Jarrutus ja jarrutusmatka

Ajat kaupungissa nopeudella 50 km/h, ja kaksikymmentä metriä edessäsi juoksee pysäköityjen autojen takaa lapsi pallon perässä. Pysähdytkö? Auto ei pysähdy hetkellä, jolloin näet lapsen. Ensin täytyy reagoida ja painaa jarrua, ja vasta sitten auto alkaa hidastaa. Matka esteen havaitsemisesta pysähtymiseen koostuu siksi kahdesta osasta:

• reaktiomatka s_r, jonka auto kulkee, ennen kuin kuljettaja alkaa jarruttaa,
• jarrutusmatka s_j, jonka se kulkee jarrun painamisesta pysähtymiseen.

Alaindeksi r tulee sanasta reaktio, j sanasta jarrutus. Yhdessä ne antavat pysähtymismatkan:

$$s=s_r+s_j$$

Reaktiomatka

Ennen kuin kuljettaja reagoi esteeseen, kuluu reaktioaika t_r. Hänen täytyy huomata, mitä tapahtuu, päättää, siirtää jalka kaasulta jarrulle ja painaa sitä. Levännyt ja keskittynyt kuljettaja selviää tästä suunnilleen ajassa 1 s, ja siksi sekunnilla lasketaan myös ajokoulussa. Väsynyt kuljettaja tai se, joka juuri vastaa viestiin, reagoi paljon hitaammin. Joka vilkaisee nopeudella 50 km/h kahden sekunnin ajan puhelinta, ajaa sokkona lähes 28 m.

Koko reaktioajan auton nopeus ei muutu, kuljettaja ei vielä jarruta. Reaktiomatka on siksi tasaisen liikkeen matka:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Viisikymmentä kilometriä tunnissa muunnetaan metreiksi sekunnissa, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ja yhden sekunnin reaktioajassa auto kulkee

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Lähes neljätoista metriä, eikä auto ole vielä edes alkanut jarruttaa.

Jarrutusmatka

Heti kun kuljettaja painaa jarrua, auto alkaa hidastaa. Hyvä auto kuivalla asfaltilla jarruttaa hidastuvuudella noin 7 m/s², joka sekunti se ajaa 7 m/s hitaammin. Positiivisena suuntana pidetään ajosuuntaa, ja kiihtyvyys tulee siksi negatiiviseksi, a = −7 m/s². Oletetaan, ettei se jarrutuksen aikana muutu. Jarrutus on silloin tasaisesti kiihtyvä liike negatiivisella kiihtyvyydellä, jota kutsutaan myös tasaisesti hidastuvaksi liikkeeksi.

Jarrutus alkaa nopeudella v, jolla auto ajoi, ja päättyy nollanopeuteen. Aika ei kiinnosta, joten käytetään yhtälöä, jossa aikaa ei ole, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Alkunopeus on v, loppunopeus nolla ja matka on jarrutusmatka:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_j/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_j/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_j\end{array}$$

Kaavan miinus ei saa pelottaa. Kiihtyvyys on negatiivinen, siksi myös nimittäjä on negatiivinen ja koko murtoluku tulee positiiviseksi, kuten matkan kuuluukin. Miinuksesta ja negatiivisesta a:sta syntyy positiivinen luku, hidastuvuus. Sitä merkitään kiihtyvyyden suuruutena $|a|$, ja jarrutusmatka kirjoitetaan sen avulla näin:

$$s_j=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Sijoitetaan kaavaan luvut. Nopeus jätetään murtoluvuksi, jotta välitulosta ei pyöristetä:

$$\begin{array}{rl}{s}_j& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Yksiköt täsmäävät: neliömetrit sekunnin neliötä kohti jaettuna metreillä sekunnin neliötä kohti antavat metrejä. Nopeudesta 50 km/h auto pysähtyy matkalla 13,8 m, lähes yhtä kauas kuin se kulki reaktioaikana.

