Middelpuntzoekende kracht

Siem laat boven zijn hoofd een steen aan een touwtje ronddraaien. De steen draait rond, het touwtje spant zich en Siem voelt in zijn hand hoe de steen eraan trekt. Maar zodra hij het touwtje loslaat, vliegt de steen weg. Een bocht maken gaat nu eenmaal niet vanzelf: wie wil dat een voorwerp langs een cirkel draait, moet het daartoe dwingen met een kracht die naar het midden wijst. Die heet middelpuntzoekende kracht.

Als je alleen de formule zoekt: op een voorwerp met massa m dat met snelheid v langs een cirkel met straal r draait, moet de middelpuntzoekende kracht

$$F_{\mathrm{mpz}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

werken, waarbij ω de hoeksnelheid is.

Een kracht die de snelheid laat draaien

Bij eenparige cirkelbeweging blijft de grootte van de snelheid gelijk, maar de snelheidspijl draait voortdurend. Het voorwerp heeft daarom een middelpuntzoekende versnelling, die naar het middelpunt van de cirkel wijst en de volgende grootte heeft:

$$a_{\mathrm{mpz}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Volgens de tweede wet van Newton ontstaat elke versnelling uit een resulterende kracht, F = m · a, en de resulterende kracht wijst waarheen de versnelling wijst. Op een voorwerp op een cirkel moet dus een resulterende kracht naar het midden werken. De versnelling vervangen we door de middelpuntzoekende versnelling:

$$F_{\mathrm{mpz}}=m\cdot a_{\mathrm{mpz}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Vullen we de tweede vorm van de versnelling in, dan komt F_mpz = m · ω² · r uit. We hebben niets nieuws verzonnen, het is gewoon de tweede wet toegepast op het nemen van een bocht. De eenheden kloppen:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Volgens de formule is een bocht maken moeilijker naarmate het voorwerp meer massa heeft, sneller rijdt en de bocht scherper is. De snelheid staat daarbij in het kwadraat, dus bij een dubbele snelheid is een vier keer zo grote kracht nodig.

Middelpuntzoekende kracht is geen nieuwe kracht

Hier worden vaak fouten gemaakt. De middelpuntzoekende kracht is geen extra soort kracht die naast de zwaartekracht, de wrijvingskracht of de kracht van een touwtje staat. Het is een rol die een heel gewone echte kracht in de gegeven situatie speelt, of de resulterende kracht van meerdere krachten:

• de steen op de cirkel wordt vastgehouden door de kracht van het gespannen touwtje,
• de auto wordt in de bocht gehouden door de wrijving tussen de banden en de weg,
• de maan draait om de aarde dankzij de zwaartekracht waarmee de aarde hem aantrekt.

Teken bij het tekenen van de krachten die op het voorwerp werken alleen de echte. Een pijl met het opschrift “middelpuntzoekende kracht” die je extra naast het touwtje zet, is een fout, want dan zou de kracht van het touwtje twee keer in de tekening staan. De formule $F_{\mathrm{mpz}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ zegt niet waar de kracht vandaan komt. Ze zegt alleen hoe groot de resulterende kracht naar het midden moet zijn om het voorwerp echt langs een cirkel te laten draaien. Soms volstaat één kracht, soms werken er meerdere tegelijk aan mee, zoals we zullen zien bij een overhellende bocht.

Een steen aan een touwtje

Siems steen heeft een massa van 0,2 kg, het touwtje is 1 m lang en per seconde draait hij tweemaal rond, de omlooptijd is dus 0,5 s. Hoe sterk moet het touwtje aan de steen trekken?

