Zentripetalkraft

Simon schwingt über seinem Kopf einen Stein an einer Schnur im Kreis. Der Stein kreist, die Schnur spannt sich, und Simon spürt in der Hand, wie der Stein an ihr zieht. Sobald er die Schnur aber loslässt, fliegt der Stein davon. Kurvenfahren gibt es eben nicht umsonst: Wer will, dass ein Körper auf einer Kreisbahn umläuft, muss ihn mit einer Kraft dazu zwingen, die zum Mittelpunkt zeigt. Sie heißt Zentripetalkraft.

Falls du nur die Formel suchst: Auf einen Körper der Masse m, der mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r umläuft, muss die Zentripetalkraft

$$F_Z=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

wirken, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist.

Die Kraft, die die Geschwindigkeit dreht

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag der Geschwindigkeit gleich, nur der Geschwindigkeitspfeil dreht sich ständig weiter. Der Körper hat deshalb eine Zentripetalbeschleunigung, die zum Mittelpunkt des Kreises zeigt und den Betrag

$$a_Z=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Nach dem zweiten newtonschen Gesetz entsteht jede Beschleunigung aus einer resultierenden Kraft, F = m · a, und die resultierende Kraft zeigt in die Richtung der Beschleunigung. Auf einen Körper auf der Kreisbahn muss also eine Resultierende zum Mittelpunkt wirken. Wir ersetzen die Beschleunigung durch die Zentripetalbeschleunigung:

$$F_Z=m\cdot a_Z=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Setzen wir die zweite Form der Beschleunigung ein, ergibt sich F_Z = m · ω² · r. Etwas Neues haben wir nicht erfunden, es ist die gewöhnliche Grundgleichung der Mechanik, angewandt auf das Kurvenfahren. Die Einheiten stimmen:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Nach der Formel ist das Kurvenfahren umso anspruchsvoller, je größer die Masse des Körpers ist, je schneller er fährt und je enger die Kurve ist. Die Geschwindigkeit geht dabei im Quadrat ein, bei doppelter Geschwindigkeit braucht man also eine viermal so große Kraft.

Die Zentripetalkraft ist keine neue Kraft

Hier passieren oft Fehler. Die Zentripetalkraft ist nicht noch eine Art von Kraft, die neben der Gewichtskraft, der Reibungskraft oder der Schnurkraft stünde. Sie ist eine Rolle, die in der jeweiligen Situation irgendeine ganz gewöhnliche tatsächliche Kraft spielt, oder auch die Resultierende mehrerer Kräfte:

• den Stein auf der Kreisbahn hält die Kraft der gespannten Schnur,
• das Auto in der Kurve lenkt die Reibung zwischen Reifen und Straße,
• der Mond umkreist die Erde dank der Gravitation, mit der die Erde ihn anzieht.

Wenn du die Kräfte zeichnest, die auf einen Körper wirken, zeichne nur die tatsächlichen ein. Ein zusätzlicher Pfeil mit der Aufschrift „Zentripetalkraft“ neben der Schnur ist ein Fehler, denn dann wäre die Schnurkraft zweimal in der Zeichnung. Die Formel $F_Z=\frac{m\cdot v^2}{r}$ sagt nicht, woher die Kraft kommt. Sie sagt nur, wie groß die Resultierende zum Mittelpunkt sein muss, damit der Körper wirklich auf der Kreisbahn umläuft. Manchmal genügt eine einzige Kraft, manchmal wirken mehrere zugleich mit, wie wir bei der überhöhten Kurve sehen werden.

Ein Stein an der Schnur

Simons Stein hat die Masse 0,2 kg, die Schnur ist 1 m lang, und er durchläuft den Kreis zweimal pro Sekunde, die Umlaufdauer beträgt also 0,5 s. Wie stark muss die Schnur an dem Stein ziehen?

