Centripetalkraft

Lucas svinger en sten i en snor rundt over hovedet. Stenen kredser, snoren strammes, og Lucas mærker i hånden, hvordan stenen trækker i den. Men så snart han slipper snoren, flyver stenen af sted. At dreje er simpelthen ikke gratis: Den, der vil have et legeme til at bevæge sig i en cirkel, må tvinge det med en kraft, som peger mod centrum. Den kaldes centripetalkraft.

Hvis du kun leder efter formlen: På et legeme med massen m, der bevæger sig med farten v på en cirkel med radius r, skal der virke centripetalkraften

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

hvor ω er vinkelhastigheden.

Kraften, der drejer hastigheden

Ved jævn cirkelbevægelse forbliver farten den samme, men hastighedspilen drejer hele tiden. Legemet har derfor centripetalacceleration, som peger mod cirklens centrum og har størrelsen

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Ifølge Newtons 2. lov opstår hver acceleration af en resulterende kraft, F = m · a, og den resulterende kraft peger derhen, hvor accelerationen peger. På et legeme på en cirkel må der altså virke en resulterende kraft mod centrum. Accelerationen erstatter vi med centripetalaccelerationen:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Hvis vi indsætter den anden form for accelerationen, får vi F_c = m · ω² · r. Vi har ikke opfundet noget nyt, det er den helt almindelige kraftlov anvendt på drejning. Enhederne stemmer:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Ifølge formlen er det sværere at dreje, jo større masse legemet har, jo hurtigere det bevæger sig, og jo skarpere svinget er. Farten indgår i anden potens, så ved dobbelt så stor fart kræves der en fire gange så stor kraft.

Centripetalkraft er ikke en ny kraft

Her laves der ofte fejl. Centripetalkraften er ikke endnu en slags kraft, der står ved siden af tyngdekraften, gnidningen eller snorkraften. Det er en rolle, som en helt almindelig virkelig kraft spiller i den givne situation, eventuelt den resulterende kraft af flere kræfter:

• stenen på cirklen holdes af kraften fra den strammede snor,
• bilen i svinget drejes af gnidningen mellem dækkene og vejen,
• Månen kredser om Jorden på grund af den gravitation, hvormed Jorden tiltrækker den.

Når du tegner de kræfter, der virker på et legeme, så tegn kun de virkelige. En pil med påskriften »centripetalkraft«, der er tegnet ekstra ved siden af snoren, er en fejl, for så ville snorkraften være med to gange på tegningen. Formlen $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ siger ikke, hvor kraften kommer fra. Den siger kun, hvor stor den resulterende kraft mod centrum skal være, for at legemet virkelig kan bevæge sig på en cirkel. Nogle gange er én kraft nok, andre gange bidrager flere kræfter på én gang, som vi skal se i det vinklede sving.

Sten i en snor

Lucas' sten har massen 0,2 kg, snoren er 1 m lang, og stenen gennemløber cirklen to gange i sekundet, omløbstiden er altså 0,5 s. Hvor kraftigt skal snoren trække i stenen?

Vinkelhastigheden er én omdrejning, 2π radianer, pr. omløbstid:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Vi indsætter i den anden form for formlen. Radian er et rent tal, og derfor kommer resultatet i newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Snoren trækker i stenen med en kraft på cirka 32 N, som om der hang en pose på tre kilo i den. Hvis Lucas svingede stenen dobbelt så hurtigt, skulle snoren kunne holde til fire gange så meget, cirka 126 N. Stenens tyngdekraft er kun cirka 2 N, og derfor har vi set bort fra den. Ifølge Newtons 3. lov trækker stenen i snoren med en lige så stor kraft tilbage, og snoren overfører den helt ind i Lucas' hånd. Det er netop det træk, Lucas mærker.

Når snoren springer

Hvad sker der, så snart snoren springer? Svaret viser animationen. Så længe snoren holder, trækker den stenen med den grønne kraft mod centrum, og den røde hastighedspil drejer. I det øjeblik snoren springer, forsvinder kraften. I vandret retning virker der ikke længere noget på stenen, så ifølge inertiens lov flyver den ligeud, lige hurtigt og derhen, hvor dens hastighed pegede i det øjeblik, snoren sprang. Det er langs tangenten til cirklen.

Stenen flyver altså ikke »udad« i en ret linje fra centrum, som det kunne se ud til. Intet trækker den udad, den holdt bare op med at dreje. Det udnytter en slynge: Stenen slippes præcis i det øjeblik, hvor dens hastighed peger mod målet. Lucas' sten forlader hånden med farten ω · r ≈ 12,6 m/s, altså cirka 45 km/h, så naboens rude er i fare.

Bil i et sving

En bil med massen 1200 kg kører med farten 54 km/h gennem et sving med radius 50 m. Vi omregner farten, 54 km/h = 15 m/s, og indsætter:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Hvor kommer de 5400 N fra? På vejen er der ingen snor. Bilen tvinges til at dreje alene af gnidningen mellem dækkene og asfalten, som peger mod svingets centrum.