De hoeksnelheid is één omwenteling, 2π radialen, per omlooptijd:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

We vullen in de tweede vorm van de formule in. De radiaal is een kaal getal, en daarom komt het resultaat in newton uit:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{mpz}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Het touwtje trekt met een kracht van ongeveer 32 N aan de steen, alsof er een tas van drie kilo aan hing. Als Siem de steen twee keer zo snel zou laten draaien, zou het touwtje vier keer zoveel moeten kunnen verdragen, ongeveer 126 N. De zwaartekracht op de steen is maar ongeveer 2 N, en daarom hebben we haar verwaarloosd. Volgens de derde wet van Newton trekt de steen met een even grote kracht terug aan het touwtje en het touwtje draagt die over tot in Siems hand. Juist dat trekken voelt Siem.

Als het touwtje knapt

Wat gebeurt er zodra het touwtje breekt? Het antwoord laat de animatie zien. Zolang het touwtje houdt, trekt het de steen met de groene kracht naar het midden en draait de rode snelheidspijl mee. Op het moment dat het touwtje knapt, verdwijnt de kracht. In horizontale richting werkt er nu niets meer op de steen, dus hij vliegt volgens de traagheidswet recht door, even snel en waarheen zijn snelheid wees op het moment van losbreken. Dat is langs de raaklijn aan de cirkel.

De steen vliegt dus niet “naar buiten” langs een lijn vanuit het midden, zoals het misschien lijkt. Niets trekt hem naar buiten, hij buigt gewoon niet meer af. Daar maakt een slinger gebruik van: de steen wordt losgelaten precies op het moment dat zijn snelheid op het doel wijst. Siems steen vliegt weg met een snelheid van ω · r ≈ 12,6 m/s, dus ongeveer 45 km/h, en het raam van de buren loopt gevaar.

Een auto in een bocht

Een auto met een massa van 1200 kg rijdt met 54 km/h door een bocht met straal 50 m. We rekenen de snelheid om, 54 km/h = 15 m/s, en vullen in:

$$F_{\mathrm{mpz}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Waar komt die 5400 N vandaan? Op de weg is geen touwtje. De auto wordt alleen gedwongen een bocht te maken door de wrijving tussen de banden en het asfalt, die naar het midden van de bocht wijst.

De band glijdt daarbij niet zijwaarts over de weg. De plek waarmee hij het asfalt raakt, beweegt op dat moment niet ten opzichte van de weg, en het gaat daarom om statische wrijving. Ze is precies zo groot als nodig is, hier 5400 N, maar alleen tot haar maximum.

Volstaat daarvoor elke weg? We rekenen met de coëfficiënten van schuifwrijving uit het artikel Wrijving. De statische wrijving van banden is meestal iets groter, de resultaten zijn dus een voorzichtige schatting. Voor rubber op droog asfalt is de coëfficiënt ongeveer 0,7, op nat 0,5, op sneeuw 0,3 en op ijs 0,1. De zwaartekracht van de auto is 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N en even groot is op een horizontale weg de normaalkracht. De wrijving moet 5400 N leveren, dus de wrijvingscoëfficiënt moet minstens $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$ zijn. Droog asfalt redt dat met gemak, op nat komt het maar net uit. Op sneeuw zou de wrijving hoogstens 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N geven en zou de auto de bocht niet halen.

Hoe snel kun je door de bocht

Op een horizontale weg compenseert de normaalkracht de zwaartekracht, F_N = m · g, en de grootste wrijvingskracht is f · m · g. De auto komt door de bocht zolang de wrijving volstaat:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le f\cdot m\cdot g$$

De maximale snelheid is die waarbij gelijkheid optreedt. De massa valt weg, beide kanten vermenigvuldigen we met de straal en we nemen de wortel:

$$v_{max}=\sqrt{f\cdot g\cdot r}$$

Op droog asfalt is f = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Op een droge weg kan de auto de bocht dus hoogstens met ongeveer 67 km/h nemen, en onze 54 km/h redt hij met marge. Op ijs is f = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

In dezelfde bocht kun je op ijzel maar iets sneller rijden dan een fietser. Omdat de massa wegvalt, geldt dit even goed voor een kleine auto als voor een beladen vrachtwagen met dezelfde banden. Een auto met meer massa heeft weliswaar een grotere kracht nodig, maar drukt ook harder op de weg en heeft dus ook meer wrijving.

