Merkezcil Kuvvet

Selim başının üzerinde ipe bağlı bir taşı çeviriyor. Taş dönüyor, ip geriliyor ve Selim elinde taşın kendisini çektiğini hissediyor. İpi bıraktığı anda ise taş fırlayıp gidiyor. Dönmek yani bedavaya gelmez: bir cismin çember üzerinde dönmesini isteyen, onu merkeze doğru bakan bir kuvvetle buna zorlamak zorundadır. Bu kuvvete merkezcil kuvvet denir.

Yalnızca formülü arıyorsan: m kütleli ve r yarıçaplı çember üzerinde v süratiyle dönen cisme şu merkezcil kuvvet etki etmelidir:

$$F_M=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

burada ω açısal hızdır.

Hızı Döndüren Kuvvet

Düzgün çembersel harekette hızın büyüklüğü aynı kalır, ama hız oku durmadan döner. Cismin bu yüzden çemberin merkezine bakan ve büyüklüğü şu olan merkezcil ivmesi vardır:

$$a_M=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Newton’ın ikinci hareket yasasına göre her ivme bir bileşke kuvvetten doğar, F = m · a, ve bileşke kuvvet ivmenin baktığı yöne bakar. Çember üzerindeki cisme bu yüzden merkeze doğru bir bileşke kuvvet etki etmelidir. İvmeyi merkezcil ivmeyle değiştiririz:

$$F_M=m\cdot a_M=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

İvmenin ikinci biçimini yerine koyarsak F_M = m · ω² · r çıkar. Yeni bir şey icat etmedik, bu, dönme hareketine uygulanan dinamiğin temel prensibinden başka bir şey değildir. Birimler uyuyor:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Formüle göre cismin kütlesi ne kadar büyükse, ne kadar hızlı gidiyorsa ve viraj ne kadar keskinse dönmek o kadar zordur. Sürat ise formüle karesiyle girer, yani sürat iki katına çıkarsa dört kat daha büyük kuvvet gerekir.

Merkezcil Kuvvet Yeni Bir Kuvvet Değildir

Burada sık hata yapılır. Merkezcil kuvvet, ağırlığın, sürtünme kuvvetinin ya da ipin kuvvetinin yanında duran başka bir kuvvet türü değildir. Belli bir durumda tamamen sıradan bir gerçek kuvvetin ya da birkaç kuvvetin bileşkesinin oynadığı roldür:

• taşı çember üzerinde gergin ipin kuvveti tutar,
• virajdaki arabayı lastiklerle yol arasındaki sürtünme döndürür,
• Ay, Dünya’nın uyguladığı kütle çekimi sayesinde Dünya’nın çevresinde döner.

Cisme etki eden kuvvetleri çizerken yalnızca gerçek olanları çiz. İpin yanına fazladan eklenen “merkezcil kuvvet” yazılı bir ok hatadır, çünkü ipin kuvveti şekilde iki kere olurdu. $F_M=\frac{m\cdot v^2}{r}$ formülü kuvvetin nereden geldiğini söylemez. Yalnızca cismin gerçekten çember üzerinde dönmesi için merkeze bakan bileşkenin ne kadar büyük olması gerektiğini söyler. Bazen tek bir kuvvet yeter, bazen birkaç kuvvet birlikte katkıda bulunur, eğimli virajda göreceğimiz gibi.

İpteki Taş

Selim’in taşının kütlesi 0,2 kg, ip 1 m uzunluğunda ve taş bir saniyede çemberi iki kez dolaşıyor, yani periyot 0,5 s. İp taşı ne kadar güçlü çekmelidir?