Dækket glider ikke sidelæns hen over vejen. Stedet, hvor det rører asfalten, bevæger sig i det øjeblik ikke i forhold til vejen, og der er derfor tale om statisk gnidning. Den er præcis så stor, som der er brug for, her 5400 N, men kun op til sit maksimum.

Er en hvilken som helst vej nok til det? Vi regner med de dynamiske gnidningskoefficienter. Dækkenes statiske gnidning er som regel lidt større, så resultaterne er et forsigtigt skøn. For gummi på tør asfalt er koefficienten cirka 0,7, på våd 0,5, på sne 0,3 og på is 0,1. Bilens tyngdekraft er 1200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N, og lige så stor er normalkraften på en vandret vej. Gnidningen skal levere 5400 N, så gnidningskoefficienten skal være mindst $\frac{5400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Tør asfalt klarer det med god margin, på våd går det kun lige akkurat. På sne ville gnidningen højst give 0,3 · 11.772 N ≈ 3500 N, og bilen ville ikke komme rundt i svinget.

Hvor hurtigt man kan køre gennem et sving

På en vandret vej udligner normalkraften tyngdekraften, F_N = m · g, og den største gnidningskraft er μ · m · g. Bilen kommer rundt i svinget, så længe gnidningen rækker:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Den største fart er den, hvor der gælder lighed. Massen forkortes væk, vi ganger begge sider med radius og tager kvadratroden:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

På tør asfalt er μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

På tørt føre kan bilen altså højst køre gennem svinget med cirka 67 km/h, og vores 54 km/h klarer den med margin. På is er μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Ind i det samme sving kan man på isslag kun køre en smule hurtigere, end en cyklist kører. Fordi massen forkortes væk, gælder det lige så meget for en lille bil som for en læsset lastbil med de samme dæk. En bil med større masse har rigtignok brug for en større kraft, men den trykker også vejen hårdere ned og har dermed også større gnidning.

Hvad hvis bilen kører ind i svinget hurtigere? Gnidningen når sit maksimum og kan ikke give mere. Kraften mod centrum er mindre, end en cirkel med radius 50 m kræver, så bilen drejer mindre. Den følger en blidere bue, i grænsetilfældet næsten ligeud langs tangenten, og svinget viger under hjulene. For en iagttager ved vejen ser det ud, som om bilen blev »båret udad«. I virkeligheden pressede intet den udad, gnidningen kunne bare ikke dreje den nok.

Formlen kan også bruges omvendt. Hvor stor en radius skal et sving på en motorvej have, for at man kan køre igennem det med 130 km/h, altså cirka 36,1 m/s? Ligningen v² = μ · g · r deler vi med produktet μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

På vådt føre med koefficienten 0,5 skal der allerede bruges cirka 266 m, og selv det er uden nogen margin. Motorvejssving har derfor ofte en radius på mange hundrede meter og er desuden vinklede.

Vinklede sving

På motorvejstilkørsler, på velodromen og på bobslædebanen er svinget skråt: Den ydre kant ligger højere end den indre. Normalkraften står vinkelret på vejen, så den peger ikke længere lodret opad, men på skrå mod svingets centrum.

Tyngdekraften og normalkraften udligner så ikke hinanden, og en del af den opgave, som gnidningen løser på en vandret vej, overtager normalkraften. Ved en passende fart peger deres resulterende kraft præcis vandret mod centrum og sørger for hele centripetalkraften, så bilen ville komme rundt i svinget selv uden gnidning, for eksempel på is. På tegningen er begge kræfter tegnet fra et fælles punkt, så man kan konstruere deres sum med et parallelogram. Jo stejlere svinget hælder, desto hurtigere kan man køre gennem det. Cyklister på velodromen kører derfor i sving, der hælder som et tag.

Hvad holder Månen

Månen kredser om Jorden i en afstand af cirka 3,84 · 10⁸ m, og et omløb tager den 27,3 døgn, altså cirka 2,36 · 10⁶ s. Dens fart er

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Månen har massen cirka 7,35 · 10²² kg. Den centripetalkraft, som Jorden skal holde den med, bliver

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Intet tov kunne holde til sådan en kraft. Men Månen behøver ikke noget tov, dens rolle overtager gravitationen. Hvis Jorden holdt op med at tiltrække Månen, ville den flyve af sted langs tangenten, ligesom Lucas' sten.

Beregner til den største fart i et sving

Indtast svingets radius og vælg underlag. Beregneren udregner den største fart $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ på en vandret vej.

Hidtil har vi beskrevet alt fra vejen, hvorfra man kan se, at både bilen og stenen kun tvinges til at dreje af en kraft mod centrum. Men passageren i bilen oplever det anderledes: Han trykkes mod døren, og fra hans synspunkt ser det ud, som om noget skubbede ham derhen. Hvordan bevægelsen kan beskrives fra synspunktet af en, der kører med i bilen, viser de fiktive kræfter.

Hvordan passageren inde i bilen oplever svinget, og hvorfor det forekommer ham, at noget skubber ham udad, forklarer den næste artikel, Fiktive kræfter.