Keskeisvoima

Elias pyörittää päänsä yläpuolella narun päässä olevaa kiveä. Kivi kiertää, naru kiristyy ja Elias tuntee kädessään, kuinka kivi vetää sitä. Heti kun hän päästää narusta irti, kivi lentää pois. Kaartaminen ei siis ole ilmaista: joka haluaa kappaleen kiertävän ympyrää, sen täytyy pakottaa se siihen voimalla, joka osoittaa keskipisteeseen. Sitä sanotaan keskeisvoimaksi.

Jos etsit vain kaavaa: kappaleeseen, jonka massa on m ja joka kiertää nopeudella v ympyrää, jonka säde on r, täytyy vaikuttaa keskeisvoima

$$F_n=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

missä ω on kulmanopeus.

Voima, joka kääntää nopeutta

Tasaisessa ympyräliikkeessä nopeuden suuruus pysyy samana, mutta nopeuden nuoli kääntyy koko ajan. Kappaleella on siksi keskeiskiihtyvyys, joka osoittaa ympyrän keskipisteeseen ja jonka suuruus on

$$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Newtonin toisen lain mukaan jokainen kiihtyvyys syntyy resultantista, F = m · a, ja resultantti osoittaa samaan suuntaan kuin kiihtyvyys. Ympyrällä olevaan kappaleeseen täytyy siis vaikuttaa keskipisteeseen osoittava resultantti. Korvataan kiihtyvyys keskeiskiihtyvyydellä:

$$F_n=m\cdot a_n=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Jos sijoitetaan kiihtyvyyden toinen muoto, saadaan F_n = m · ω² · r. Mitään uutta ei keksitty, kyse on tavallisesta dynamiikan peruslaista, jota sovelletaan kaartamiseen. Yksiköt täsmäävät:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Kaavan mukaan kaartaminen on sitä vaativampaa, mitä suurempi kappaleen massa on, mitä nopeammin se kulkee ja mitä tiukempi kaarre on. Nopeus on samalla toisessa potenssissa, joten kaksinkertaisella nopeudella tarvitaan nelinkertainen voima.

Keskeisvoima ei ole uusi voima

Tässä tehdään usein virhe. Keskeisvoima ei ole uusi voimalaji, joka olisi painon, kitkan tai narun voiman rinnalla. Kyse on roolista, jonka jokin aivan tavallinen todellinen voima tai usean voiman resultantti kussakin tilanteessa esittää:

• kiveä ympyrällä pitää kiristynyt naru,
• autoa kaarteessa kääntää renkaiden ja tien välinen kitka,
• Kuu kiertää Maata gravitaation ansiosta, jolla Maa vetää sitä puoleensa.

Kun piirrät kappaleeseen vaikuttavia voimia, piirrä vain todelliset. Nuoli, jonka nimenä on ”keskeisvoima” ja joka on lisätty narun voiman viereen, on virhe, koska narun voima olisi silloin kuvassa kahteen kertaan. Kaava $F_n=\frac{m\cdot v^2}{r}$ ei kerro, mistä voima tulee. Se kertoo vain, kuinka suuri keskipisteeseen osoittavan resultantin täytyy olla, jotta kappale todella kiertää ympyrää. Joskus riittää yksi voima, joskus siihen osallistuu yhtä aikaa useampi, kuten kallistetussa kaarteessa nähdään.

Naruun sidottu kivi

Eliaksen kiven massa on 0,2 kg, naru on 1 m pitkä ja kivi kiertää ympyrän kaksi kertaa sekunnissa, joten jaksonaika on 0,5 s. Kuinka voimakkaasti narun täytyy vetää kiveä?