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine Umdrehung, 2π Radiant, geteilt durch die Umlaufdauer:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Wir setzen in die zweite Form der Formel ein. Der Radiant ist eine reine Zahl, und das Ergebnis kommt deshalb in Newton heraus:

$$\begin{array}{rl}{F}_Z& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Die Schnur zieht den Stein mit einer Kraft von etwa 32 N, als würde eine Tasche mit drei Kilo an ihr hängen. Würde Simon den Stein doppelt so schnell kreisen lassen, müsste die Schnur viermal so viel aushalten, etwa 126 N. Die Gewichtskraft des Steins beträgt nur etwa 2 N, deshalb haben wir sie vernachlässigt. Nach dem dritten newtonschen Gesetz zieht der Stein mit einer gleich großen Kraft an der Schnur zurück, und die Schnur überträgt sie bis in Simons Hand. Dieses Ziehen spürt Simon.

Wenn die Schnur reißt

Was passiert, sobald die Schnur reißt? Die Animation zeigt es. Solange die Schnur hält, zieht sie den Stein mit der grünen Kraft zum Mittelpunkt, und der rote Geschwindigkeitspfeil dreht sich weiter. In dem Moment, in dem die Schnur reißt, verschwindet die Kraft. In waagerechter Richtung wirkt auf den Stein nichts mehr, nach dem Trägheitsgesetz fliegt er also geradeaus weiter, mit der gleichen Geschwindigkeit und in die Richtung, in die seine Geschwindigkeit im Augenblick des Reißens zeigte. Das ist tangential zum Kreis.

Der Stein fliegt also nicht „nach außen“ auf einer Geraden vom Mittelpunkt weg, wie es scheinen könnte. Nichts zieht ihn nach außen, er hat einfach aufgehört, die Kurve zu fahren. Das nutzt die Steinschleuder: Der Stein wird genau in dem Moment losgelassen, in dem seine Geschwindigkeit aufs Ziel zeigt. Simons Stein fliegt mit ω · r ≈ 12,6 m/s los, das sind etwa 45 km/h, und das Fenster der Nachbarn ist in Gefahr.

Ein Auto in der Kurve

Ein Auto mit einer Masse von 1.200 kg fährt mit 54 km/h durch eine Kurve mit dem Radius 50 m. Wir rechnen die Geschwindigkeit um, 54 km/h = 15 m/s, und setzen ein:

$$F_Z=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

Woher kommen diese 5.400 N? Auf der Straße gibt es keine Schnur. Nur die Reibung zwischen Reifen und Asphalt, die zum Mittelpunkt der Kurve zeigt, zwingt das Auto in die Kurve.

Der Reifen rutscht dabei nicht seitlich über die Straße. Die Stelle, an der er den Asphalt berührt, bewegt sich in diesem Moment relativ zur Straße nicht, es handelt sich also um Haftreibung. Sie ist genau so groß, wie nötig, hier 5.400 N, aber nur bis zu ihrem Maximum.

Genügt dafür jede Straße? Wir rechnen mit den Gleitreibungszahlen aus dem Artikel Reibung. Die Haftreibung der Reifen ist meist etwas größer, die Ergebnisse sind also eine vorsichtige Schätzung. Für Gummi auf trockenem Asphalt beträgt die Zahl etwa 0,7, auf nassem 0,5, auf Schnee 0,3 und auf Eis 0,1. Die Gewichtskraft des Autos ist 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N, und genauso groß ist auf einer waagerechten Straße die Normalkraft. Die Reibung muss 5.400 N liefern, die Reibungszahl muss also mindestens $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$ betragen. Trockener Asphalt schafft das mit Leichtigkeit, auf nassem reicht es gerade so. Auf Schnee könnte die Reibung höchstens 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N liefern, und das Auto würde die Kurve nicht schaffen.

Wie schnell man durch die Kurve fahren kann

Auf einer waagerechten Straße gleicht die Normalkraft die Gewichtskraft aus, F_N = m · g, und die größte Reibungskraft ist μ · m · g. Das Auto kommt durch die Kurve, solange die Reibung reicht:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Die größte Geschwindigkeit ist die, bei der Gleichheit eintritt. Die Masse kürzt sich heraus, wir multiplizieren beide Seiten mit dem Radius und ziehen die Wurzel:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Auf trockenem Asphalt ist μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Auf trockener Straße kann das Auto die Kurve also höchstens mit etwa 67 km/h durchfahren, und unsere 54 km/h schafft es mit Reserve. Auf Eis ist μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

In dieselbe Kurve kann man bei Glatteis nur wenig schneller einfahren, als ein Radfahrer fährt. Weil sich die Masse herausgekürzt hat, gilt das genauso für einen Kleinwagen wie für einen beladenen Lkw mit denselben Reifen. Ein Auto mit größerer Masse braucht zwar eine größere Kraft, drückt aber auch stärker auf die Straße und hat deshalb auch mehr Reibung.