Wat als de auto sneller de bocht in rijdt? De wrijving bereikt haar maximum en meer geeft ze niet. De kracht naar het midden is kleiner dan een cirkel met straal 50 m nodig heeft, dus de auto maakt een minder scherpe bocht. Hij rijdt langs een flauwere boog, in het uiterste geval bijna recht langs de raaklijn, en de bocht wijkt onder de wielen uit. Voor een waarnemer langs de weg lijkt het alsof de auto “uit de bocht is gevlogen”. In werkelijkheid duwde niets hem naar buiten, de wrijving kon hem alleen niet genoeg van richting doen veranderen.

De formule is ook omgekeerd te gebruiken. Hoe ruim moet een bocht van de snelweg zijn om er met 130 km/h, dus ongeveer 36,1 m/s, doorheen te kunnen? De vergelijking v² = f · g · r delen we door het product f · g:

$$r=\frac{v^2}{f\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Op nat wegdek met coëfficiënt 0,5 is al ongeveer 266 m nodig, en ook dat is nog zonder enige marge. Bochten van snelwegen hebben daarom meestal een straal van vele honderden meters en hellen bovendien over.

Overhellende bochten

Bij opritten van snelwegen, op een wielerbaan en op een bobbaan helt de bocht: de buitenrand ligt hoger dan de binnenrand. De normaalkracht staat loodrecht op de weg, dus ze wijst niet meer verticaal omhoog, maar schuin naar het midden van de bocht.

Zwaartekracht en normaalkracht heffen elkaar dan niet op en een deel van de taak die op een vlakke weg door de wrijving wordt vervuld, neemt de normaalkracht over. Bij een geschikte snelheid wijst hun resulterende kracht precies horizontaal naar het midden en levert ze de hele middelpuntzoekende kracht, dus zou de auto de bocht ook zonder wrijving kunnen nemen, bijvoorbeeld op ijs. In de afbeelding zijn beide krachten vanuit een gemeenschappelijk punt getekend, zodat hun som met een parallellogram kan worden geconstrueerd. Hoe steiler de bocht helt, hoe sneller je erdoor kunt. Wielrenners op een wielerbaan rijden daarom door bochten die als een dak hellen.

Wat houdt de maan vast

De maan draait om de aarde op een afstand van ongeveer 3,84 · 10⁸ m en één omloop duurt 27,3 dagen, dus ongeveer 2,36 · 10⁶ s. Zijn snelheid is

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

De maan heeft een massa van ongeveer 7,35 · 10²² kg. De middelpuntzoekende kracht waarmee de aarde hem moet vasthouden, komt uit op

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{mpz}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Geen touw zou zo'n kracht verdragen. Maar de maan heeft geen touw nodig, zijn rol wordt overgenomen door de zwaartekracht. Als de aarde de maan niet meer zou aantrekken, zou hij langs de raaklijn wegvliegen, net als Siems steen.

Rekenmachine voor de maximale snelheid in een bocht

Voer de straal van de bocht in en kies de ondergrond. De rekenmachine berekent de maximale snelheid $v_{max}=\sqrt{f\cdot g\cdot r}$ op een horizontale weg.

Alles hebben we tot nu toe beschreven vanaf de weg, vanwaar te zien is dat een kracht naar het midden de auto en de steen dwingt een bocht te maken. De passagier in de auto beleeft het echter anders: hij wordt tegen het portier gedrukt en vanuit zijn gezichtspunt lijkt het alsof iets hem ertegenaan duwt. Hoe je een beweging beschrijft vanuit het gezichtspunt van iemand die met de auto meerijdt, laten schijnkrachten zien.

Hoe de passagier in de auto de bocht beleeft en waarom hij het gevoel heeft dat iets hem naar buiten duwt, legt het volgende artikel uit, Schijnkrachten.