Forza centripeta

Simone fa roteare sopra la testa un sasso legato a una corda. Il sasso gira, la corda si tende e Simone sente nella mano che il sasso la tira. Appena però lascia la corda, il sasso vola via. Curvare, insomma, non è gratis: chi vuole che un corpo giri su una circonferenza deve costringerlo a farlo con una forza diretta verso il centro. Quella si chiama forza centripeta.

Se cerchi solo la formula: su un corpo di massa m che percorre con velocità v una circonferenza di raggio r deve agire la forza centripeta

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

dove ω è la velocità angolare.

Una forza che fa curvare la velocità

Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità resta lo stesso, ma la freccia della velocità ruota continuamente. Il corpo ha quindi un’accelerazione centripeta, diretta verso il centro della circonferenza e di modulo

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Per il secondo principio della dinamica ogni accelerazione nasce da una risultante delle forze, F = m · a, e la risultante è diretta dove è diretta l’accelerazione. Su un corpo che si muove su una circonferenza deve quindi agire una risultante verso il centro. Sostituiamo l’accelerazione con l’accelerazione centripeta:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Se sostituiamo la seconda forma dell’accelerazione, risulta F_c = m · ω² · r. Non abbiamo inventato nessuna novità, è la semplice legge fondamentale della dinamica applicata a una curva. Le unità tornano:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Secondo la formula curvare è tanto più impegnativo quanto maggiore è la massa del corpo, quanto più veloce va e quanto più stretta è la curva. La velocità, inoltre, compare al quadrato, quindi a velocità doppia serve una forza quattro volte maggiore.

La forza centripeta non è una forza nuova

Qui si sbaglia spesso. La forza centripeta non è un altro tipo di forza che starebbe accanto alla forza peso, all’attrito o alla tensione della corda. È un ruolo che in una data situazione svolge una forza del tutto ordinaria e reale, o la risultante di più forze:

• il sasso sulla circonferenza è tenuto dalla tensione della corda tesa,
• l’auto in curva è fatta curvare dall’attrito tra gli pneumatici e la strada,
• la Luna gira intorno alla Terra grazie alla gravità con cui la Terra la attira.

Quando disegni le forze che agiscono su un corpo, disegna solo quelle reali. Una freccia con la scritta «forza centripeta» aggiunta accanto alla corda è un errore, perché nel disegno la tensione della corda comparirebbe due volte. La formula $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ non dice da dove venga la forza. Dice soltanto quanto grande deve essere la risultante diretta verso il centro perché il corpo giri davvero su una circonferenza. A volte basta una sola forza, altre volte partecipano più forze insieme, come vedremo nella curva sopraelevata.

Il sasso sulla corda

Il sasso di Simone ha una massa di 0,2 kg, la corda è lunga 1 m e in un secondo il sasso compie due giri, quindi il periodo è 0,5 s. Con che forza la corda deve tirare il sasso?

La velocità angolare è un giro, 2π radianti, per periodo:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Sostituiamo nella seconda forma della formula. Il radiante è un numero puro, perciò il risultato viene in newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

La corda tira il sasso con una forza di circa 32 N, come se vi fosse appesa una borsa da tre chili. Se Simone facesse roteare il sasso al doppio della velocità, la corda dovrebbe reggere quattro volte tanto, circa 126 N. La forza peso del sasso è solo di circa 2 N, perciò l’abbiamo trascurata. Secondo il terzo principio della dinamica il sasso tira indietro la corda con una forza di pari modulo e la corda la trasmette fino alla mano di Simone. È proprio questa trazione che Simone sente.

Quando la corda si spezza

Che cosa succede appena la corda si strappa? La risposta la mostra l’animazione. Finché la corda regge, tira il sasso con la forza verde verso il centro e la freccia rossa della velocità ruota. Nel momento in cui la corda si spezza, la forza sparisce. In direzione orizzontale sul sasso non agisce più nulla, quindi secondo il principio d’inerzia vola in linea retta, con la stessa velocità e nella direzione in cui era diretta la sua velocità nell’istante dello strappo, cioè lungo la tangente alla circonferenza.

Il sasso quindi non vola «verso l’esterno» lungo una retta che parte dal centro, come potrebbe sembrare. Nulla lo tira all’esterno, ha semplicemente smesso di curvare. Lo sfrutta la fionda: il sasso si lascia andare esattamente nel momento in cui la sua velocità è diretta verso il bersaglio. Il sasso di Simone parte con velocità ω · r ≈ 12,6 m/s, cioè circa 45 km/h, quindi la finestra dei vicini è in pericolo.

L’auto in curva

Un’auto di massa 1200 kg percorre a 54 km/h una curva di raggio 50 m. Convertiamo la velocità, 54 km/h = 15 m/s, e sostituiamo:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Da dove vengono questi 5400 N? Sulla strada non c’è nessuna corda. A far curvare l’auto è soltanto l’attrito tra gli pneumatici e l’asfalto, diretto verso il centro della curva.

Lo pneumatico però non scivola lateralmente sulla strada. Il punto con cui tocca l’asfalto in quel momento è fermo rispetto alla strada, quindi si tratta di attrito statico. È grande esattamente quanto serve, qui 5400 N, ma solo fino al suo massimo.

