Siła dośrodkowa

Szymon kręci nad głową kamieniem na sznurku. Kamień krąży, sznurek się napina, a Szymon czuje w dłoni, jak kamień za niego ciągnie. Gdy tylko jednak puści sznurek, kamień odleci. Skręcanie po prostu nie jest za darmo: kto chce, żeby ciało krążyło po okręgu, musi je do tego zmuszać siłą skierowaną do środka. Nazywa się ją siłą dośrodkową.

Jeśli szukasz tylko wzoru: na ciało o masie m, które porusza się z prędkością v po okręgu o promieniu r, musi działać siła dośrodkowa

$$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

gdzie ω to prędkość kątowa.

Siła, która zmienia kierunek prędkości

W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości pozostaje stała, ale strzałka prędkości bez przerwy się obraca. Ciało ma więc przyspieszenie dośrodkowe, które jest skierowane do środka okręgu i ma wartość

$$a_d=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona każde przyspieszenie bierze się z siły wypadkowej, F = m · a, a siła wypadkowa ma kierunek i zwrot przyspieszenia. Na ciało poruszające się po okręgu musi więc działać siła wypadkowa skierowana do środka. Przyspieszenie zastępujemy przyspieszeniem dośrodkowym:

$$F_d=m\cdot a_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Jeśli podstawimy drugą postać przyspieszenia, wyjdzie F_d = m · ω² · r. Nie wymyśliliśmy niczego nowego, to zwykła druga zasada dynamiki zastosowana do skręcania. Jednostki się zgadzają:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Ze wzoru wynika, że skręcanie jest tym trudniejsze, im większą masę ma ciało, im szybciej jedzie i im ostrzejszy jest zakręt. Prędkość jest przy tym podniesiona do kwadratu, więc przy dwa razy większej prędkości potrzeba cztery razy większej siły.

Siła dośrodkowa nie jest nową siłą

Tu często popełnia się błąd. Siła dośrodkowa nie jest kolejnym rodzajem siły, który stałby obok siły ciężkości, siły tarcia czy siły naciągu sznurka. To rola, którą w danej sytuacji odgrywa jakaś zupełnie zwyczajna, rzeczywista siła albo wypadkowa kilku sił:

• kamień na okręgu utrzymuje siła napiętego sznurka,
• samochód na zakręcie skręca dzięki tarciu między oponami a drogą,
• Księżyc krąży wokół Ziemi dzięki grawitacji, którą Ziemia go przyciąga.

Kiedy rysujesz siły działające na ciało, zaznaczaj tylko te rzeczywiste. Dodatkowa strzałka z napisem „siła dośrodkowa” obok sznurka to błąd, bo siła sznurka byłaby wtedy na rysunku dwa razy. Wzór $F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$ nie mówi, skąd siła się bierze. Mówi tylko, jak duża musi być siła wypadkowa skierowana do środka, żeby ciało rzeczywiście poruszało się po okręgu. Czasem wystarcza jedna siła, a czasem składa się na nią kilka sił naraz, jak zobaczymy przy zakręcie z przechyłką.

Kamień na sznurku

Kamień Szymona ma masę 0,2 kg, sznurek ma długość 1 m, a kamień w ciągu sekundy dwa razy obiega okrąg, więc okres obiegu wynosi 0,5 s. Jak mocno sznurek musi ciągnąć kamień?

Prędkość kątowa to jeden obrót, 2π radianów, w ciągu okresu, czyli czasu, w którym kamień raz obiegnie okrąg:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Podstawiamy do drugiej postaci wzoru. Radian jest liczbą niemianowaną, dlatego wynik wychodzi w niutonach:

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Sznurek ciągnie kamień siłą około 32 N, jakby wisiała na nim trzykilogramowa torba. Gdyby Szymon rozkręcił kamień dwa razy szybciej, sznurek musiałby wytrzymać cztery razy więcej, około 126 N. Siła ciężkości kamienia wynosi tylko około 2 N, dlatego ją pominęliśmy. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona kamień ciągnie sznurek z powrotem siłą o tej samej wartości, a sznurek przenosi ją aż do ręki Szymona. Właśnie to ciągnięcie Szymon czuje.

Gdy sznurek pęknie

Co się stanie, gdy sznurek się zerwie? Odpowiedź pokazuje animacja. Dopóki sznurek wytrzymuje, ciągnie kamień zieloną siłą do środka, a czerwona strzałka prędkości się obraca. W chwili, gdy sznurek pęknie, siła znika. W poziomie na kamień nie działa już nic, więc zgodnie z zasadą bezwładności leci prosto, z tą samą prędkością, w kierunku, w którym była skierowana jego prędkość w chwili zerwania. Czyli wzdłuż stycznej do okręgu.

Kamień nie odlatuje więc „na zewnątrz” wzdłuż prostej przechodzącej przez środek, jak mogłoby się wydawać. Nic go na zewnątrz nie ciągnie, po prostu przestał skręcać. Wykorzystuje to proca: kamień puszcza się dokładnie w chwili, gdy jego prędkość jest skierowana na cel. Kamień Szymona wyleci z prędkością ω · r ≈ 12,6 m/s, czyli około 45 km/h, więc okno sąsiadów jest w niebezpieczeństwie.

Samochód na zakręcie

Samochód o masie 1200 kg pokonuje z prędkością 54 km/h zakręt o promieniu 50 m. Zamieniamy prędkość, 54 km/h = 15 m/s, i podstawiamy:

$$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Skąd się bierze te 5400 N? Na drodze nie ma żadnego sznurka. Do skręcania zmusza samochód tylko siła tarcia między oponami a asfaltem, skierowana do środka zakrętu.

