Доцентрова сила

Семен розкручує над головою камінь на мотузці. Камінь кружляє, мотузка напинається, і Семен відчуває в руці, як камінь тягне за неї. Але щойно він відпускає мотузку, камінь відлітає геть. Поворот просто так не дається: щоб тіло рухалося по колу, його треба змушувати до цього силою, напрямленою до центра. Її називають доцентровою силою.

Якщо тобі потрібна лише формула: на тіло масою m, яке рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має діяти доцентрова сила

$$F_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

де ω — кутова швидкість.

Сила, що повертає швидкість

Під час рівномірного руху по колу модуль швидкості не змінюється, але стрілка швидкості постійно повертається. Тому тіло має доцентрове прискорення, яке напрямлене до центра кола і має модуль

$$a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

За другим законом Ньютона кожне прискорення виникає від рівнодійної сили, F = m · a, і рівнодійна напрямлена туди, куди й прискорення. Отже, на тіло, що рухається по колу, має діяти рівнодійна, напрямлена до центра. Прискорення замінимо доцентровим прискоренням:

$$F_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=m\cdot a_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Якщо підставити другий вигляд прискорення, вийде F_дц = m · ω² · r. Ніякої новини ми не вигадали, це звичайний другий закон Ньютона, застосований до руху по колу. Одиниці сходяться:

$$\frac{\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{\mathrm{м}}={\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2=\mathrm{Н}$$

Згідно з формулою, повернути тим складніше, чим більша маса тіла, чим швидше воно їде і чим різкіший поворот. Швидкість при цьому підноситься до квадрата, тож за вдвічі більшої швидкості потрібна вчетверо більша сила.

Доцентрова сила — не нова сила

Тут часто помиляються. Доцентрова сила — не ще один вид сили, який стоїть поруч із силою тяжіння, силою тертя чи силою натягу мотузки. Це роль, яку в цій ситуації виконує якась цілком звичайна справжня сила або рівнодійна кількох сил:

• камінь на колі тримає сила натягнутої мотузки,
• автомобіль на повороті повертає тертя між шинами та дорогою,
• Місяць обертається навколо Землі завдяки гравітації, якою його притягує Земля.

Коли малюєш сили, що діють на тіло, малюй лише справжні. Стрілка з написом «доцентрова сила», додана ще й поруч із мотузкою, — помилка, бо сила мотузки була б на рисунку двічі. Формула $F_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ не каже, звідки сила береться. Вона лише показує, якою великою має бути рівнодійна, напрямлена до центра, щоб тіло справді рухалося по колу. Іноді вистачає однієї сили, іноді в цьому бере участь одразу кілька сил, як побачимо на віражі.

Камінь на мотузці

Семенів камінь має масу 0,2 кг, мотузка завдовжки 1 м, а за секунду камінь обходить коло двічі, тобто період становить 0,5 с. З якою силою має тягнути мотузка камінь?

Кутова швидкість — це один оберт, 2π радіанів, за період:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{с}}=4\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}\approx 12,6\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}$$

Підставимо в другий вигляд формули. Радіан — це просто число, тому результат вийде в ньютонах:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (4\pi \mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{д}/\mathrm{с}{)}^2\cdot 1\mathrm{м}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{Н}\approx 31,6\mathrm{Н}\end{array}$$

Мотузка тягне камінь із силою приблизно 32 Н, ніби на ній висить торбина на три кілограми. Якби Семен розкрутив камінь удвічі швидше, мотузка мала б витримати вчетверо більше, приблизно 126 Н. Сила тяжіння каменя лише близько 2 Н, тому ми нею знехтували. За третім законом Ньютона камінь тягне мотузку назад із такою самою силою, а мотузка передає її аж до Семенової руки. Саме цей натяг Семен і відчуває.

Коли мотузка рветься

Що станеться, щойно мотузка розірветься? Відповідь показує анімація. Поки мотузка тримає, вона тягне камінь зеленою силою до центра, а червона стрілка швидкості повертається. У мить, коли мотузка рветься, сила зникає. У горизонтальному напрямку на камінь більше нічого не діє, тож за законом інерції він летить прямо, з такою самою швидкістю і туди, куди була напрямлена його швидкість у мить розриву. Тобто по дотичній до кола.

Отже, камінь не відлітає «назовні» по прямій від центра, як може здатися. Ніщо не тягне його назовні, він просто перестав повертати. Цим користується праща: камінь відпускають саме тоді, коли його швидкість напрямлена на ціль. Семенів камінь вилітає зі швидкістю ω · r ≈ 12,6 м/с, тобто приблизно 45 км/год, тож вікно сусідів у небезпеці.

Автомобіль на повороті

Автомобіль масою 1 200 кг проїжджає зі швидкістю 54 км/год поворот радіуса 50 м. Переведемо швидкість, 54 км/год = 15 м/с, і підставимо:

$$F_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (15\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{50\mathrm{м}}=5400\mathrm{Н}$$

Звідки беруться ці 5 400 Н? На дорозі жодної мотузки немає. Автомобіль змушує повертати лише тертя між шинами та асфальтом, напрямлене до центра повороту.

Шина при цьому не ковзає по дорозі вбік. Місце, яким вона торкається асфальту, у цю мить відносно дороги не рухається, а тому це тертя спокою. Воно рівно таке, яке потрібно, тут 5 400 Н, але лише до свого максимуму.