Was, wenn das Auto schneller in die Kurve fährt? Die Reibung erreicht ihr Maximum und kann nicht mehr liefern. Die Kraft zum Mittelpunkt ist kleiner, als ein Kreis mit dem Radius 50 m erfordern würde, das Auto lenkt also weniger ein. Es fährt einen flacheren Bogen, im Extremfall fast geradeaus in tangentialer Richtung, und die Straße biegt unter den Rädern weg. Einem Beobachter am Straßenrand scheint es, als sei das Auto „hinausgetragen“ worden. In Wirklichkeit hat es nichts nach außen gedrückt, die Reibung konnte es nur nicht stark genug umlenken.

Die Formel lässt sich auch umgekehrt verwenden. Welchen Radius muss eine Autobahnkurve haben, damit man sie mit 130 km/h befahren kann, also mit etwa 36,1 m/s? Wir teilen die Gleichung v² = μ · g · r durch das Produkt μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Auf nasser Straße mit der Zahl 0,5 braucht man schon etwa 266 m, und auch das noch ganz ohne Reserve. Autobahnkurven haben deshalb Radien von mehreren hundert Metern und sind zudem überhöht.

Überhöhte Kurven

Auf Autobahnauffahrten, auf der Radrennbahn und auf der Bobbahn ist die Kurve geneigt: Der äußere Rand liegt höher als der innere. Die Normalkraft steht senkrecht auf der Straße, zeigt also nicht mehr senkrecht nach oben, sondern schräg zum Mittelpunkt der Kurve.

Gewichtskraft und Normalkraft heben sich dann nicht auf, und einen Teil der Aufgabe, die auf der ebenen Straße die Reibung erfüllt, übernimmt die Normalkraft. Bei passender Geschwindigkeit zeigt ihre Resultierende genau waagerecht zum Mittelpunkt und liefert die ganze Zentripetalkraft, sodass das Auto die Kurve auch ohne Reibung durchfahren könnte, zum Beispiel auf Eis. In der Abbildung sind beide Kräfte von einem gemeinsamen Punkt aus gezeichnet, damit sich ihre Summe mit einem Parallelogramm konstruieren lässt. Je steiler die Kurve geneigt ist, desto schneller kann man sie durchfahren. Auf der Radrennbahn fahren die Radfahrer deshalb durch Kurven, die so steil geneigt sind wie ein Dach.

Was den Mond hält

Der Mond umkreist die Erde in einem Abstand von etwa 3,84 · 10⁸ m, und ein Umlauf dauert 27,3 Tage, also etwa 2,36 · 10⁶ s. Seine Geschwindigkeit ist

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Der Mond hat eine Masse von etwa 7,35 · 10²² kg. Die Zentripetalkraft, mit der die Erde ihn halten muss, ergibt sich zu

$$\begin{array}{rl}{F}_Z& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Kein Seil würde so eine Kraft aushalten. Der Mond braucht aber auch kein Seil, seine Rolle übernimmt die Gravitation. Würde die Erde den Mond nicht mehr anziehen, würde er tangential davonfliegen wie Simons Stein.

Rechner für die größte Geschwindigkeit in der Kurve

Gib den Radius der Kurve ein und wähle den Untergrund. Der Rechner berechnet die größte Geschwindigkeit $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ auf einer waagerechten Straße.

Bisher haben wir alles von der Straße aus beschrieben, und von dort sieht man, dass Auto und Stein nur von einer Kraft zum Mittelpunkt in die Kurve gezwungen werden. Der Fahrgast im Auto erlebt es aber anders: Er wird gegen die Tür gedrückt, und aus seiner Sicht sieht es aus, als würde ihn etwas dagegen drücken. Wie man die Bewegung aus Sicht von jemandem beschreibt, der im Auto mitfährt, zeigen die Trägheitskräfte.

Wie der Fahrgast im Auto die Kurve erlebt und warum es ihm so vorkommt, als würde ihn etwas nach außen drücken, erklärt der nächste Artikel, Trägheitskräfte.