Forța centripetă

Ștefan învârte deasupra capului o piatră legată de o sfoară. Piatra se învârte, sfoara se întinde, iar Ștefan simte în mână cum trage piatra de ea. De îndată ce dă drumul sforii, piatra zboară departe. Pe scurt, virajul nu vine gratis: cine vrea ca un corp să se rotească pe cerc, trebuie să-l silească la asta cu o forță îndreptată spre centru. Ea se numește forță centripetă.

Dacă cauți doar formula: asupra unui corp cu masa m, care se rotește cu viteza v pe un cerc de rază r, trebuie să acționeze forța centripetă

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

unde ω este viteza unghiulară.

Forța care rotește viteza

La mișcarea circulară uniformă modulul vitezei rămâne același, dar săgeata vitezei se rotește neîncetat. Corpul are de aceea accelerație centripetă, îndreptată spre centrul cercului și de mărime

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Conform principiului fundamental al dinamicii (a doua lege a lui Newton), orice accelerație provine dintr-o forță rezultantă, F = m · a, iar forța rezultantă este îndreptată încotro este accelerația. Asupra unui corp pe cerc trebuie deci să acționeze o rezultantă spre centru. Înlocuim accelerația cu accelerația centripetă:

$$F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Dacă înlocuim a doua formă a accelerației, iese F_cp = m · ω² · r. Nu am inventat nicio noutate, este vorba de principiul fundamental obișnuit, aplicat mișcării în curbă. Unitățile se potrivesc:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Conform formulei, virajul este cu atât mai dificil, cu cât corpul are masa mai mare, cu cât merge mai repede și cu cât curba este mai strânsă. Viteza se ridică aici la pătrat, așa că la o viteză dublă este nevoie de o forță de patru ori mai mare.

Forța centripetă nu este o forță nouă

Aici se greșește des. Forța centripetă nu este un alt fel de forță, care ar sta alături de greutate, de forța de frecare sau de forța din sfoară. Este un rol pe care îl joacă într-o situație dată o forță reală, cu totul obișnuită, sau rezultanta mai multor forțe:

• piatra pe cerc este ținută de forța sforii întinse,
• mașina este făcută să vireze în curbă de frecarea dintre anvelope și șosea,
• Luna se rotește în jurul Pământului datorită gravitației cu care o atrage Pământul.

Când desenezi forțele care acționează asupra unui corp, desenează doar pe cele reale. O săgeată cu inscripția „forța centripetă” adăugată în plus lângă sfoară este o greșeală, pentru că forța sforii ar apărea în desen de două ori. Formula $F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ nu spune de unde vine forța. Spune doar cât de mare trebuie să fie rezultanta îndreptată spre centru, ca să se rotească corpul într-adevăr pe cerc. Uneori ajunge o singură forță, alteori participă mai multe forțe deodată, cum vom vedea la curba înclinată.

Piatra legată de sfoară

Piatra lui Ștefan are masa de 0,2 kg, sfoara are lungimea de 1 m, iar într-o secundă piatra parcurge cercul de două ori, deci perioada este 0,5 s. Cât de tare trebuie să tragă sfoara de piatră?

Viteza unghiulară este o rotație, 2π radiani, pe perioadă:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Înlocuim în a doua formă a formulei. Radianul este un număr pur și de aceea rezultatul iese în newtoni:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Sfoara trage de piatră cu o forță de aproximativ 32 N, ca și cum ar atârna de ea o sacoșă de trei kilograme. Dacă Ștefan ar învârti piatra de două ori mai repede, sfoara ar trebui să reziste de patru ori mai mult, aproximativ 126 N. Greutatea pietrei este doar de aproximativ 2 N și de aceea am neglijat-o. Conform principiului acțiunii și reacțiunii (a treia lege a lui Newton), piatra trage înapoi de sfoară cu o forță la fel de mare, iar sfoara o transmite până în mâna lui Ștefan. Chiar această tragere o simte Ștefan.

Când se rupe sfoara

Ce se întâmplă de îndată ce se rupe sfoara? Răspunsul îl arată animația. Cât timp sfoara ține, trage piatra cu forța verde spre centru, iar săgeata roșie a vitezei se rotește. În clipa în care sfoara se rupe, forța dispare. În direcție orizontală nu mai acționează nimic asupra pietrei, așa că, conform principiului inerției, zboară drept, la fel de repede și încotro era îndreptată viteza ei în clipa ruperii. Adică pe tangentă la cerc.

Piatra nu zboară deci „în afară” pe o dreaptă din centru, cum ar putea părea. Nimic nu o trage în afară, ea pur și simplu a încetat să mai vireze. Acest lucru îl folosește praștia: piatra este eliberată exact în clipa în care viteza ei este îndreptată spre țintă. Piatra lui Ștefan pleacă cu viteza ω · r ≈ 12,6 m/s, adică aproximativ 45 km/h, așa că geamul vecinilor este în pericol.

Mașina în curbă

O mașină cu masa de 1.200 kg trece cu viteza de 54 km/h printr-o curbă cu raza de 50 m. Transformăm viteza, 54 km/h = 15 m/s, și înlocuim:

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

De unde vin aceste 5.400 N? Pe șosea nu este nicio sfoară. Mașina este silită să vireze doar de frecarea dintre anvelope și asfalt, îndreptată spre centrul curbei.

