Brzdění a brzdná dráha

Projíždíte městem padesátkou a dvacet metrů před vámi vyběhne zpoza zaparkovaných aut dítě za míčem. Zastavíte? Auto se nezastaví ve chvíli, kdy dítě uvidíte. Nejdřív musíte zareagovat a sešlápnout brzdu, a teprve potom začne zpomalovat. Dráha od spatření překážky do zastavení se proto skládá ze dvou částí:

• reakční dráhu s_r, kterou auto ujede, než řidič začne brzdit,
• brzdnou dráhu s_b, kterou ujede od sešlápnutí brzdy do zastavení.

Index r je od slova reakční, b od slova brzdná. Dohromady dávají celkovou dráhu:

$$s=s_r+s_b$$

Reakční dráha

Než řidič na překážku zareaguje, uplyne reakční doba t_r. Musí si všimnout, co se děje, rozhodnout se, přesunout nohu z plynu na brzdu a sešlápnout ji. Odpočatý a soustředěný řidič to zvládne zhruba za 1 s, a s jednou sekundou se proto počítá i v autoškole. Unavený řidič nebo ten, kdo zrovna odpovídá na zprávu, reaguje mnohem pomaleji. Kdo se při padesátce podívá na dvě sekundy do telefonu, ujede naslepo skoro 28 m.

Po celou reakční dobu se rychlost auta nemění, řidič zatím ještě nebrzdí. Reakční dráha je proto dráha rovnoměrného pohybu:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Padesát kilometrů za hodinu převedeme na metry za sekundu, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, a za jednu sekundu reakční doby auto ujede

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Skoro čtrnáct metrů a auto zatím ani nezačalo brzdit.

Brzdná dráha

Jakmile řidič šlápne na brzdu, auto začne zpomalovat. Dobré auto na suchém asfaltu brzdí se zpomalením zhruba 7 m/s², každou sekundu jede o 7 m/s pomaleji. Za kladný směr vezmeme směr jízdy a zrychlení proto vyjde záporné, a = −7 m/s². Předpokládejme, že se během brzdění nemění. Brzdění je pak rovnoměrně zrychlený pohyb se záporným zrychlením, kterému se říká taky rovnoměrně zpomalený pohyb.

Brzdění začíná rychlostí v, kterou auto jelo, a končí nulovou rychlostí. Čas nás nezajímá, a tak sáhneme po vztahu bez času, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Počáteční rychlost je v, konečná nula a dráha je brzdná dráha:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

Minus ve vzorci nás nemusí děsit. Zrychlení je záporné, záporný je proto i jmenovatel a celý zlomek vyjde kladný, jak se na dráhu sluší. Z minusu a záporné hodnoty a vznikne kladné číslo, zpomalení. Označujeme ho jako velikost zrychlení $|a|$ a brzdnou dráhu s ním píšeme takhle:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Do vzorce vložíme čísla. Rychlost necháme jako zlomek, ať nezaokrouhlujeme mezivýsledek:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \doteq 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Jednotky sedí: metry na druhou za sekundu na druhou dělené metry za sekundu na druhou dají metry. Z padesátky auto zabrzdí na 13,8 m, skoro stejně daleko, jako ujelo během reakční doby.

Láká to dosadit rychlost rovnou v kilometrech za hodinu. Vyšlo by $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\doteq 179$, ale to nejsou metry ani nic jiného, protože kilometry za hodinu se s metry za sekundu na druhou nezkrátí. Sto osmdesát metrů brzdné dráhy z padesáti by navíc mělo vzbudit podezření už při odhadu, vždyť je to skoro délka dvou fotbalových hřišť.

Kolik času brzdění zabere? Ze vzorce v = v₀ + a · t dostaneme s konečnou rychlostí nula stejnou úvahou

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq 1,99\mathrm{s}.$$

Od sešlápnutí brzdy do zastavení uplynou necelé dvě sekundy.

Celý pohyb ukazuje graf rychlosti. Po dobu reakce t_r je vodorovný, auto jede stálou rychlostí. Potom klesá po přímce až na nulu. Dráha je plocha pod grafem: modrý obdélník je reakční dráha, červený trojúhelník brzdná. Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 13,8\mathrm{m}$, stejně jako ze vzorce.

Zastavíme před dítětem?

Celou dráhu spočítáme postupně. Nejdřív zadání, rychlost rovnou převedeme na metry za sekundu:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\doteq 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Celková dráha je obecně součtem obou částí:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Obě části už máme spočítané:

$$s\doteq 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\doteq 28\mathrm{m}$$

Od chvíle, kdy dítě uvidíte, ujede auto asi 28 m, zhruba šest délek osobního auta. Před dítětem, které vyběhlo dvacet metrů před vámi, nestihnete zastavit. Až k němu dojedete, budete po reakční době brzdit teprve šest metrů a pojedete stále skoro čtyřicítkou.