Basta una strada qualsiasi? Calcoleremo con i coefficienti di attrito dinamico. L’attrito statico degli pneumatici è di solito un po’ maggiore, i risultati sono quindi una stima prudente. Per la gomma sull’asfalto asciutto il coefficiente è circa 0,7, sul bagnato 0,5, sulla neve 0,3 e sul ghiaccio 0,1. La forza peso dell’auto è 1200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N e di pari modulo è, su una strada orizzontale, la forza normale. L’attrito deve fornire 5400 N, quindi il coefficiente di attrito deve essere almeno $\frac{5400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. L’asfalto asciutto ce la fa con ampio margine, sul bagnato ce la fa per un soffio. Sulla neve l’attrito darebbe al massimo 0,3 · 11.772 N ≈ 3500 N e l’auto non riuscirebbe a fare la curva.

A che velocità si può percorrere una curva

Su una strada orizzontale la forza normale equilibra la forza peso, F_N = m · g, e la massima forza di attrito è μ · m · g. L’auto percorre la curva finché l’attrito basta:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

La velocità massima è quella a cui vale l’uguaglianza. La massa si semplifica, moltiplichiamo entrambi i membri per il raggio ed estraiamo la radice quadrata:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Sull’asfalto asciutto è μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Sull’asciutto l’auto può dunque percorrere la curva al massimo a circa 67 km/h e i nostri 54 km/h li regge con margine. Sul ghiaccio è μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Nella stessa curva sul ghiaccio si può entrare solo di poco più velocemente di un ciclista. Poiché la massa si è semplificata, vale lo stesso per un’utilitaria e per un camion carico con gli stessi pneumatici. Un’auto di massa maggiore ha bisogno di una forza maggiore, ma preme anche di più sulla strada e ha quindi anche un attrito maggiore.

E se l’auto entra in curva più veloce? L’attrito raggiunge il massimo e di più non può dare. La forza verso il centro è minore di quella che richiederebbe una circonferenza di raggio 50 m, quindi l’auto curva meno. Percorre un arco più dolce, al limite quasi in linea retta lungo la tangente, e la curva le sfugge da sotto le ruote. A chi guarda dal bordo della strada sembra che l’auto sia stata «portata fuori». In realtà nulla la spingeva all’esterno, l’attrito non è riuscito a farla curvare abbastanza.

La formula si può usare anche al contrario. Quanto larga deve essere una curva d’autostrada per poterla percorrere a 130 km/h, cioè circa 36,1 m/s? Dividiamo l’equazione v² = μ · g · r per il prodotto μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Sul bagnato con coefficiente 0,5 servono già circa 266 m, e anche questo è ancora senza alcun margine. Le curve d’autostrada hanno perciò raggi di molte centinaia di metri e per di più sono sopraelevate.

Curve sopraelevate

Negli svincoli d’autostrada, nei velodromi e sulle piste da bob la curva è inclinata: il bordo esterno sta più in alto di quello interno. La forza normale è perpendicolare alla strada, quindi non è più diretta verticalmente verso l’alto, ma obliquamente verso il centro della curva.

La forza peso e la forza normale allora non si annullano e una parte del compito che sulla strada piana spetta all’attrito passa alla forza normale. A una velocità adatta la loro risultante è diretta esattamente in orizzontale verso il centro e fornisce l’intera forza centripeta, quindi l’auto percorrerebbe la curva anche senza attrito, per esempio sul ghiaccio. Nella figura le due forze sono disegnate da un punto comune, in modo da poter costruire la loro somma con il parallelogramma. Più la curva è inclinata, più velocemente la si può percorrere. Per questo nei velodromi i ciclisti corrono su curve inclinate come un tetto.

Che cosa tiene la Luna

La Luna gira intorno alla Terra a una distanza di circa 3,84 · 10⁸ m e un giro le richiede 27,3 giorni, cioè circa 2,36 · 10⁶ s. La sua velocità è

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

La Luna ha una massa di circa 7,35 · 10²² kg. La forza centripeta con cui la Terra la deve tenere risulta

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Nessuna fune reggerebbe una forza simile. La Luna però non ha bisogno di funi, il loro ruolo lo assume la gravità. Se la Terra smettesse di attirare la Luna, questa volerebbe via lungo la tangente, proprio come il sasso di Simone.

Calcolatrice della velocità massima in curva

Inserisci il raggio della curva e scegli il fondo. La calcolatrice calcola la velocità massima $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ su una strada orizzontale.

Finora abbiamo descritto tutto dalla strada, da dove si vede che l’auto e il sasso sono costretti a curvare solo da una forza diretta verso il centro. Il passeggero in auto però lo vive in modo diverso: viene premuto contro la portiera e dal suo punto di vista sembra che qualcosa lo spinga contro di essa. Come si può descrivere il moto dal punto di vista di chi viaggia con l’auto lo mostreranno le forze apparenti.

Come vive la curva il passeggero dentro l’auto e perché gli sembra che qualcosa lo spinga verso l’esterno lo spiega il prossimo articolo, Forze apparenti.