Centripetalkraft

Liam svingar en sten i ett snöre över huvudet. Stenen kretsar, snöret spänns och Liam känner i handen hur stenen drar i det. Så fort han släpper snöret flyger stenen i väg. Att svänga kostar helt enkelt något: den som vill att en kropp ska röra sig längs en cirkel måste tvinga den med en kraft som pekar mot medelpunkten. Den kallas centripetalkraft.

Om du bara letar efter formeln: på en kropp med massan m som rör sig med hastigheten v längs en cirkel med radien r måste det verka en centripetalkraft

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

där ω är vinkelhastigheten.

Kraften som vrider hastigheten

Vid likformig cirkelrörelse är hastighetens storlek hela tiden densamma, men hastighetspilen vrids hela tiden. Kroppen har därför en centripetalacceleration som pekar mot cirkelns medelpunkt och har storleken

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Enligt Newtons andra lag uppstår varje acceleration av en resulterande kraft, F = m · a, och den resulterande kraften pekar åt samma håll som accelerationen. På en kropp på en cirkel måste alltså en resultant mot medelpunkten verka. Vi sätter in centripetalaccelerationen:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Om vi sätter in den andra formen av accelerationen får vi F_c = m · ω² · r. Vi har inte hittat på något nytt, det är den vanliga kraftlagen tillämpad på svängande. Enheterna stämmer:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Enligt formeln är det svårare att svänga ju större massa kroppen har, ju fortare den rör sig och ju snävare kurvan är. Hastigheten ingår dessutom i kvadrat, så vid dubbel hastighet krävs en fyra gånger så stor kraft.

Centripetalkraft är ingen ny kraft

Här görs ofta ett fel. Centripetalkraften är inte ännu en sorts kraft som skulle stå bredvid tyngdkraften, friktionskraften eller snörets kraft. Den är en roll som någon alldeles vanlig verklig kraft, eller resultanten av flera krafter, spelar i den aktuella situationen:

• stenen på cirkeln hålls kvar av kraften från det spända snöret,
• bilen i kurvan vrids av friktionen mellan däcken och vägen,
• månen går runt jorden tack vare gravitationen, som jorden drar den till sig med.

När du ritar krafterna som verkar på en kropp ska du bara rita de verkliga. En pil med texten ”centripetalkraft” som läggs till bredvid snöret är ett fel, eftersom snörets kraft då skulle finnas två gånger i figuren. Formeln $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ säger inte varifrån kraften kommer. Den säger bara hur stor resultanten mot medelpunkten måste vara för att kroppen verkligen ska röra sig längs cirkeln. Ibland räcker en enda kraft, ibland medverkar flera krafter samtidigt, som vi ska se i den doserade kurvan.

Sten i ett snöre

Liams sten har massan 0,2 kg, snöret är 1 m långt och stenen går runt cirkeln två varv per sekund, så periodtiden är 0,5 s. Hur hårt måste snöret dra i stenen?

Vinkelhastigheten är ett varv, 2π radianer, per period:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Vi sätter in i den andra formen av formeln. Radianen är ett rent tal, och därför blir resultatet i newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Snöret drar i stenen med ungefär 32 N, som om en kasse på tre kilo hängde i det. Om Liam svingade stenen dubbelt så fort skulle snöret behöva tåla fyra gånger så mycket, ungefär 126 N. Stenens tyngdkraft är bara ungefär 2 N, och därför har vi försummat den. Enligt Newtons tredje lag drar stenen lika hårt tillbaka i snöret, och snöret för kraften vidare ända till Liams hand. Det är just det draget Liam känner.

När snöret går av

Vad händer när snöret går av? Svaret visar animationen. Så länge snöret håller drar det stenen mot medelpunkten med den gröna kraften, och den röda hastighetspilen vrids. I samma ögonblick som snöret går av försvinner kraften. I vågrät led verkar inget mer på stenen, så enligt tröghetslagen flyger den rakt fram, med samma fart och åt det håll som hastigheten pekade i ögonblicket då snöret gick av. Det är längs tangenten till cirkeln.

Stenen flyger alltså inte ”utåt” längs en rät linje från medelpunkten, som det kunde verka. Inget drar den utåt, den har bara slutat svänga. Det utnyttjar slungan: stenen släpps precis när dess hastighet pekar mot målet. Liams sten far i väg med hastigheten ω · r ≈ 12,6 m/s, alltså ungefär 45 km/h, så grannens fönster är i fara.

Bil i en kurva

En bil med massan 1200 kg kör med hastigheten 54 km/h genom en kurva med radien 50 m. Vi räknar om hastigheten, 54 km/h = 15 m/s, och sätter in:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Varifrån kommer de 5400 N? På vägen finns inget snöre. Det som tvingar bilen att svänga är bara friktionen mellan däcken och asfalten, som pekar mot kurvans medelpunkt.