Houkuttaa sijoittaa nopeus suoraan kilometreinä tunnissa. Tulisi $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, mutta se ei ole metrejä eikä mitään muutakaan, koska kilometrit tunnissa eivät supistu metrien kanssa sekunnin neliötä kohti. Sata kahdeksankymmentä metriä jarrutusmatkaa viidenkymmenen nopeudesta pitäisi muutenkin herättää epäilyksiä jo arviossa, onhan se melkein kahden jalkapallokentän pituus.

Kuinka paljon aikaa jarrutus vie? Kaavasta v = v₀ + a · t saadaan loppunopeudella nolla samalla päättelyllä

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Jarrun painamisesta pysähtymiseen kuluu vajaat kaksi sekuntia.

Koko liikkeen näyttää nopeuden kuvaaja. Reaktioajan t_r se on vaakasuora, auto ajaa vakionopeudella. Sitten se laskee suoraa pitkin nollaan. Matka on kuvaajan alla oleva ala: sininen suorakulmio on reaktiomatka, punainen kolmio jarrutusmatka. Kolmion ala on puolet kateettien tulosta, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, aivan kuten kaavasta.

Ehditkö pysähtyä ennen lasta?

Koko matka lasketaan vaihe vaiheelta. Ensin tehtävänanto, nopeus muunnetaan heti metreiksi sekunnissa:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Pysähtymismatka on yleisesti molempien osien summa:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Molemmat osat on jo laskettu:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Hetkestä, jolloin näet lapsen, auto kulkee noin 28 m, suunnilleen kuuden henkilöauton pituuden. Et ehdi pysähtyä ennen lasta, joka juoksi tielle kaksikymmentä metriä edessäsi. Kun saavut hänen kohdalleen, olet reaktioajan jälkeen jarruttanut vasta kuusi metriä ja ajat edelleen lähes nelikymppistä.

Kaksinkertainen nopeus, nelinkertainen jarrutusmatka

Entä jos ajaisit sataa valtatiellä? Nopeus on 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Yhden sekunnin reaktioajassa kuljet 27,8 m, kaksi kertaa enemmän kuin viidestäkymmenestä. Jarrutusmatka on

$$s_j=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

neljä kertaa enemmän kuin viidestäkymmenestä. Yhteensä auto kulkee 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, kolme kertaa enemmän kuin viidestäkymmenestä.

Miksi juuri nelinkertainen? Nopeus korotetaan jarrutusmatkan kaavassa toiseen potenssiin, ja kaksinkertaisen neliö on nelinkertainen: (2 · v)² = 4 · v². Reaktiomatka kasvaa nopeuden mukana vain suoraan verrannollisesti, joten mitä nopeammin ajat, sitä suurempi osa pysähtymismatkasta on jarrutusta. Moottoritiellä nopeudella 130 km/h auto kulkee reaktioaikana 36 m, mutta jarruttaa vielä 93 m. Esteen havaitsemisesta pysähtymiseen se tarvitsee siis lähes sataakolmeakymmentä metriä, enemmän kuin koko jalkapallokentän.

Kuvaajasta sen näkee vielä paremmin. Aika lasketaan tässä jarrun painamisesta. Sadasta kuvaaja alkaa kaksi kertaa korkeammalta, ja koska nopeus vähenee yhtä nopeasti, 7 m/s sekunnissa, jarrutus kestää myös kaksi kertaa pidempään. Kolmio on kaksi kertaa korkeampi ja kaksi kertaa leveämpi, ja sen ala on siksi nelinkertainen. Valkoiset viivat jakavat sen punaisen kanssa neljäksi kolmioksi, joista jokainen on yhtenevä punaisen kanssa.

Kolmikymppinen koulun edessä

Koulujen kohdalla on 30 km/h nopeusrajoitus. Onko siinä järkeä, kun kyse on vain kahdestakymmenestä kilometristä tunnissa? Kolmestakymmenestä, eli 8,3 m/s, auto kulkee reaktioaikana 8,3 m ja jarrutusmatka on

$$s_j=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Auto pysähtyy 13,3 m:n jälkeen. Kuljettaja, joka ajaa viittäkymmentä, kulkee pelkässä reaktioajassa 13,9 m. Siellä, missä kolmeakymmentä ajava kuljettaja jo seisoisi, toinen ei ole vielä edes alkanut jarruttaa ja törmää lapseen täydellä viidelläkymmenellä.