Açısal hız, periyot başına bir tur, yani 2π radyandır:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Formülün ikinci biçimine yerine koyarız. Radyan yalın bir sayıdır ve bu yüzden sonuç newton cinsinden çıkar:

$$\begin{array}{rl}{F}_M& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

İp taşı yaklaşık 32 N kuvvetle çeker, sanki ipten üç kilogramlık bir çanta sarkıyormuş gibi. Selim taşı iki kat hızlı çevirseydi ip dört kat fazlasına dayanmak zorunda kalırdı, yaklaşık 126 N. Taşın ağırlığı yalnızca yaklaşık 2 N ve bu yüzden onu ihmal ettik. Newton’ın üçüncü hareket yasasına göre taş da ipi aynı büyüklükte bir kuvvetle geri çeker ve ip bunu Selim’in eline kadar iletir. Selim’in hissettiği tam olarak bu çekmedir.

İp Kopunca

İp koptuğu anda ne olur? Cevabı animasyon gösteriyor. İp tuttuğu sürece taşı yeşil kuvvetle merkeze çeker ve kırmızı hız oku döner. İp koptuğu anda kuvvet ortadan kalkar. Yatay doğrultuda taşa artık hiçbir şey etki etmez, bu yüzden eylemsizlik prensibine göre taş düz gider, aynı süratle ve ipin koptuğu anda hızının baktığı yöne. Yani çembere teğet boyunca.

Yani taş, sanıldığı gibi merkezden çıkan bir doğru boyunca “dışarı” fırlamaz. Onu dışarı çeken hiçbir şey yok, yalnızca dönmeyi bıraktı. Sapan bundan yararlanır: taş, hızı tam hedefe baktığı anda bırakılır. Selim’in taşı ω · r ≈ 12,6 m/s süratle, yani yaklaşık 45 km/h ile fırlar ve komşunun camı tehlikededir.

Virajdaki Araba

1.200 kg kütleli araba 54 km/h süratle 50 m yarıçaplı bir virajdan geçiyor. Sürati çeviririz, 54 km/h = 15 m/s, ve yerine koyarız:

$$F_M=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

Bu 5.400 N nereden gelir? Yolda ip yok. Arabayı döndüren yalnızca lastiklerle asfalt arasındaki, virajın merkezine bakan sürtünmedir.

Lastik bu sırada yolda yana kaymaz. Asfalta değdiği yer o anda yola göre hareket etmez ve bu yüzden statik sürtünmedir. Tam gerektiği kadar büyüktür, burada 5.400 N, ama yalnızca üst sınırına kadar.

Her yol buna yeter mi? Kinetik sürtünme katsayılarıyla hesaplayacağız. Lastiklerin statik sürtünmesi biraz daha büyük olur, yani sonuçlar temkinli bir tahmindir. Kuru asfaltta lastik için katsayı yaklaşık 0,7, ıslakta 0,5, karda 0,3 ve buzda 0,1’dir. Arabanın ağırlığı 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N ve yatay yolda normal kuvvet de aynı büyüklüktedir. Sürtünmenin 5.400 N sağlaması gerekir, yani sürtünme katsayısı en az $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$ olmalıdır. Kuru asfalt bunu rahatça başarır, ıslakta ancak ucu ucuna yeter. Karda sürtünme en çok 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N verirdi ve araba virajı alamazdı.

Viraj Ne Kadar Hızlı Alınabilir

Yatay yolda normal kuvvet ağırlığı dengeler, N = m · g, ve en büyük sürtünme kuvveti k · m · g’dir. Araba, sürtünme yettiği sürece virajı alır:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le k\cdot m\cdot g$$

En büyük sürat, eşitliğin gerçekleştiği sürattir. Kütle sadeleşir, iki tarafı yarıçapla çarpar ve karekök alırız:

$$v_{max}=\sqrt{k\cdot g\cdot r}$$

Kuru asfaltta k = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Kuruda araba virajı en çok yaklaşık 67 km/h ile alır ve bizim 54 km/h’lik süratimizle de payı kalarak geçer. Buzda k = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Aynı viraja buzlanmış yolda bir bisikletlinin süratinden yalnızca biraz daha hızlı girilebilir. Kütle sadeleştiği için bu, aynı lastiklere sahip küçük bir araba için de yüklü bir kamyon için de aynı şekilde geçerlidir. Kütlesi büyük araba daha büyük kuvvete ihtiyaç duyar, ama yola da daha çok bastırır ve bu yüzden sürtünmesi de daha büyüktür.