Dvojnásobná rychlost, čtyřnásobná brzdná dráha

A co kdybyste jeli stovkou po silnici první třídy? Rychlost je 100 km/h ≐ 27,8 m/s. Za sekundu reakční doby ujedete 27,8 m, dvakrát víc než z padesáti. Brzdná dráha je

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq 55,1\mathrm{m},$$

čtyřikrát víc než z padesáti. Celkem auto ujede 27,8 m + 55,1 m ≐ 83 m, třikrát víc než z padesáti.

Proč zrovna čtyřikrát? Rychlost se ve vzorci pro brzdnou dráhu umocňuje na druhou a dvojnásobek na druhou je čtyřnásobek: (2 · v)² = 4 · v². Reakční dráha roste s rychlostí jen přímo úměrně, takže čím rychleji jedete, tím větší část celkové dráhy tvoří brzdění. Na dálnici při 130 km/h ujede auto za reakční dobu 36 m, ale brzdí dalších 93 m. Od spatření překážky do zastavení tak potřebuje skoro sto třicet metrů, víc než celé fotbalové hřiště.

V grafu je to vidět ještě lépe. Čas tu počítáme od sešlápnutí brzdy. Ze stovky začíná graf dvakrát výš, a protože se rychlost ztrácí stejně rychle, 7 m/s za sekundu, trvá brzdění i dvakrát déle. Trojúhelník je dvakrát vyšší i dvakrát širší, a jeho obsah je proto čtyřikrát větší. Bílé čáry spolu s červenou ho rozdělí na čtyři trojúhelníky, z nichž každý je shodný s červeným.

Třicítka před školou

U škol platí omezení na 30 km/h. Má to smysl, když jde jen o dvacet kilometrů za hodinu? Ze třiceti, tedy z 8,3 m/s, ujede auto za reakční dobu 8,3 m a brzdná dráha je

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq 5\mathrm{m}.$$

Auto zastaví po 13,3 m. Řidič, který jede padesátkou, ujede za samotnou reakční dobu 13,9 m. Tam, kde by řidič jedoucí třicítkou už stál, ten druhý ještě ani nezačal brzdit a do dítěte narazí plnou padesátkou.

Jak velký odstup?

Na okresce jedete rychlostí 90 km/h, tedy 25 m/s, za jiným autem, které náhle prudce zabrzdí. Brzdí-li obě auta stejně, mají i stejně dlouhou brzdnou dráhu. Vy ale začnete brzdit o reakční dobu později a mezitím ujedete 25 m plnou rychlostí. Odstup proto musí být aspoň tak velký jako reakční dráha, jinak do auta před sebou narazíte.

Autoškoly radí pravidlo dvou sekund: když auto před vámi mine patník, měli byste k němu dojet nejdřív za dvě sekundy. Při devadesáti je to 50 m, dvakrát víc než reakční dráha. Rezerva přijde vhod, protože vaše brzdy můžou být horší a auto před vámi se může zastavit o překážku mnohem dřív než za brzdnou dráhu.

Jak rychle jel?

Vzorec funguje i obráceně. Starší auto bez ABS při prudkém brzdění zablokuje kola a nechá na silnici černou brzdnou stopu. Po nehodě na suché silnici naměří policie stopu dlouhou 25 m. Řidič tvrdí, že jel předpisovou padesátkou. Mluví pravdu? Zadání zní:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Ze vzorce pro brzdnou dráhu vyjádříme rychlost. Obě strany vynásobíme $2\cdot |a|$ a odmocníme:

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

Dosadíme:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \doteq 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Odmocnina z metrů na druhou za sekundu na druhou dá metry za sekundu. Auto jelo aspoň zhruba 67 km/h, žádná padesátka. Z padesáti by stopa měřila jen 13,8 m.

Mokrá silnice a led

Na mokré silnici, na sněhu a na ledu auto zpomaluje méně, protože se pneumatiky kluzkého povrchu hůř drží. Důvodem je tření a k tomu se dostaneme u sil. Zatím stačí vědět, že zpomalení je menší. Ve vzorci stojí ve jmenovateli, a poloviční zpomalení proto znamená dvojnásobnou brzdnou dráhu. Orientační hodnoty a brzdné dráhy z padesáti:

Na ledu se z padesáti zastavíte skoro po stovce metrů. Reakční dráhu povrch neovlivní, ta záleží jen na rychlosti a na řidiči. Právě proto se v zimě jezdí pomaleji a s větším odstupem.

Kalkulačka brzdné dráhy

Zadejte rychlost, reakční dobu a povrch silnice a kalkulačka spočítá reakční dráhu, brzdnou dráhu, celkovou dráhu a čas od spatření překážky do zastavení. Zpomalení podle povrchu odpovídá tabulce výš a je jen orientační, s ojetými pneumatikami nebo horšími brzdami bude menší.

Při brzdění rychlost rovnoměrně ubývá. Opačný případ potkáváme každý den, stačí cokoli upustit: padající kámen má každou sekundu rychlost o stejný kus větší. Jak hluboká je studna, když kámen šplouchne za dvě sekundy, a proč na Měsíci dopadne kladivo i pírko zároveň, spočítáme v dalším článku, Volný pád.