Kulmanopeus on yksi kierros, 2π radiaania, jaksonajassa:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Sijoitetaan kaavan toiseen muotoon. Radiaani on pelkkä luku, ja siksi tulos tulee newtoneina:

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Naru vetää kiveä noin 32 N:n voimalla, ikään kuin siinä roikkuisi kolmen kilon kassi. Jos Elias pyörittäisi kiveä kaksi kertaa nopeammin, narun täytyisi kestää nelinkertainen voima, noin 126 N. Kiven paino on vain noin 2 N, ja siksi se jätettiin huomiotta. Newtonin kolmannen lain mukaan kivi vetää narua takaisin yhtä suurella voimalla ja naru välittää sen Eliaksen käteen asti. Juuri tämän vedon Elias tuntee.

Kun naru katkeaa

Mitä tapahtuu, kun naru katkeaa? Vastauksen näyttää animaatio. Niin kauan kuin naru kestää, se vetää kiveä vihreällä voimalla kohti keskipistettä ja punainen nopeusnuoli kääntyy. Sillä hetkellä, kun naru katkeaa, voima häviää. Vaakasuunnassa kiveen ei enää vaikuta mikään, joten jatkavuuden lain mukaan se lentää suoraan, yhtä nopeasti ja sinne, minne sen nopeus osoitti katkeamishetkellä. Se on ympyrän tangentin suuntaan.

Kivi ei siis lennä ”ulos” suoraan keskipisteestä poispäin, kuten voisi luulla. Mikään ei vedä sitä ulospäin, se vain lakkasi kääntymästä. Tätä hyödyntää linko: kivi päästetään irti täsmälleen silloin, kun sen nopeus osoittaa maaliin. Eliaksen kivi lähtee nopeudella ω · r ≈ 12,6 m/s, eli noin 45 km/h, joten naapurin ikkuna on vaarassa.

Auto kaarteessa

Auto, jonka massa on 1 200 kg, ajaa nopeudella 54 km/h kaarteen, jonka säde on 50 m. Muutetaan nopeus, 54 km/h = 15 m/s, ja sijoitetaan:

$$F_n=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Mistä nämä 5 400 N tulevat? Tiellä ei ole narua. Autoa pakottaa kääntymään vain renkaiden ja asfaltin välinen kitka, joka osoittaa kaarteen keskipisteeseen.

Rengas ei kuitenkaan liu'u tiellä sivulle. Kohta, jolla se koskettaa asfalttia, ei sillä hetkellä liiku tiehen nähden, ja siksi kyse on lepokitkasta. Se on juuri niin suuri kuin tarvitaan, tässä 5 400 N, mutta vain enimmäisarvoonsa asti.

Riittääkö siihen mikä tahansa tie? Lasketaan kitkakertoimien liikekitkaarvoilla. Renkaiden lepokitka on yleensä hieman suurempi, joten tulokset ovat varovainen arvio. Kumille kuivalla asfaltilla kerroin on noin 0,7, märällä 0,5, lumella 0,3 ja jäällä 0,1. Auton paino on 1 200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N, ja yhtä suuri on vaakasuoralla tiellä tukivoima. Kitkan täytyy antaa 5 400 N, joten kitkakertoimen täytyy olla vähintään $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Kuiva asfaltti selviää tästä helposti, märällä tulee tiukkaa. Lumella kitka antaisi enintään 0,3 · 11 772 N ≈ 3 500 N eikä auto selviäisi kaarteesta.

Kuinka nopeasti kaarteen voi ajaa

Vaakasuoralla tiellä tukivoima kumoaa painon, N = m · g, ja suurin kitkavoima on μ · m · g. Auto selviää kaarteesta, niin kauan kuin kitka riittää:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Suurin nopeus on se, jolla vallitsee yhtäsuuruus. Massa supistuu pois, kerrotaan molemmat puolet säteellä ja otetaan neliöjuuri:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Kuivalla asfaltilla μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Kuivalla auto siis selviää kaarteesta enintään noin 67 km/h:n nopeudella, ja esimerkin 54 km/h onnistuu varaa jättäen. Jäällä μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Samaan kaarteeseen voi jäisellä tiellä ajaa vain vähän pyöräilijää nopeammin. Koska massa supistui pois, tämä pätee yhtä lailla pienelle autolle kuin kuormatulle rekalle, joilla on samat renkaat. Painavampi auto tarvitsee kyllä suuremman voiman, mutta se painaa myös tietä enemmän ja siksi sen kitkakin on suurempi.