Opona przy tym nie ślizga się po drodze na bok. Miejsce, którym dotyka asfaltu, w tej chwili nie porusza się względem drogi, dlatego chodzi o tarcie statyczne. Jest ono dokładnie tak duże, jak potrzeba, tutaj 5400 N, ale tylko do swojego maksimum.

Czy wystarczy na to każda droga? Będziemy liczyć ze współczynnikami tarcia kinetycznego. Tarcie statyczne opon bywa trochę większe, więc wyniki są ostrożnym oszacowaniem. Dla gumy na suchym asfalcie współczynnik wynosi około 0,7, na mokrym 0,5, na śniegu 0,3, a na lodzie 0,1. Siła ciężkości samochodu to 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N i taką samą wartość ma na poziomej drodze siła reakcji podłoża. Tarcie musi dostarczyć 5400 N, więc współczynnik tarcia musi wynosić co najmniej $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Suchy asfalt poradzi sobie z tym z zapasem, na mokrym ledwo wystarcza. Na śniegu tarcie dałoby najwyżej 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N i samochód nie zmieściłby się w zakręcie.

Jak szybko można przejechać zakręt

Na poziomej drodze siła reakcji podłoża równoważy siłę ciężkości, F_N = m · g, a największa siła tarcia wynosi μ · m · g. Samochód pokona zakręt, dopóki tarcie wystarcza:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Największa prędkość to ta, przy której zachodzi równość. Masa się skraca, obie strony mnożymy przez promień i wyciągamy pierwiastek:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Na suchym asfalcie μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Na suchej drodze samochód przejedzie więc zakręt najwyżej z prędkością około 67 km/h, a nasze 54 km/h pokona z zapasem. Na lodzie μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

W ten sam zakręt na gołoledzi da się wjechać tylko trochę szybciej, niż jeździ rowerzysta. Ponieważ masa się skróciła, dotyczy to tak samo małego samochodu, jak i załadowanej ciężarówki z takimi samymi oponami. Samochód o większej masie potrzebuje wprawdzie większej siły, ale też mocniej naciska na drogę, więc ma większe tarcie.

A co, jeśli samochód wjedzie w zakręt szybciej? Tarcie osiągnie maksimum i więcej nie da. Siła skierowana do środka jest mniejsza, niż wymagałby okrąg o promieniu 50 m, więc samochód skręca słabiej. Jedzie po łagodniejszym łuku, w skrajnym przypadku prawie prosto wzdłuż stycznej, a zakręt ucieka mu spod kół. Obserwatorowi przy drodze wydaje się, że samochód „wyniosło na zewnątrz”. W rzeczywistości nic go na zewnątrz nie pchało, tylko tarcie nie zdołało go wystarczająco skręcić.

Wzoru można użyć też odwrotnie. Jak szerokiego zakrętu potrzebuje autostrada, żeby dało się go pokonać z prędkością 130 km/h, czyli około 36,1 m/s? Równanie v² = μ · g · r dzielimy przez iloczyn μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Na mokrej nawierzchni ze współczynnikiem 0,5 potrzeba już około 266 m, i to wciąż bez żadnego zapasu. Zakręty na autostradach mają dlatego promień rzędu kilkuset metrów lub więcej, a do tego zwykle mają przechyłkę.

Zakręty z przechyłką

Na łącznicach autostrad, na torze kolarskim czy na torze bobslejowym zakręt jest pochylony: zewnętrzna krawędź leży wyżej niż wewnętrzna. Siła reakcji podłoża jest prostopadła do drogi, więc nie jest już skierowana pionowo w górę, tylko ukośnie w stronę środka zakrętu.

Siła ciężkości i siła reakcji podłoża się wtedy nie znoszą, a część zadania, które na płaskiej drodze wykonuje tarcie, przejmuje siła reakcji podłoża. Przy odpowiedniej prędkości ich wypadkowa jest skierowana dokładnie poziomo do środka i zapewnia całą siłę dośrodkową, więc samochód przejechałby zakręt nawet bez tarcia, na przykład na lodzie. Na rysunku obie siły są narysowane ze wspólnego punktu, żeby dało się zbudować ich sumę metodą równoległoboku. Im bardziej stromo pochylony jest zakręt, tym szybciej da się go przejechać. Kolarze na torze jeżdżą dlatego na zakrętach pochylonych jak dach.

Co utrzymuje Księżyc

Księżyc krąży wokół Ziemi w odległości około 3,84 · 10⁸ m, a jeden obieg, czyli okres, trwa 27,3 dnia, to jest około 2,36 · 10⁶ s. Jego prędkość wynosi

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Księżyc ma masę około 7,35 · 10²² kg. Siła dośrodkowa, którą Ziemia musi go utrzymywać, wychodzi

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Żadna lina nie wytrzymałaby takiej siły. Księżyc jednak liny nie potrzebuje, jej rolę przejmuje grawitacja. Gdyby Ziemia przestała przyciągać Księżyc, odleciałby wzdłuż stycznej tak samo jak kamień Szymona.

Kalkulator największej prędkości na zakręcie

Wpisz promień zakrętu i wybierz nawierzchnię. Kalkulator obliczy największą prędkość $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ na poziomej drodze.

Wszystko opisywaliśmy dotąd z perspektywy drogi, skąd widać, że samochód i kamień zmusza do skręcania tylko siła skierowana do środka. Pasażer w samochodzie przeżywa to jednak inaczej: przyciska się do drzwi i z jego punktu widzenia wygląda to tak, jakby coś go do nich pchało. Jak opisać ruch z punktu widzenia kogoś, kto jedzie razem z samochodem, pokażą siły bezwładności.

Jak zakręt przeżywa pasażer w środku samochodu i dlaczego wydaje mu się, że coś pcha go na zewnątrz, wyjaśnia następny artykuł, Siły bezwładności.