Центростремителна сила

Симеон върти над главата си камък на връв. Камъкът кръжи, връвта се опъва и Симеон усеща в ръката си как камъкът го дърпа. Щом обаче пусне връвта, камъкът отлита. Завиването просто не е безплатно: който иска тялото да обикаля по окръжност, трябва да го принуждава към това със сила, която сочи към центъра. Тя се нарича центростремителна сила.

Ако търсиш само формулата: върху тяло с маса m, което обикаля със скорост v по окръжност с радиус r, трябва да действа центростремителна сила

$$F_{\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

където ω е ъгловата скорост.

Сила, която завърта скоростта

При равномерно движение по окръжност големината на скоростта остава същата, но стрелката на скоростта непрекъснато се завърта. Тялото затова има центростремително ускорение, което е насочено към центъра на окръжността и има големина

$$a_{\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

По втория закон на Нютон всяко ускорение възниква от равнодействаща сила, F = m · a, и равнодействащата сочи натам, накъдето сочи ускорението. Върху тяло на окръжност следователно трябва да действа равнодействаща към центъра. Ускорението заместваме с центростремителното ускорение:

$$F_{\mathrm{ц}}=m\cdot a_{\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Ако заместим втората форма на ускорението, излиза F_ц = m · ω² · r. Не сме измислили никаква новост, това е обикновеният закон на силата, приложен към завиването. Мерните единици са верни:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Според формулата завиването е толкова по-трудно, колкото по-голяма е масата на тялото, колкото по-бързо се движи и колкото по-остър е завоят. Скоростта се повдига на квадрат, така че при двойна скорост е нужна четири пъти по-голяма сила.

Центростремителната сила не е нова сила

Тук често се греши. Центростремителната сила не е още един вид сила, който да стои до силата на тежестта, силата на триене или силата на връвта. Това е роля, която в дадена ситуация играе някоя съвсем обикновена реална сила или равнодействащата на няколко сили:

• камъкът се държи на окръжността от силата на опънатата връв,
• колата в завой се завърта от триенето между гумите и пътя,
• Луната обикаля около Земята благодарение на гравитацията, с която Земята я привлича.

Когато чертаеш силите, които действат върху тялото, чертай само реалните. Стрелка с надпис „центростремителна сила“, добавена допълнително до връвта, е грешка, защото силата на връвта би била на фигурата два пъти. Формулата $F_{\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ не казва откъде се взема силата. Казва само колко голяма трябва да е равнодействащата, насочена към центъра, за да обикаля тялото наистина по окръжност. Понякога стига една-единствена сила, друг път в нея участват няколко сили едновременно, както ще видим при наклонения завой.

Камък на връв

Камъкът на Симеон има маса 0,2 kg, връвта е дълга 1 m и за секунда той обикаля окръжността два пъти, периодът е следователно 0,5 s. Колко силно трябва връвта да тегли камъка?

Ъгловата скорост е един оборот, 2π радиана, за период:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Заместваме във втората форма на формулата. Радианът е просто число и затова резултатът излиза в нютони:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ц}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Връвта тегли камъка със сила около 32 N, като че ли на нея виси торба от три килограма. Ако Симеон завърти камъка два пъти по-бързо, връвта трябва да издържи четири пъти повече, около 126 N. Силата на тежестта на камъка е само около 2 N и затова я пренебрегнахме. По третия закон на Нютон камъкът тегли със същата по големина сила обратно връвта и връвта я предава до ръката на Симеон. Точно това дърпане Симеон усеща.

Когато връвта се скъса

Какво става, щом връвта се скъса? Отговорът показва анимацията. Докато връвта държи, тегли камъка със зелената сила към центъра и червената стрелка на скоростта се завърта. В момента, когато връвта се скъса, силата изчезва. В хоризонтална посока върху камъка вече не действа нищо, така че по закона за инерцията лети право, със същата скорост и натам, накъдето е сочила скоростта му в момента на скъсването. Това е по допирателната към окръжността.

Камъкът затова не отлита „навън“ по права от центъра, както би могло да изглежда. Нищо не го тегли навън, просто е престанал да завива. Това използва прашката: камъкът се пуска точно в момента, когато скоростта му сочи към целта. Камъкът на Симеон излита със скорост ω · r ≈ 12,6 m/s, тоест около 45 km/h, така че прозорецът на съседите е застрашен.

Кола в завой

Кола с маса 1200 kg минава със скорост 54 km/h през завой с радиус 50 m. Скоростта преобразуваме, 54 km/h = 15 m/s, и заместваме:

$$F_{\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Откъде се вземат тези 5400 N? На пътя няма никаква връв. Само триенето между гумите и асфалта принуждава колата да завива, което сочи към центъра на завоя.