Anvelopa nu alunecă lateral pe șosea. Locul în care atinge asfaltul nu se mișcă în acea clipă față de șosea și de aceea este vorba de frecare statică. Ea este exact atât de mare cât este nevoie, aici 5.400 N, dar doar până la maximul ei.

Ajunge pentru asta orice șosea? Vom calcula cu coeficienții de frecare la alunecare. Frecarea statică a anvelopelor este de obicei ceva mai mare, rezultatele sunt deci o estimare prudentă. Pentru cauciuc pe asfalt uscat coeficientul este de aproximativ 0,7, pe asfalt ud 0,5, pe zăpadă 0,3 și pe gheață 0,1. Greutatea mașinii este 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N și la fel de mare este pe șoseaua orizontală reacțiunea normală. Frecarea trebuie să dea 5.400 N, deci coeficientul de frecare trebuie să fie cel puțin $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Asfaltul uscat face față cu ușurință, pe cel ud abia la limită. Pe zăpadă frecarea ar da cel mult 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N, iar mașina nu ar lua curba.

Cât de repede se poate lua o curbă

Pe șoseaua orizontală reacțiunea normală echilibrează greutatea, N = m · g, iar cea mai mare forță de frecare este μ · m · g. Mașina ia curba cât timp ajunge frecarea:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Viteza maximă este cea la care se atinge egalitatea. Masa se simplifică, înmulțim ambele părți cu raza și extragem radicalul:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Pe asfalt uscat este μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Pe uscat mașina poate deci lua curba cu cel mult aproximativ 67 km/h, iar cu cei 54 km/h ai noștri o ia cu rezervă. Pe gheață este μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

În aceeași curbă se poate intra pe polei doar cu puțin mai repede decât merge un biciclist. Fiindcă masa s-a simplificat, acest lucru este valabil la fel pentru o mașină mică și pentru un camion încărcat, cu aceleași anvelope. O mașină cu masă mai mare are, ce-i drept, nevoie de o forță mai mare, dar apasă și șoseaua mai tare, deci are și o frecare mai mare.

Ce se întâmplă dacă mașina intră în curbă mai repede? Frecarea atinge maximul și mai mult nu dă. Forța spre centru este mai mică decât ar avea nevoie un cerc cu raza de 50 m, așa că mașina virează mai puțin. Merge pe un arc mai lin, în cazul extrem aproape drept pe tangentă, iar curba îi iese de sub roți. Observatorului de lângă șosea i se pare că mașina a fost „scoasă în afară”. În realitate nimic nu a împins-o în afară, frecarea pur și simplu nu a reușit să o facă să vireze destul.

Formula se poate folosi și invers. Cât de largă trebuie să fie o curbă de autostradă, ca să poată fi luată cu 130 km/h, adică aproximativ 36,1 m/s? Ecuația v² = μ · g · r o împărțim la produsul μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Pe asfalt ud, cu coeficientul 0,5, este nevoie deja de aproximativ 266 m, și chiar și așa încă fără nicio rezervă. Curbele de autostradă au de aceea de obicei raza de multe sute de metri și sunt în plus înclinate.

Curbele înclinate

La rampele de acces pe autostradă, pe velodrom și pe pista de bob curba este înclinată: marginea exterioară se află mai sus decât cea interioară. Reacțiunea normală este perpendiculară pe șosea, așa că nu mai este îndreptată vertical în sus, ci oblic spre centrul curbei.

Greutatea și reacțiunea normală nu se mai anulează, iar o parte din sarcina pe care o îndeplinește pe șoseaua orizontală frecarea o preia reacțiunea normală. La o viteză potrivită rezultanta lor este îndreptată exact orizontal spre centru și furnizează întreaga forță centripetă, așa că mașina ar lua curba chiar și fără frecare, de pildă pe gheață. În desen ambele forțe sunt trasate dintr-un punct comun, ca suma lor să se poată construi cu un paralelogram. Cu cât curba este mai înclinată, cu atât se poate lua mai repede. Bicicliștii de pe velodrom merg de aceea în curbe înclinate ca un acoperiș.

Ce ține Luna

Luna se rotește în jurul Pământului la o distanță de aproximativ 3,84 · 10⁸ m, iar o rotație durează 27,3 zile, adică aproximativ 2,36 · 10⁶ s. Viteza ei este

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Luna are masa de aproximativ 7,35 · 10²² kg. Forța centripetă cu care trebuie să o țină Pământul iese

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Niciun cablu nu ar rezista la o asemenea forță. Luna nu are însă nevoie de cablu, rolul lui îl preia gravitația. Dacă Pământul ar înceta să atragă Luna, ea ar zbura pe tangentă, la fel ca piatra lui Ștefan.

Calculatorul vitezei maxime în curbă

Introdu raza curbei și alege suprafața. Calculatorul află viteza maximă $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ pe o șosea orizontală.

Până acum am descris totul de pe șosea, de unde se vede că mașina și piatra sunt silite să vireze doar de o forță spre centru. Pasagerul din mașină trăiește însă lucrurile altfel: se lipește de portieră și din punctul lui de vedere pare că îl împinge ceva spre ea. Cum poate fi descrisă mișcarea din punctul de vedere al cuiva care se deplasează odată cu mașina arată forțele de inerție.

Cum trăiește curba pasagerul din interiorul mașinii și de ce i se pare că ceva îl împinge în afară explică articolul următor, Forțele de inerție.