Araba viraja daha hızlı girerse ne olur? Sürtünme üst sınırına ulaşır ve fazlasını veremez. Merkeze doğru kuvvet, 50 m yarıçaplı çemberin gerektirdiğinden küçük kalır ve araba daha az döner. Daha yumuşak bir yay çizer, uç durumda teğet boyunca neredeyse düz gider ve viraj tekerleklerin altından kayıp gider. Yol kenarındaki gözlemciye arabanın “dışarı savrulduğu” gibi görünür. Gerçekte onu dışarı iten bir şey yoktu, sürtünme onu yeterince döndürememişti.

Formül tersine de kullanılabilir. Otoyolda 130 km/h, yani yaklaşık 36,1 m/s ile geçebilmek için virajın ne kadar geniş olması gerekir? v² = k · g · r denklemini k · g çarpımına böleriz:

$$r=\frac{v^2}{k\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Islakta 0,5 katsayısıyla yaklaşık 266 m gerekir ve bu da hâlâ hiçbir pay bırakmaz. Otoyol virajlarının yarıçapı bu yüzden birkaç yüz metredir ve ayrıca eğimli yapılırlar.

Eğimli Viraj

Otoyol rampalarında, velodromda ve bob pistinde viraj eğimlidir: dış kenar iç kenardan yüksektir. Normal kuvvet yola dik durur, yani artık düşey yukarı değil, virajın merkezine doğru eğik bakar.

Ağırlık ve normal kuvvet o zaman birbirini yok etmez ve düz yolda sürtünmenin üstlendiği görevin bir kısmını normal kuvvet alır. Uygun sürat için bileşkeleri tam yatay olarak merkeze bakar ve merkezcil kuvvetin tamamını sağlar, yani araba virajı sürtünme olmadan da, örneğin buzda, alırdı. Şekilde iki kuvvet ortak bir noktadan çizilmiştir, toplamları paralelkenarla çizilebilsin diye. Viraj ne kadar dik eğimliyse içinden o kadar hızlı geçilebilir. Bu yüzden velodromdaki bisikletçiler virajlarda çatı gibi eğimli bir pistte gider.

Ay’ı Tutan Nedir

Ay, Dünya’nın çevresinde yaklaşık 3,84 · 10⁸ m uzaklıkta döner ve bir tur 27,3 gün, yani yaklaşık 2,36 · 10⁶ s sürer. Sürati

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Ay’ın kütlesi yaklaşık 7,35 · 10²² kg. Dünya’nın onu tutmak için sağlaması gereken merkezcil kuvvet şöyle çıkar:

$$\begin{array}{rl}{F}_M& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Hiçbir halat böyle bir kuvvete dayanamazdı. Ay’ın halata ihtiyacı yok, görevini kütle çekimi üstlenir. Dünya Ay’ı çekmeyi bıraksaydı, Ay Selim’in taşı gibi teğet boyunca fırlayıp giderdi.

Virajdaki En Büyük Sürat Hesap Makinesi

Virajın yarıçapını gir ve yüzeyi seç. Hesap makinesi yatay yolda en büyük sürati $v_{max}=\sqrt{k\cdot g\cdot r}$ hesaplar.

Şimdiye kadar her şeyi yoldan anlattık, oradan bakınca arabayı da taşı da yalnızca merkeze bakan bir kuvvetin döndürdüğü görülür. Arabadaki yolcu ise bunu başka türlü yaşar: kapıya yaslanır ve ona sanki bir şey onu oraya itiyormuş gibi gelir. Hareketi arabayla birlikte giden birinin gözünden nasıl anlatabileceğimizi eylemsizlik kuvvetleri gösterecek.

Yolcunun arabanın içinde virajı nasıl yaşadığını ve neden bir şeyin onu dışarı ittiğini sandığını bir sonraki makale, Eylemsizlik Kuvvetleri, açıklıyor.