Centripetális erő

Simon a feje fölött megforgat egy követ egy madzagon. A kő körbejár, a madzag megfeszül, és Simon a kezében érzi, hogy a kő húzza. Amint viszont elengedi a madzagot, a kő elrepül. A kanyarodás tehát nem ingyen van: aki azt akarja, hogy egy test körpályán keringjen, annak a középpont felé mutató erővel kell kényszerítenie rá. Ezt az erőt hívjuk centripetális erőnek.

Ha csak a képletre vagy kíváncsi: arra az m tömegű testre, amely v sebességgel kering egy r sugarú körön, centripetális erőnek kell hatnia

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

ahol ω a szögsebesség.

Az erő, amely elfordítja a sebességet

Egyenletes körmozgásnál a sebesség nagysága állandó, a sebesség nyila viszont folyamatosan elfordul. A testnek ezért centripetális gyorsulása van, amely a kör középpontja felé mutat, és nagysága

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Newton második törvénye szerint minden gyorsulást eredő erő hoz létre, F = m · a, és az eredő erő abba az irányba mutat, amerre a gyorsulás. A körpályán mozgó testre tehát a középpont felé mutató eredőnek kell hatnia. A gyorsulás helyére a centripetális gyorsulást írjuk:

$$F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Ha a gyorsulás másik alakját helyettesítjük be, F_cp = m · ω² · r jön ki. Semmi újat nem találtunk ki, ez egyszerűen a dinamika alaptörvénye, a kanyarodásra alkalmazva. A mértékegységek stimmelnek:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

A képlet szerint a kanyarodás annál nehezebb, minél nagyobb a test tömege, minél gyorsabban megy, és minél élesebb a kanyar. A sebesség négyzetesen szerepel, ezért kétszeres sebességnél négyszer nagyobb erő kell.

A centripetális erő nem új erő

Itt gyakran hibáznak. A centripetális erő nem egy újabb fajta erő, amely a nehézségi, a súrlódási vagy a madzag ereje mellett állna. Egy szerep, amelyet az adott helyzetben valamilyen teljesen közönséges, valódi erő, vagy több erő eredője tölt be:

• a követ a megfeszített madzag ereje tartja a körön,
• az autót a kanyarban a gumiabroncsok és az út közötti súrlódás fordítja el,
• a Hold azért kering a Föld körül, mert a Föld a gravitációval vonzza.

Amikor lerajzolod a testre ható erőket, csak a valódi erőket rajzold be. A madzag mellé külön felrajzolt „centripetális erő” nyila hiba, mert így a madzag ereje kétszer szerepelne az ábrán. Az $F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ képlet nem azt mondja meg, honnan jön az erő. Csak azt, hogy mekkorának kell lennie a középpont felé mutató eredőnek ahhoz, hogy a test valóban körpályán keringjen. Néha egyetlen erő elég, máskor több erő együtt adja ki, ahogy a túlemelt kanyarnál látni fogjuk.

Kő a madzagon

Simon kövének tömege 0,2 kg, a madzag 1 m hosszú, és a kő másodpercenként kétszer kerüli meg a kört, a periódusidő tehát 0,5 s. Mekkora erővel kell a madzagnak húznia a követ?

A szögsebesség egy fordulat, 2π radián egy periódusidő alatt:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Behelyettesítünk a képlet második alakjába. A radián tiszta szám, ezért az eredmény newtonban jön ki:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

A madzag körülbelül 32 N erővel húzza a követ, mintha egy háromkilós táska lógna rajta. Ha Simon kétszer gyorsabban forgatná a követ, a madzagnak négyszer többet kellene kibírnia, körülbelül 126 N erőt. A kő nehézségi ereje csak körülbelül 2 N, ezért elhanyagoltuk. Newton harmadik törvénye szerint a kő ugyanekkora erővel húzza vissza a madzagot, a madzag pedig továbbadja Simon kezéhez. Éppen ezt a húzást érzi Simon.

Amikor elszakad a madzag

Mi történik, ha a madzag elszakad? A választ az animáció mutatja. Amíg a madzag tart, a zöld erővel a középpont felé húzza a követ, és a piros sebességnyíl folyamatosan elfordul. Abban a pillanatban, amikor a madzag elszakad, az erő megszűnik. Vízszintes irányban a követ már semmi sem húzza, ezért a tehetetlenség törvénye szerint egyenesen repül, ugyanolyan gyorsan, és abba az irányba, amerre a sebessége a szakadás pillanatában mutatott. Ez a körre húzott érintő iránya.

A kő tehát nem repül „kifelé” a középpontból húzott egyenes mentén, ahogy gondolhatnánk. Semmi sem húzza kifelé, egyszerűen csak abbahagyta a kanyarodást. Ezt használja ki a parittya: a követ pontosan akkor engedik el, amikor a sebessége a célpont felé mutat. Simon köve ω · r ≈ 12,6 m/s sebességgel indul, ez körülbelül 45 km/h, így a szomszédok ablaka veszélyben van.

Autó a kanyarban

Egy 1200 kg tömegű autó 54 km/h sebességgel halad át egy 50 m sugarú kanyaron. A sebességet átváltjuk, 54 km/h = 15 m/s, és behelyettesítünk:

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Honnan jön ez az 5400 N? Az úton nincs madzag. Az autót csak a gumiabroncsok és az aszfalt közötti súrlódás kényszeríti kanyarodásra, amely a kanyar középpontja felé mutat.

A gumiabroncs közben nem csúszik oldalra az úton. A hely, ahol az aszfaltot érinti, abban a pillanatban nem mozog az úthoz képest, ezért tapadási súrlódásról van szó. Pontosan akkora, amekkorára szükség van, itt 5400 N, de csak a maximumáig.