Гумата при това не се плъзга встрани по пътя. Мястото, с което докосва асфалта, спрямо пътя в този момент не се движи и става дума затова за триене в покой. То е точно толкова голямо, колкото е нужно, тук 5400 N, но само до своя максимум.

Стига ли за това всеки път? Ще смятаме с коефициентите на триене при хлъзгане. Триенето в покой на гумите обикновено е малко по-голямо, резултатите са затова предпазлива оценка. За гума върху сух асфалт коефициентът е около 0,7, върху мокър 0,5, върху сняг 0,3 и върху лед 0,1. Силата на тежестта на колата е 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N и същата по големина е на хоризонтален път реакцията на опората. Триенето трябва да даде 5400 N, така че коефициентът на триене трябва да е най-малко $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Сухият асфалт се справя с това с лекота, върху мокрия едва се получава. Върху сняг триенето би дало най-много 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N и колата не би взела завоя.

С каква скорост може да се мине през завоя

На хоризонтален път реакцията на опората уравновесява силата на тежестта, N = m · g, и най-голямата сила на триене е k · m · g. Колата минава през завоя, докато триенето стига:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le k\cdot m\cdot g$$

Най-голямата скорост е тази, при която настъпва равенство. Масата се съкращава, двете страни умножаваме по радиуса и извличаме корен:

$$v_{max}=\sqrt{k\cdot g\cdot r}$$

На сух асфалт k = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

На сухо колата може да мине през завоя най-много с около 67 km/h и се справя с нашите 54 km/h с резерв. На лед k = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

В същия завой на заледен път може да се влезе само малко по-бързо, отколкото се движи колоездач. Тъй като масата се съкрати, това важи еднакво за малка кола и за натоварен камион със същите гуми. Колата с по-голяма маса наистина има нужда от по-голяма сила, но и натиска пътя повече и затова има и по-голямо триене.

Ами ако колата влезе в завоя по-бързо? Триенето достига максимума и повече не дава. Силата към центъра е по-малка, отколкото би била нужна за окръжност с радиус 50 m, така че колата завива по-малко. Движи се по по-мека дъга, в краен случай почти право по допирателната, и завоят се измества изпод колелата. На наблюдателя край пътя му се струва, че колата е „изхвърлена навън“. В действителност нищо не я е бутало навън, триенето просто не е успяло да я завърти достатъчно.

Формулата може да се използва и обратно. Колко широк завой е нужен на магистралата, за да може да се мине през него със 130 km/h, тоест около 36,1 m/s? Уравнението v² = k · g · r делим на произведението k · g:

$$r=\frac{v^2}{k\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

На мокро с коефициент 0,5 вече е нужно около 266 m и дори това е без какъвто и да е резерв. Завоите на магистралите затова имат радиус от много стотици метри и освен това обикновено са наклонени.

Наклонени завои

На магистралните отклонения, на велодрума и на бобслейната писта завоят е наклонен: външният му край е по-високо от вътрешния. Реакцията на опората стои перпендикулярно на пътя, така че вече не сочи вертикално нагоре, а косо към центъра на завоя.

Силата на тежестта и реакцията на опората тогава не се уравновесяват и част от задачата, която на прав път изпълнява триенето, поема реакцията на опората. При подходяща скорост равнодействащата им сочи точно хоризонтално към центъра и осигурява цялата центростремителна сила, така че колата би минала през завоя и без триене, например върху лед. На фигурата двете сили са начертани от обща точка, за да може сборът им да се построи с успоредник. Колкото по-стръмно е наклонен завоят, толкова по-бързо може да се мине през него. Колоездачите на велодрума затова карат в завоите, наклонени като покрив.

Какво държи Луната

Луната обикаля около Земята на разстояние около 3,84 · 10⁸ m и един оборот ѝ отнема 27,3 дни, тоест около 2,36 · 10⁶ s. Скоростта ѝ е

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Луната има маса около 7,35 · 10²² kg. Центростремителната сила, с която Земята трябва да я държи, излиза

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ц}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Никое въже не би издържало такава сила. Луната обаче не се нуждае от въже, ролята му поема гравитацията. Ако Земята престанеше да привлича Луната, тя би отлетяла по допирателната точно като камъка на Симеон.

Калкулатор на най-голямата скорост в завой

Въведи радиуса на завоя и избери повърхността. Калкулаторът пресмята най-голямата скорост $v_{max}=\sqrt{k\cdot g\cdot r}$ на хоризонтален път.

Досега описвахме всичко от пътя, откъдето се вижда, че колата и камъкът са принуждавани да завиват само от сила към центъра. Пътникът в колата обаче го преживява иначе: притиска се към вратата и от негова гледна точка изглежда, като че ли нещо го бутва към нея. Как може да се опише движението от гледна точка на някого, който се вози с колата, ще покажат инерчните сили.

Как пътникът в колата преживява завоя и защо му се струва, че нещо го бута навън, обяснява следващата статия, Инерчни сили.