Sentripetalkraft

Sander svinger en stein i en snor over hodet. Steinen går rundt, snoren strammes, og Sander kjenner i hånden hvordan steinen drar i den. Så snart han slipper snoren, flyr steinen av gårde. Å svinge er rett og slett ikke gratis: den som vil at et legeme skal gå rundt på en sirkel, må tvinge det til det med en kraft som peker mot sentrum. Den kalles sentripetalkraft.

Hvis du bare leter etter formelen: på et legeme med massen m som går rundt med farten v på en sirkel med radius r, må det virke en sentripetalkraft

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

der ω er vinkelhastigheten.

Kraften som dreier hastigheten

Ved jevn sirkelbevegelse forblir størrelsen av farten den samme, men hastighetspilen dreier hele tiden. Legemet har derfor sentripetalakselerasjon, som peker mot sentrum av sirkelen og har størrelsen

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Ifølge Newtons andre lov skyldes enhver akselerasjon en resulterende kraft, F = m · a, og den resulterende kraften peker dit akselerasjonen peker. På et legeme på en sirkel må det derfor virke en resultant mot sentrum. Akselerasjonen erstatter vi med sentripetalakselerasjonen:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Setter vi inn den andre formen av akselerasjonen, får vi F_c = m · ω² · r. Vi har ikke funnet på noe nytt, det er den vanlige kraftloven brukt på svinging. Enhetene stemmer:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Ifølge formelen er det desto mer krevende å svinge jo større masse legemet har, jo fortere det går og jo skarpere svingen er. Farten er dessuten opphøyd i andre, så ved dobbelt så stor fart trengs det fire ganger så stor kraft.

Sentripetalkraft er ikke en ny kraft

Her gjøres det ofte feil. Sentripetalkraft er ikke en ny type kraft som står ved siden av tyngdekraften, friksjonskraften eller kraften fra snoren. Det er en rolle som en helt vanlig virkelig kraft, eventuelt resultanten av flere krefter, spiller i en gitt situasjon:

• steinen på sirkelen holdes av kraften fra den strammede snoren,
• bilen i svingen dreies av friksjonen mellom dekkene og veien,
• Månen går rundt Jorda takket være tyngdekraften som Jorda drar den til seg med.

Når du tegner kreftene som virker på et legeme, skal du bare tegne de virkelige. En pil med teksten «sentripetalkraft» lagt til ved siden av snoren er en feil, for da ville kraften fra snoren stått to ganger i bildet. Formelen $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ sier ikke hvor kraften kommer fra. Den sier bare hvor stor resultanten mot sentrum må være for at legemet virkelig skal gå rundt på sirkelen. Noen ganger holder én enkelt kraft, andre ganger deltar flere krefter samtidig, som vi skal se i en sving med overhøyde.

Stein i en snor

Steinen til Sander har massen 0,2 kg, snoren er 1 m lang, og på ett sekund går steinen to ganger rundt sirkelen, perioden er altså 0,5 s. Hvor hardt må snoren dra i steinen?

Vinkelhastigheten er én omdreining, 2π radianer, per periode:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Vi setter inn i den andre formen av formelen. Radian er et bart tall, og derfor blir resultatet i newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Snoren drar i steinen med en kraft på omtrent 32 N, som om en handlepose på tre kilo hang i den. Hvis Sander svingte steinen dobbelt så fort, måtte snoren tåle fire ganger så mye, omtrent 126 N. Tyngdekraften på steinen er bare omtrent 2 N, og den har vi derfor sett bort fra. Ifølge Newtons tredje lov drar steinen med en like stor kraft tilbake i snoren, og snoren overfører den helt til hånden til Sander. Det er nettopp dette draget Sander kjenner.

Når snoren ryker

Hva skjer så snart snoren ryker? Svaret viser animasjonen. Så lenge snoren holder, drar den steinen mot sentrum med den grønne kraften, og den røde hastighetspilen dreier seg. I øyeblikket snoren ryker, forsvinner kraften. I vannrett retning virker det ikke lenger noe på steinen, så ifølge treghetsloven flyr den rett fram, like fort og dit hastigheten pekte i det øyeblikket den ble revet løs. Det er langs tangenten til sirkelen.

Steinen flyr altså ikke «utover» langs en rett linje fra sentrum, slik det kan se ut. Ingenting drar den utover, den har bare sluttet å svinge. Det utnytter slynga: steinen slippes nøyaktig i det øyeblikket hastigheten peker mot målet. Steinen til Sander farer av gårde med farten ω · r ≈ 12,6 m/s, altså omtrent 45 km/h, så vinduet til naboene er i fare.

Bil i en sving

En bil med massen 1200 kg kjører med farten 54 km/h gjennom en sving med radius 50 m. Vi regner om farten, 54 km/h = 15 m/s, og setter inn:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Hvor kommer de 5400 N fra? På veien er det ingen snor. Det som tvinger bilen til å svinge, er bare friksjonen mellom dekkene og asfalten, som peker mot sentrum av svingen.

