Dostředivá síla

Šimon roztočí nad hlavou kámen na provázku. Kámen krouží, provázek se napíná a Šimon v ruce cítí, jak za něj kámen tahá. Jakmile ale provázek pustí, kámen uletí pryč. Zatáčení zkrátka nejde zadarmo: kdo chce, aby těleso obíhalo po kružnici, musí ho k tomu nutit silou, která míří do středu. Té se říká dostředivá síla.

Pokud hledáte jen vzorec: na těleso o hmotnosti m, které obíhá rychlostí v po kružnici o poloměru r, musí působit dostředivá síla

$$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

kde ω je úhlová rychlost.

Síla, která stáčí rychlost

Při rovnoměrném pohybu po kružnici zůstává velikost rychlosti stejná, jenže šipka rychlosti se neustále stáčí. Těleso proto má dostředivé zrychlení, které směřuje do středu kružnice a má velikost

$$a_d=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Podle druhého Newtonova zákona vzniká každé zrychlení z výsledné síly, F = m · a, a výsledná síla míří tam, kam zrychlení. Na těleso na kružnici tedy musí působit výslednice do středu. Zrychlení nahradíme dostředivým zrychlením:

$$F_d=m\cdot a_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Dosadíme-li druhý tvar zrychlení, vyjde F_d = m · ω² · r. Žádnou novinku jsme nevymysleli, jde o obyčejný zákon síly použitý na zatáčení. Jednotky souhlasí:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Podle vzorce je zatáčení tím náročnější, čím větší hmotnost těleso má, čím rychleji jede a čím ostřejší je zatáčka. Rychlost se přitom umocňuje na druhou, takže při dvojnásobné rychlosti je třeba čtyřikrát větší síla.

Dostředivá síla není nová síla

Tady se často chybuje. Dostředivá síla není další druh síly, který by stál vedle tíhové, třecí nebo síly provázku. Jde o role, kterou v dané situaci hraje nějaká úplně obyčejná skutečná síla, případně výslednice několika sil:

• kámen na kružnici drží síla napnutého provázku,
• auto v zatáčce stáčí tření mezi pneumatikami a silnicí,
• Měsíc kolem Země obíhá díky gravitaci, kterou ho Země přitahuje.

Při kreslení sil působících na těleso zakreslujte jen ty skutečné. Šipka s nápisem „dostředivá síla“ přidaná navíc vedle provázku je chyba, protože by síla provázku byla v obrázku dvakrát. Vzorec $F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$ neříká, odkud se síla vezme. Říká pouze, jak velká musí být výslednice mířící do středu, aby těleso po kružnici skutečně obíhalo. Někdy stačí jediná síla, jindy se na ní podílí víc sil najednou, jak uvidíme u klopené zatáčky.

Kámen na provázku

Šimonův kámen má hmotnost 0,2 kg, provázek je dlouhý 1 m a za sekundu oběhne kružnici dvakrát, perioda je tedy 0,5 s. Jak silně musí provázek kámen táhnout?

Úhlová rychlost je jedna otáčka, 2π radiánů, za periodu:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\doteq 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Dosadíme do druhého tvaru vzorce. Radián je holé číslo, a proto výsledek vyjde v newtonech:

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\doteq 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Provázek táhne kámen silou asi 32 N, jako by na něm visela tříkilová taška. Kdyby Šimon roztočil kámen dvakrát rychleji, provázek by musel vydržet čtyřikrát víc, asi 126 N. Tíhová síla kamene je jen asi 2 N, a proto jsme ji zanedbali. Podle třetího Newtonova zákona táhne kámen stejně velkou silou zpátky za provázek a provázek ji přenese až do Šimonovy ruky. Právě tohle tahání Šimon cítí.

Když provázek praskne

Co se stane, jakmile se provázek přetrhne? Odpověď ukazuje animace. Dokud provázek drží, táhne kámen zelenou silou do středu a červená šipka rychlosti se stáčí. Ve chvíli, kdy provázek praskne, síla zmizí. Ve vodorovném směru už na kámen nepůsobí nic, takže podle zákona setrvačnosti letí rovně, stejně rychle a tam, kam mířila jeho rychlost v okamžiku utržení. To je po tečně ke kružnici.

Kámen tedy neuletí „ven“ po přímce ze středu, jak by se mohlo zdát. Nic ho ven netáhne, prostě jen přestal zatáčet. Toho využívá prak: kámen se pustí přesně ve chvíli, kdy jeho rychlost míří na cíl. Šimonův kámen vyletí rychlostí ω · r ≐ 12,6 m/s, tedy asi 45 km/h, takže okno sousedů je v ohrožení.

Auto v zatáčce

Auto o hmotnosti 1 200 kg projíždí rychlostí 54 km/h zatáčku o poloměru 50 m. Rychlost převedeme, 54 km/h = 15 m/s, a dosadíme:

$$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Odkud se těch 5 400 N vezme? Na silnici žádný provázek není. Zatáčet auto nutí jen tření mezi pneumatikami a asfaltem, které míří do středu zatáčky.

Pneumatika přitom po silnici do strany neklouže. Místo, kterým se dotýká asfaltu, se vůči silnici v tu chvíli nepohybuje, a jde proto o klidové tření. Je přesně tak velké, jak je potřeba, tady 5 400 N, ale jen do svého maxima.