Elég-e ehhez bármilyen út? A csúszási súrlódási együtthatókkal számolunk (súrlódás). A gumiabroncsok tapadási súrlódása általában kicsit nagyobb, az eredmények tehát óvatos becslések. A gumi száraz aszfalton körülbelül 0,7, nedvesen 0,5, havon 0,3, jégen 0,1 értékű együtthatóval számolható. Az autó nehézségi ereje 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N, és vízszintes úton ugyanakkora a tartóerő. A súrlódásnak 5400 N erőt kell kifejtenie, ezért a súrlódási együtthatónak legalább $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$ kell lennie. A száraz aszfalt ezt bőven teljesíti, nedves aszfalton éppen csak elég. Havon a súrlódás legfeljebb 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N erőt adna, és az autó nem venné be a kanyart.

Milyen gyorsan lehet bevenni a kanyart

Vízszintes úton a tartóerő kiegyenlíti a nehézségi erőt, F_ny = m · g, a legnagyobb súrlódási erő pedig μ · m · g. Az autó addig veszi be a kanyart, amíg a súrlódás elég:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

A legnagyobb sebesség az, amelynél egyenlőség van. A tömeg kiesik, mindkét oldalt megszorozzuk a sugárral, és gyököt vonunk:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Száraz aszfalton μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Száraz úton tehát az autó legfeljebb körülbelül 67 km/h sebességgel mehet át a kanyaron, a mi 54 km/h sebességünket pedig tartalékkal bírja. Jégen μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Ugyanabba a kanyarba jeges úton csak valamivel gyorsabban lehet behajtani, mint ahogy egy biciklista megy. Mivel a tömeg kiesett, ez ugyanúgy érvényes a kisautóra, mint a megrakott kamionra ugyanolyan abroncsokkal. A nagyobb tömegű autónak ugyan nagyobb erő kell, de az utat is jobban nyomja, így a súrlódása is nagyobb.

Mi van, ha az autó gyorsabban hajt be a kanyarba? A súrlódás eléri a maximumát, és többet nem tud adni. A középpont felé mutató erő kisebb, mint amekkorát az 50 m sugarú kör igényelne, ezért az autó kevésbé kanyarodik. Enyhébb íven halad, szélső esetben szinte egyenesen az érintő mentén, és a kanyar elmegy alóla. Az út menti megfigyelőnek úgy tűnik, hogy az autót „kivitte” a kanyar. Valójában semmi sem tolta kifelé, a súrlódás csak nem tudta eléggé elfordítani.

A képlet fordítva is használható. Milyen széles kanyar kell egy autópályán ahhoz, hogy 130 km/h sebességgel, vagyis körülbelül 36,1 m/s sebességgel át lehessen menni rajta? A v² = μ · g · r egyenletet elosztjuk a μ · g szorzattal:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Nedves úton, 0,5 együtthatóval már körülbelül 266 m kell, és az is még mindig tartalék nélkül. Az autópálya-kanyarok sugara ezért több száz méter, ráadásul túl vannak emelve.

Túlemelt kanyarok

Az autópálya-felhajtókon, a kerékpárpályán és a bobpályán a kanyar meg van döntve: a külső szélénél magasabban van az út, mint a belsőnél. A tartóerő merőleges az útra, ezért már nem függőlegesen felfelé, hanem ferdén a kanyar középpontja felé mutat.

A nehézségi erő és a tartóerő így nem oltja ki egymást, és a feladat egy részét, amelyet egyenes úton a súrlódás lát el, a tartóerő veszi át. Megfelelő sebességnél az eredőjük pontosan vízszintesen a középpont felé mutat, és egymaga adja a teljes centripetális erőt, így az autó súrlódás nélkül is bevenné a kanyart, például jégen. Az ábrán a két erő közös pontból van rajzolva, hogy az összegüket paralelogrammával szerkeszthessük meg. Minél meredekebben van megdöntve a kanyar, annál gyorsabban lehet bevenni. A kerékpárosok ezért a kerékpárpályán tetőszerűen megdöntött kanyarokban mennek.

Mi tartja a Holdat

A Hold a Földtől körülbelül 3,84 · 10⁸ m távolságban kering, és egy keringése 27,3 napig tart, vagyis körülbelül 2,36 · 10⁶ s ideig. A sebessége

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A Hold tömege körülbelül 7,35 · 10²² kg. A centripetális erő, amellyel a Földnek tartania kell:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Ekkora erőt semmilyen kötél nem bírna ki. A Holdnak azonban nincs szüksége kötélre, a szerepét a gravitáció veszi át. Ha a Föld nem vonzaná tovább a Holdat, az az érintő mentén elrepülne, ugyanúgy, mint Simon köve.

A kanyarban elérhető legnagyobb sebesség számológépe

Add meg a kanyar sugarát, és válaszd ki a felületet. A számológép kiszámolja a legnagyobb sebességet, $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$, vízszintes úton.

Eddig mindent az útról írtunk le, ahonnan látszik, hogy az autót is, a követ is csak a középpont felé mutató erő kényszeríti kanyarodásra. Az autó utasa viszont ezt másképp éli át: az ajtóhoz szorul, és a saját szemszögéből úgy tűnik, mintha valami odanyomná. Hogyan írható le a mozgás annak szemszögéből, aki az autóval utazik, azt a tehetetlenségi erők mutatják meg.

Hogyan éli át a kanyart az autóban ülő utas, és miért tűnik úgy neki, hogy valami kifelé nyomja, azt a következő, Tehetetlenségi erők című cikk magyarázza el.