Mitä jos auto ajaa kaarteeseen nopeammin? Kitka saavuttaa enimmäisarvonsa eikä anna enempää. Keskipisteeseen osoittava voima on pienempi kuin säteen 50 m ympyrä vaatisi, joten auto kaartaa vähemmän. Se kulkee loivempaa kaarta, äärimmäisessä tapauksessa melkein suoraan tangentin suuntaan, ja kaarre väistyy renkaiden alta. Tien vierestä katsovasta tuntuu, että auto ”ajautui ulos”. Todellisuudessa mikään ei työntänyt sitä ulos, kitka ei vain pystynyt kääntämään sitä riittävästi.

Kaavaa voi käyttää myös toisin päin. Kuinka loiva kaarre moottoritiellä tarvitaan, jotta sen voi ajaa nopeudella 130 km/h, eli noin 36,1 m/s? Jaetaan yhtälö v² = μ · g · r tulolla μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Märällä kertoimella 0,5 tarvitaan jo noin 266 m, ja sekin on edelleen ilman mitään varaa. Moottoritien kaarteiden säde onkin usein useita satoja metrejä ja lisäksi ne on yleensä kallistettu.

Kallistetut kaarteet

Moottoritien liittymissä, pyöräilyradalla ja rattikelkkaradalla kaarre on kalteva: ulkoreuna on korkeammalla kuin sisäreuna. Tukivoima on kohtisuorassa tietä vastaan, joten se ei enää osoita pystysuoraan ylös vaan vinosti kaarteen keskipistettä kohti.

Paino ja tukivoima eivät silloin kumoa toisiaan, ja osan tehtävästä, jonka kitka hoitaa suoralla tiellä, ottaa tukivoima. Sopivalla nopeudella niiden resultantti osoittaa täsmälleen vaakasuoraan keskipisteeseen ja hoitaa koko keskeisvoiman, joten auto selviäisi kaarteesta ilman kitkaakin, vaikkapa jäällä. Kuvassa molemmat voimat on piirretty samasta pisteestä, jotta niiden summa voidaan muodostaa suunnikkaalla. Mitä jyrkemmin kaarre on kallistettu, sitä nopeammin sen voi ajaa. Pyöräilyradan kaarteet ovat siksi kaltevia kuin katto.

Mikä pitää Kuuta

Kuu kiertää Maata noin 3,84 · 10⁸ m:n etäisyydellä ja yksi kierros kestää 27,3 vuorokautta, eli noin 2,36 · 10⁶ s. Sen nopeus on

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Kuun massa on noin 7,35 · 10²² kg. Keskeisvoima, jolla Maan täytyy pitää sitä, on

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Mikään köysi ei kestäisi sellaista voimaa. Kuu ei kuitenkaan tarvitse köyttä, sen roolin hoitaa gravitaatio. Jos Maa lakkaisi vetämästä Kuuta puoleensa, se lentäisi tangentin suuntaan pois samoin kuin Eliaksen kivi.

Kaarteen suurimman nopeuden laskin

Syötä kaarteen säde ja valitse pinta. Laskin laskee suurimman nopeuden $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ vaakasuoralla tiellä.

Tähän asti kaikki on kuvattu tieltä katsottuna, josta näkee, että auton ja kiven pakottaa kääntymään vain keskipisteeseen osoittava voima. Auton matkustaja kokee asian kuitenkin toisin: hän painuu ovea vasten ja hänestä tuntuu, kuin jokin työntäisi häntä sitä kohti. Miten liikettä voi kuvata auton mukana kulkevan näkökulmasta, näyttävät hitausvoimat.

Miten kaarteen kokee auton sisällä oleva matkustaja ja miksi hänestä tuntuu, että jokin työntää häntä ulospäin, selittää seuraava artikkeli, Hitausvoimat.