Чи вистачить для цього будь-якої дороги? Рахуватимемо з коефіцієнтами тертя ковзання зі статті Тертя. Тертя спокою шин буває дещо більшим, тож результати — обережна оцінка. Для гуми по сухому асфальту коефіцієнт приблизно 0,7, по мокрому 0,5, по снігу 0,3 і по льоду 0,1. Сила тяжіння автомобіля дорівнює 1 200 кг · 9,81 м/с² = 11 772 Н, і така сама на горизонтальній дорозі сила реакції опори. Тертя має дати 5 400 Н, тож коефіцієнт тертя має бути щонайменше $\frac{5400\mathrm{Н}}{11772\mathrm{Н}}\approx 0,46$. Сухий асфальт із цим легко впорається, на мокрому вийде ледве-ледве. На снігу тертя дало б щонайбільше 0,3 · 11 772 Н ≈ 3 500 Н, і автомобіль не вписався б у поворот.

З якою швидкістю можна проїхати поворот

На горизонтальній дорозі сила реакції опори зрівноважує силу тяжіння, N = m · g, а найбільша сила тертя дорівнює μ · m · g. Автомобіль проїде поворот, доки тертя вистачає:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Найбільша швидкість — та, за якої настає рівність. Маса скорочується, обидві частини множимо на радіус і добуваємо корінь:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

На сухому асфальті μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 50\mathrm{м}}\\ & \approx 18,5\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 67\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Отже, на сухій дорозі автомобіль проїде поворот щонайбільше приблизно зі швидкістю 67 км/год, а наші 54 км/год подужає із запасом. На льоду μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 50\mathrm{м}}\\ & \approx 7\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 25\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

У той самий поворот на ожеледиці можна в'їхати лише трохи швидше, ніж їде велосипедист. Оскільки маса скоротилася, це однаково стосується і малого автомобіля, і навантаженої вантажівки з однаковими шинами. Автомобіль із більшою масою потребує більшої сили, але й сильніше притискає дорогу, тож має й більше тертя.

А що, як автомобіль в'їде в поворот швидше? Тертя досягне максимуму й більше не дасть. Сила до центра буде меншою, ніж потребувало б коло радіуса 50 м, тож автомобіль повертатиме менше. Він їхатиме по пологішій дузі, у крайньому разі майже прямо по дотичній, і поворот піде йому з-під коліс. Спостерігачеві біля дороги здається, що автомобіль «винесло назовні». Насправді ніщо його назовні не штовхало, тертя просто не змогло його досить повернути.

Формулу можна використати й навпаки. Який широкий поворот потрібен автостраді, щоб його можна було проїхати зі швидкістю 130 км/год, тобто приблизно 36,1 м/с? Рівняння v² = μ · g · r поділимо на добуток μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 190\mathrm{м}$$

На мокрій дорозі з коефіцієнтом 0,5 уже потрібно приблизно 266 м, і навіть це все ще без жодного запасу. Тому повороти на автострадах мають радіус у багато сотень метрів і до того ж їх роблять з віражем.

Віражі

На з'їздах з автостради, на велотреку й на бобслейній трасі поворот нахилений: зовнішній край розташований вище за внутрішній. Сила реакції опори перпендикулярна до дороги, тож вона вже напрямлена не вертикально вгору, а навскіс до центра повороту.

Сила тяжіння і сила реакції опори тоді не зрівноважуються, а частину завдання, яку на рівній дорозі виконує тертя, бере на себе сила реакції опори. За відповідної швидкості їхня рівнодійна напрямлена точно горизонтально до центра й забезпечує всю доцентрову силу, тож автомобіль проїхав би поворот і без тертя, скажімо, на льоду. На рисунку обидві сили намальовано з однієї точки, щоб їхню суму можна було побудувати паралелограмом. Чим крутіше нахилений поворот, тим швидше можна його проїхати. Тому велосипедисти на велотреку їдуть на поворотах, нахилених, мов дах.

Що тримає Місяць

Місяць обертається навколо Землі на відстані приблизно 3,84 · 10⁸ м, і один оберт триває 27,3 доби, тобто приблизно 2,36 · 10⁶ с. Його швидкість дорівнює

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{м}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{с}}\approx 1020\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Маса Місяця приблизно 7,35 · 10²² кг. Доцентрова сила, з якою його має тримати Земля, виходить

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (1020\mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{м}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{Н}\end{array}$$

Жоден канат такої сили не витримав би. Але Місяцю канат не потрібен, його роль бере на себе гравітація. Якби Земля перестала притягувати Місяць, він полетів би по дотичній, так само як Семенів камінь.

Калькулятор найбільшої швидкості на повороті

Введи радіус повороту й вибери поверхню. Калькулятор обчислить найбільшу швидкість $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ на горизонтальній дорозі.

Усе досі ми описували з дороги, звідки видно, що і автомобіль, і камінь змушує повертати лише сила, напрямлена до центра. Але пасажир в автомобілі переживає це інакше: його притискає до дверей, і з його погляду здається, ніби щось штовхає його до них. Як описати рух з погляду того, хто їде в автомобілі, покажуть сили інерції.

Як поворот переживає пасажир усередині автомобіля і чому йому здається, ніби щось тисне його назовні, пояснює наступна стаття, Сили інерції.