Postačí na to jakákoli silnice? Budeme počítat se součiniteli smykového tření. Klidové tření pneumatik bývá o něco větší, výsledky jsou tedy opatrný odhad. Pro gumu na suchém asfaltu je součinitel asi 0,7, na mokrém 0,5, na sněhu 0,3 a na ledu 0,1. Tíhová síla auta je 1 200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N a stejně velká je na vodorovné silnici normálová síla. Tření musí dodat 5 400 N, takže součinitel tření musí být aspoň $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\doteq 0,46$. Suchý asfalt tohle zvládne s přehledem, na mokrém to vyjde jen tak tak. Na sněhu by tření dalo nejvýš 0,3 · 11 772 N ≐ 3 500 N a auto by zatáčku nevybralo.

Jak rychle se dá zatáčkou projet

Na vodorovné silnici vyrovnává normálová síla tíhovou, F_N = m · g, a největší třecí síla je f · m · g. Auto zatáčku projede, dokud tření stačí:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le f\cdot m\cdot g$$

Největší rychlost je ta, při které nastane rovnost. Hmotnost se vykrátí, obě strany vynásobíme poloměrem a odmocníme:

$$v_{max}=\sqrt{f\cdot g\cdot r}$$

Na suchém asfaltu je f = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \doteq 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Na suchu tedy auto projede zatáčku nanejvýš asi 67 km/h a našich 54 km/h zvládne s rezervou. Na ledu je f = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \doteq 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Do téže zatáčky se na náledí dá vjet jen o málo rychleji, než jezdí cyklista. Protože se hmotnost vykrátila, platí to stejně pro malé auto i pro naložený kamion se stejnými pneumatikami. Auto s větší hmotností sice potřebuje větší sílu, jenže silnici i víc přitlačí, a tak má větší i tření.

Co když auto vjede do zatáčky rychleji? Tření dosáhne maxima a víc nedá. Síla do středu je menší, než by kružnice o poloměru 50 m potřebovala, takže auto zatáčí méně. Jede po mírnějším oblouku, v krajním případě skoro rovně po tečně, a zatáčka mu pod koly uhne. Pozorovateli u silnice se zdá, že auto „vyneslo ven“. Ve skutečnosti ho nic ven netlačilo, tření ho jen nedokázalo dost stočit.

Vzorec jde použít i obráceně. Jak širokou zatáčku potřebuje dálnice, aby se jí dalo projet 130 km/h, tedy asi 36,1 m/s? Rovnici v² = f · g · r vydělíme součinem f · g:

$$r=\frac{v^2}{f\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq 190\mathrm{m}$$

Na mokru se součinitelem 0,5 už je potřeba asi 266 m, a i to je stále bez jakékoli rezervy. Dálniční zatáčky proto mívají poloměr mnoha set metrů a navíc bývají klopené.

Klopené zatáčky

Na dálničních nájezdech, na velodromu i na bobové dráze je zatáčka nakloněná: vnější okraj leží výš než vnitřní. Normálová síla stojí kolmo k silnici, takže už nemíří svisle nahoru, nýbrž šikmo ke středu zatáčky.

Tíhová a normálová síla se pak nevyruší a část úkolu, který na rovné silnici plní tření, převezme normálová síla. Při vhodné rychlosti míří jejich výslednice přesně vodorovně ke středu a obstará celou dostředivou sílu, takže by auto zatáčkou projelo i bez tření, třeba na ledu. V obrázku jsou obě síly kreslené ze společného bodu, aby šlo jejich součet sestrojit rovnoběžníkem. Čím strměji je zatáčka nakloněná, tím rychleji se jí dá projet. Cyklisté na velodromu proto jezdí v zatáčkách skloněných jako střecha.

Co drží Měsíc

Měsíc obíhá kolem Země ve vzdálenosti asi 3,84 · 10⁸ m a jeden oběh mu trvá 27,3 dne, tedy asi 2,36 · 10⁶ s. Jeho rychlost je

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\doteq 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Měsíc má hmotnost asi 7,35 · 10²² kg. Dostředivá síla, kterou ho musí Země držet, vychází

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \doteq 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Žádné lano by takovou sílu nevydrželo. Měsíc ale lano nepotřebuje, jeho roli přebírá gravitace. Kdyby Země Měsíc přestala přitahovat, uletěl by po tečně stejně jako Šimonův kámen.

Kalkulačka největší rychlosti v zatáčce

Zadejte poloměr zatáčky a vyberte povrch. Kalkulačka spočítá největší rychlost $v_{max}=\sqrt{f\cdot g\cdot r}$ na vodorovné silnici.

Všechno jsme dosud popisovali ze silnice, odkud je vidět, že auto i kámen jen nutí zatáčet síla do středu. Cestující v autě to ale prožívá jinak: tiskne se ke dveřím a z jeho pohledu to vypadá, jako by ho k nim něco tlačilo. Jak se dá pohyb popsat z pohledu někoho, kdo se veze s autem, ukážou setrvačné síly.

Jak zatáčku prožívá cestující uvnitř auta a proč se mu zdá, že ho něco tlačí ven, vysvětluje další článek, Setrvačné síly.