Distanța de frânare este

$$s_f=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

de patru ori mai mult decât de la 50. În total mașina parcurge 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, de trei ori mai mult decât de la 50.

De ce tocmai de patru ori? În formula distanței de frânare viteza se ridică la pătrat, iar dublul la pătrat este împătrit: (2 · v)² = 4 · v². Distanța de reacție crește cu viteza doar direct proporțional, așa că cu cât mergi mai repede, cu atât o parte mai mare din distanța totală o ocupă frânarea. Pe autostradă, la 130 km/h, mașina parcurge în timpul de reacție 36 m, dar frânează încă 93 m. De la observarea obstacolului până la oprire îi trebuie astfel aproape o sută treizeci de metri, mai mult decât un teren de fotbal întreg.

În grafic se vede și mai bine. Timpul îl numărăm aici de la apăsarea frânei. De la o sută graficul începe de două ori mai sus, iar fiindcă viteza se pierde la fel de repede, 7 m/s pe secundă, frânarea durează și ea de două ori mai mult. Triunghiul este de două ori mai înalt și de două ori mai lat, iar aria lui este de aceea de patru ori mai mare. Liniile albe, împreună cu cea roșie, îl împart în patru triunghiuri, fiecare congruent cu cel roșu.

30 km/h în fața școlii

În dreptul școlilor este în vigoare limita de 30 km/h. Are sens, dacă diferența e de doar douăzeci de kilometri pe oră? De la treizeci, adică de la 8,3 m/s, mașina parcurge în timpul de reacție 8,3 m, iar distanța de frânare este

$$s_f=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Mașina se oprește după 13,3 m. Un șofer care merge cu 50 km/h parcurge numai în timpul de reacție 13,9 m. Acolo unde șoferul cu 30 km/h ar fi deja oprit, celălalt nici nu a început să frâneze și lovește copilul cu toată viteza de 50 km/h.

Ce distanță să păstrezi?

Pe un drum județean mergi cu 90 km/h, adică 25 m/s, în spatele altei mașini, care frânează brusc și puternic. Dacă ambele mașini frânează la fel, au și aceeași distanță de frânare. Tu însă începi să frânezi mai târziu cu un timp de reacție și între timp parcurgi 25 m cu viteza neredusă. Distanța dintre mașini trebuie deci să fie cel puțin cât distanța de reacție, altfel intri în mașina din față.

Școlile de șoferi recomandă regula celor două secunde: când mașina din fața ta trece de un stâlp de pe marginea drumului, tu ar trebui să ajungi la el cel mai devreme după două secunde. La nouăzeci este 50 m, de două ori mai mult decât distanța de reacție. Rezerva prinde bine, pentru că frânele tale pot fi mai slabe, iar mașina din față se poate opri lovind un obstacol pe o distanță mult mai scurtă decât distanța ei de frânare.

Cu ce viteză mergea?

Formula funcționează și invers. O mașină mai veche fără ABS, la frânare bruscă, blochează roțile și lasă pe șosea o urmă neagră de frânare. După un accident pe șosea uscată, poliția măsoară o urmă lungă de 25 m. Șoferul susține că mergea cu 50 km/h, cât permite legea. Spune adevărul? Datele problemei sunt:

$$\begin{array}{rl}{s}_f& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Din formula distanței de frânare exprimăm viteza. Înmulțim ambele părți cu $2\cdot |a|$ și extragem radicalul:

$$\begin{array}{rcl}{s}_f& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_f& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_f}\end{array}$$

Înlocuim:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Radicalul din metri la pătrat pe secundă la pătrat dă metri pe secundă. Mașina mergea cel puțin cu aproximativ 67 km/h, deloc cu 50. De la 50 urma ar fi măsurat doar 13,8 m.

Șosea udă și gheață

Pe șosea udă, pe zăpadă și pe gheață mașina încetinește mai puțin, pentru că anvelopele aderă mai greu la suprafața alunecoasă. Motivul este frecarea, la care ajungem când vom vorbi despre forțe. Deocamdată ajunge să știm că încetinirea este mai mică. În formulă ea stă la numitor, așa că o încetinire de două ori mai mică înseamnă o distanță de frânare dublă. Valorile orientative și distanțele de frânare de la 50:

Pe gheață te oprești de la 50 după aproape o sută de metri. Distanța de reacție nu este influențată de suprafață, ea depinde doar de viteză și de șofer. Tocmai de aceea iarna se merge mai încet și cu o distanță mai mare.

Calculatorul distanței de frânare

Introdu viteza, timpul de reacție și suprafața șoselei, iar calculatorul îți calculează distanța de reacție, distanța de frânare, distanța totală și timpul de la observarea obstacolului până la oprire. Încetinirea în funcție de suprafață corespunde tabelului de mai sus și este doar orientativă, cu anvelope uzate sau cu frâne mai slabe va fi mai mică.

La frânare viteza scade uniform. Cazul opus îl întâlnim în fiecare zi, ajunge să scapi ceva din mână: viteza unei pietre care cade crește în fiecare secundă cu aceeași valoare. Cât de adâncă este fântâna, dacă piatra lovește apa după două secunde, și de ce pe Lună ciocanul și pana ating solul deodată, vom calcula în articolul următor, Căderea liberă.