Däcket glider inte i sidled över vägen. Stället där det rör vid asfalten rör sig inte i förhållande till vägen i det ögonblicket, och därför är det vilofriktion. Den är precis så stor som behövs, här 5400 N, men bara upp till sitt maximum.

Räcker en vilken väg som helst? Vi räknar med glidfriktionstalen från artikeln om friktion. Däckens vilofriktion brukar vara något större, så resultaten är en försiktig uppskattning. För gummi mot torr asfalt är friktionstalet ungefär 0,7, mot våt 0,5, mot snö 0,3 och mot is 0,1. Bilens tyngdkraft är 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N, och på en vågrät väg är normalkraften lika stor. Friktionen måste ge 5400 N, så friktionstalet måste vara minst $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Torr asfalt klarar det med god marginal, på våt väg går det precis. På snö skulle friktionen ge högst 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N, och bilen skulle inte klara kurvan.

Hur fort kan man ta kurvan

På en vågrät väg tar normalkraften ut tyngdkraften, F_N = m · g, och den största friktionskraften är μ · m · g. Bilen klarar kurvan så länge friktionen räcker till:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Den högsta hastigheten är den där det blir likhet. Massan förkortas bort, vi multiplicerar båda sidorna med radien och drar roten ur:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

På torr asfalt är μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

På torr väg kan bilen alltså ta kurvan i högst ungefär 67 km/h, och våra 54 km/h klarar den med marginal. På is är μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

I samma kurva på isig väg kan man köra bara något fortare än en cyklist. Eftersom massan förkortades bort gäller det lika för en liten bil och för en lastad lastbil med samma däck. En bil med större massa behöver visserligen en större kraft, men den pressar också hårdare mot vägen och får därför större friktion.

Vad händer om bilen kommer in i kurvan fortare? Friktionen når sitt maximum och mer ger den inte. Kraften mot medelpunkten blir mindre än en cirkel med radien 50 m skulle kräva, så bilen svänger mindre. Den följer en flackare båge, i ytterfallet nästan rakt fram längs tangenten, och kurvan viker undan under hjulen. För en iakttagare vid vägen verkar bilen ”kastas utåt”. I verkligheten trycker inget bilen utåt, friktionen kunde bara inte vrida den tillräckligt.

Formeln går också att använda åt andra hållet. Hur stor radie måste en motorvägskurva ha för att man ska kunna köra den i 130 km/h, alltså ungefär 36,1 m/s? Ekvationen v² = μ · g · r delar vi med produkten μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

På våt väg med friktionstalet 0,5 behövs redan ungefär 266 m, och även det är helt utan marginal. Motorvägskurvor har därför en radie på flera hundra meter och är dessutom doserade.

Doserade kurvor

På motorvägspåfarter, på velodromer och på bobbanor lutar kurvan: den yttre kanten ligger högre än den inre. Normalkraften står vinkelrätt mot vägen, så den pekar inte längre lodrätt uppåt utan snett mot kurvans medelpunkt.

Tyngdkraften och normalkraften tar då inte ut varandra, och en del av uppgiften som friktionen har på en plan väg tas över av normalkraften. Vid lämplig hastighet pekar deras resultant precis vågrätt mot medelpunkten och står för hela centripetalkraften, så bilen skulle ta kurvan även utan friktion, till exempel på is. I figuren är de båda krafterna ritade från en gemensam punkt, så att deras summa kan konstrueras med en parallellogram. Ju brantare kurvan lutar, desto fortare kan man ta den. På velodromen kör cyklisterna därför i kurvor som lutar som ett tak.

Vad håller månen kvar

Månen går runt jorden på ett avstånd av ungefär 3,84 · 10⁸ m, och ett varv tar 27,3 dygn, alltså ungefär 2,36 · 10⁶ s. Dess hastighet är

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Månen har massan ungefär 7,35 · 10²² kg. Centripetalkraften som jorden måste hålla den med blir

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Inget rep skulle tåla en sådan kraft. Men månen behöver inget rep, dess roll tas över av gravitationen. Om jorden slutade dra i månen skulle den flyga i väg längs tangenten, precis som Liams sten.

Miniräknare för högsta hastighet i en kurva

Ange kurvans radie och välj underlag. Miniräknaren beräknar den högsta hastigheten $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ på en vågrät väg.

Hittills har vi beskrivit allt från vägen, där man ser att bilen och stenen bara tvingas svänga av en kraft mot medelpunkten. Passageraren i bilen upplever det annorlunda: hon trycks mot dörren, och för henne ser det ut som om något tryckte henne dit. Hur rörelsen kan beskrivas av någon som åker med i bilen visar tröghetskrafterna.

Hur passageraren inne i bilen upplever kurvan och varför det verkar som om något trycker henne utåt förklaras i nästa artikel, Tröghetskrafter.