Dekket glir imidlertid ikke sidelengs over veien. Stedet det berører asfalten, beveger seg i det øyeblikket ikke i forhold til veien, og det er derfor statisk friksjon. Den er akkurat så stor som trengs, her 5400 N, men bare opp til maksimum.

Holder en hvilken som helst vei til det? Vi regner med friksjonstallene for glidning, se friksjon. Statisk friksjon for dekk er gjerne litt større, så resultatene er et forsiktig overslag. For gummi på tørr asfalt er friksjonstallet omtrent 0,7, på våt 0,5, på snø 0,3 og på is 0,1. Tyngdekraften på bilen er 1200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N, og på en vannrett vei er normalkraften like stor. Friksjonen må levere 5400 N, så friksjonstallet må være minst $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Tørr asfalt klarer dette med god margin, på våt går det akkurat. På snø ville friksjonen gi høyst 0,3 · 11 772 N ≈ 3500 N, og bilen ville ikke klart svingen.

Hvor fort kan man ta en sving

På en vannrett vei utligner normalkraften tyngdekraften, N = m · g, og den største friksjonskraften er μ · m · g. Bilen kommer gjennom svingen så lenge friksjonen strekker til:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Den høyeste farten er den der likhet inntreffer. Massen forkortes, begge sider multipliserer vi med radien og tar kvadratroten:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

På tørr asfalt er μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

På tørr vei kan bilen altså ta svingen med høyst omtrent 67 km/h, og våre 54 km/h klarer den med margin. På is er μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Inn i den samme svingen kan man på isete føre kjøre bare litt fortere enn en syklist. Siden massen forkortet seg, gjelder det like mye for en liten bil som for en lastet lastebil med samme dekk. En bil med større masse trenger riktignok større kraft, men den presser også hardere mot veien, og har derfor større friksjon.

Hva om bilen kjører inn i svingen fortere? Friksjonen når sitt maksimum og kan ikke gi mer. Kraften mot sentrum blir mindre enn en sirkel med radius 50 m krever, så bilen svinger mindre. Den følger en slakere bue, i ytterste tilfelle nesten rett fram langs tangenten, og svingen viker unna under hjulene. For en observatør ved veien ser det ut som at bilen «ble båret utover». I virkeligheten dyttet ingenting den utover, friksjonen klarte bare ikke å dreie den nok.

Formelen kan også brukes omvendt. Hvor vid sving trenger motorveien for at man skal kunne kjøre den med 130 km/h, altså omtrent 36,1 m/s? Likningen v² = μ · g · r deler vi på produktet μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

På vått føre med friksjonstallet 0,5 trengs det allerede omtrent 266 m, og selv det er uten noen som helst margin. Svinger på motorveier har derfor en radius på mange hundre meter og er dessuten lagt med overhøyde.

Svinger med overhøyde

I rampene på motorveier, på velodromen og i bobbanen heller svingen: ytterkanten ligger høyere enn innerkanten. Normalkraften står vinkelrett på veien, så den peker ikke lenger loddrett oppover, men på skrå mot sentrum av svingen.

Tyngdekraften og normalkraften opphever da ikke hverandre, og en del av oppgaven som friksjonen har på en rett vei, overtas av normalkraften. Ved passende fart peker resultanten av dem nøyaktig vannrett mot sentrum og står for hele sentripetalkraften, så bilen ville kommet gjennom svingen også uten friksjon, for eksempel på is. På bildet er begge kreftene tegnet fra et felles punkt, så summen deres kan konstrueres med et parallellogram. Jo brattere svingen heller, desto fortere kan man ta den. Syklister på velodromen kjører derfor i svinger som heller som et tak.

Hva som holder Månen

Månen går rundt Jorda i en avstand på omtrent 3,84 · 10⁸ m, og én runde tar 27,3 døgn, altså omtrent 2,36 · 10⁶ s. Farten er

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Månen har massen omtrent 7,35 · 10²² kg. Sentripetalkraften som Jorda må holde den med, blir

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Ingen vaier ville tålt en slik kraft. Men Månen trenger ingen vaier, rollen overtas av tyngdekraften. Hvis Jorda sluttet å dra i Månen, ville den fløyet av gårde langs tangenten akkurat som steinen til Sander.

Kalkulator for høyeste fart i en sving

Skriv inn radien til svingen og velg underlag. Kalkulatoren regner ut den høyeste farten $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ på en vannrett vei.

Alt dette har vi hittil beskrevet fra veien, der vi ser at både bilen og steinen bare tvinges til å svinge av en kraft mot sentrum. Passasjeren i bilen opplever det imidlertid annerledes: han presses mot døren, og fra hans synspunkt ser det ut som om noe presser ham dit. Hvordan en bevegelse kan beskrives fra synspunktet til noen som kjører med i bilen, viser de fiktive kreftene.

Hvordan svingen oppleves av passasjeren inne i bilen, og hvorfor det virker som noe presser ham utover, forklarer neste artikkel, Fiktive krefter.