Kuinka suuri turvaväli?

Paikallistiellä ajat nopeudella 90 km/h, eli 25 m/s, toisen auton perässä, joka äkkiä jarruttaa voimakkaasti. Jos molemmat autot jarruttavat yhtä lujaa, niillä on myös yhtä pitkä jarrutusmatka. Sinä kuitenkin aloitat jarrutuksen reaktioajan myöhemmin ja ajat sillä välin 25 m täyttä vauhtia. Turvavälin täytyy siksi olla vähintään yhtä suuri kuin reaktiomatka, muuten ajat edessäsi olevaan autoon.

Ajokoulut neuvovat kahden sekunnin sääntöä: kun edessäsi oleva auto ohittaa reunatolpan, sinun pitäisi saavuttaa se aikaisintaan kahden sekunnin kuluttua. Nopeudella yhdeksänkymmentä se on 50 m, kaksi kertaa reaktiomatka. Ylimääräinen väli tulee tarpeeseen, koska sinun jarrusi voivat olla huonommat ja edessäsi oleva auto voi pysähtyä esteeseen paljon aiemmin kuin jarrutusmatkan päässä.

Kuinka nopeasti hän ajoi?

Kaava toimii myös toisinpäin. Vanhempi auto ilman ABS-jarruja lukitsee pyörät kovassa jarrutuksessa ja jättää tielle mustan jarrutusjäljen. Onnettomuuden jälkeen kuivalla tiellä poliisi mittaa jäljen pituudeksi 25 m. Kuljettaja väittää ajaneensa sallittua viittäkymmentä. Puhuuko hän totta? Tehtävänanto on:

$$\begin{array}{rl}{s}_j& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Jarrutusmatkan kaavasta ratkaistaan nopeus. Kerrotaan molemmat puolet luvulla $2\cdot |a|$ ja otetaan neliöjuuri:

$$\begin{array}{rcl}{s}_j& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_j& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_j}\end{array}$$

Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Metrien neliön sekunnin neliötä kohti neliöjuuri antaa metrejä sekunnissa. Auto ajoi ainakin suunnilleen 67 km/h, ei mitään viittäkymmentä. Viidestäkymmenestä jälki olisi vain 13,8 m.

Märkä tie ja jää

Märällä tiellä, lumella ja jäällä auto hidastaa vähemmän, koska renkaat pitävät liukkaalla pinnalla huonommin. Syynä on kitka, ja siihen päästään voimien yhteydessä. Toistaiseksi riittää tietää, että hidastuvuus on pienempi. Kaavassa se on nimittäjässä, ja puolet pienempi hidastuvuus tarkoittaa siksi kaksinkertaista jarrutusmatkaa. Suuntaa antavat arvot ja jarrutusmatkat nopeudesta 50 km/h:

Jäällä pysähdyt viidestäkymmenestä lähes sadan metrin jälkeen. Reaktiomatkaan pinta ei vaikuta, se riippuu vain nopeudesta ja kuljettajasta. Juuri siksi talvella ajetaan hitaammin ja suuremmalla turvavälillä.

Jarrutusmatkan laskuri

Anna nopeus, reaktioaika ja tien pinta, niin laskuri laskee reaktiomatkan, jarrutusmatkan, pysähtymismatkan ja ajan esteen havaitsemisesta pysähtymiseen. Pinnan mukainen hidastuvuus vastaa yllä olevaa taulukkoa ja on vain suuntaa antava, kuluneilla renkailla tai huonommilla jarruilla se on pienempi.

Jarrutuksessa nopeus vähenee tasaisesti. Päinvastainen tapaus on arkipäivää, riittää pudottaa mitä tahansa: putoavan kiven nopeus kasvaa joka sekunti yhtä paljon. Kuinka syvä kaivo on, kun kivi molskahtaa kahden sekunnin kuluttua, ja miksi Kuussa vasara ja höyhen putoavat yhtä aikaa, lasketaan seuraavassa artikkelissa, Vapaa pudotus.