Force centripète

Simon fait tourner une pierre au bout d’une ficelle au-dessus de sa tête. La pierre tourne, la ficelle se tend et Simon sent dans sa main la pierre qui tire. Mais dès qu’il lâche la ficelle, la pierre s’envole au loin. Tourner n’est tout simplement pas gratuit : pour qu’un corps décrive un cercle, il faut l’y obliger par une force dirigée vers le centre. On l’appelle la force centripète.

Si tu cherches seulement la formule : sur un corps de masse m qui décrit à la vitesse v un cercle de rayon r, il faut qu’une force centripète s’exerce

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

où ω est la vitesse angulaire.

Une force qui fait tourner la vitesse

Dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse reste la même, mais la flèche de la vitesse tourne sans cesse. Le corps a donc une accélération centripète, dirigée vers le centre du cercle, de valeur

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

D’après la deuxième loi de Newton, toute accélération provient d’une résultante, F = m · a, et la résultante est dirigée comme l’accélération. Sur un corps qui décrit un cercle, il doit donc s’exercer une résultante dirigée vers le centre. Nous remplaçons l’accélération par l’accélération centripète :

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

En remplaçant l’accélération par sa seconde forme, on obtient F_c = m · ω² · r. Nous n’avons rien inventé de nouveau, c’est le principe fondamental de la dynamique, tout simplement appliqué à un virage. Les unités sont cohérentes :

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

D’après la formule, tourner est d’autant plus exigeant que le corps a une grande masse, qu’il va vite et que le virage est serré. La vitesse est élevée au carré, donc à vitesse double, il faut une force quatre fois plus grande.

La force centripète n’est pas une nouvelle force

C’est ici qu’on se trompe souvent. La force centripète n’est pas un autre type de force qui viendrait s’ajouter au poids, aux frottements ou à la force de la ficelle. C’est un rôle que joue, dans une situation donnée, une force réelle tout à fait ordinaire, ou la résultante de plusieurs forces :

• ce qui retient la pierre sur le cercle, c’est la force de la ficelle tendue,
• ce qui fait tourner la voiture dans un virage, ce sont les frottements entre les pneus et la route,
• la Lune tourne autour de la Terre grâce à la gravitation par laquelle la Terre l’attire.

Quand tu dessines les forces qui s’exercent sur un corps, ne dessine que les forces réelles. Une flèche « force centripète » ajoutée à côté de la ficelle est une erreur, car la force de la ficelle apparaîtrait deux fois sur la figure. La formule $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ ne dit pas d’où vient la force. Elle dit seulement quelle doit être la valeur de la résultante dirigée vers le centre pour que le corps décrive vraiment un cercle. Parfois une seule force suffit, parfois plusieurs y contribuent à la fois, comme nous le verrons pour le virage relevé.

Une pierre au bout d’une ficelle

La pierre de Simon a une masse de 0,2 kg, la ficelle mesure 1 m et la pierre fait deux tours par seconde, la période est donc de 0,5 s. Avec quelle force la ficelle doit-elle tirer la pierre ?

La vitesse angulaire est un tour, 2π radians, par période :

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Nous remplaçons dans la seconde forme de la formule. Le radian est un nombre pur, c’est pourquoi le résultat s’exprime en newtons :

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

La ficelle tire la pierre avec une force d’environ 32 N, comme si un sac de trois kilos y était suspendu. Si Simon faisait tourner la pierre deux fois plus vite, la ficelle devrait supporter quatre fois plus, environ 126 N. Le poids de la pierre n’est que d’environ 2 N, c’est pourquoi nous l’avons négligé. D’après la troisième loi de Newton, la pierre tire en retour sur la ficelle avec une force de même valeur et la ficelle la transmet jusqu’à la main de Simon. C’est exactement cette traction que Simon sent.

Quand la ficelle casse

Que se passe-t-il dès que la ficelle se rompt ? L’animation montre la réponse. Tant que la ficelle tient, elle tire la pierre vers le centre avec la force verte et la flèche rouge de la vitesse tourne. Au moment où la ficelle casse, la force disparaît. Dans la direction horizontale, plus rien ne s’exerce sur la pierre, qui part donc, d’après le principe d’inertie, en ligne droite, à la même vitesse et dans la direction qu’avait sa vitesse à l’instant de la rupture. C’est suivant la tangente au cercle.

La pierre ne s’envole donc pas « vers l’extérieur » en ligne droite à partir du centre, comme on pourrait le croire. Rien ne la tire vers l’extérieur, elle a simplement cessé de tourner. C’est ce qu’exploite la fronde : on lâche la pierre exactement au moment où sa vitesse est dirigée vers la cible. La pierre de Simon partirait à la vitesse ω · r ≈ 12,6 m/s, soit environ 45 km/h, la fenêtre des voisins est donc en danger.

Une voiture dans un virage

Une voiture de masse 1 200 kg prend à 54 km/h un virage de rayon 50 m. Nous convertissons la vitesse, 54 km/h = 15 m/s, et nous remplaçons :

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

D’où viennent ces 5 400 N ? Sur la route, il n’y a pas de ficelle. Ce qui oblige la voiture à tourner, ce sont seulement les frottements entre les pneus et l’asphalte, dirigés vers le centre du virage.

Le pneu ne glisse pas latéralement sur la route. La partie du pneu qui touche l’asphalte ne bouge pas par rapport à la route à cet instant, il s’agit donc du frottement statique. Il est exactement aussi grand qu’il le faut, ici 5 400 N, mais seulement jusqu’à son maximum.

Une route quelconque suffit-elle ? Nous calculerons avec les coefficients de frottement de glissement. Le frottement statique des pneus est en général un peu plus grand, les résultats sont donc une estimation prudente. Pour le caoutchouc sur l’asphalte sec, le coefficient est d’environ 0,7, sur l’asphalte mouillé 0,5, sur la neige 0,3 et sur la glace 0,1. Le poids de la voiture est 1 200 kg · 9,81 m/s² = 11 772 N et la réaction normale a la même valeur sur une route horizontale. Les frottements doivent fournir 5 400 N, le coefficient de frottement doit donc être au moins $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0,46$. L’asphalte sec y arrive sans peine, sur le mouillé cela passe de justesse. Sur la neige, les frottements ne donneraient au plus que 0,3 · 11 772 N ≈ 3 500 N et la voiture ne passerait pas le virage.

À quelle vitesse peut-on prendre un virage

Sur une route horizontale, la réaction normale équilibre le poids, R_N = m · g, et la force de frottement maximale est μ · m · g. La voiture passe le virage tant que les frottements suffisent :

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

La vitesse maximale est celle pour laquelle il y a égalité. La masse se simplifie, nous multiplions les deux membres par le rayon et nous prenons la racine carrée :

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Sur l’asphalte sec, μ = 0,7 :

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Sur le sec, la voiture peut donc prendre le virage à 67 km/h au maximum et nos 54 km/h passent avec de la marge. Sur la glace, μ = 0,1 :

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Dans le même virage sur le verglas, on ne peut entrer qu’à peine plus vite que ne roule un cycliste. Comme la masse s’est simplifiée, cela vaut de la même façon pour une petite voiture et pour un camion chargé, avec les mêmes pneus. Une voiture de plus grande masse a certes besoin d’une force plus grande, mais elle appuie aussi plus fort sur la route, et ses frottements sont donc plus grands aussi.

Et si la voiture entre plus vite dans le virage ? Les frottements atteignent leur maximum et ne peuvent pas donner plus. La force vers le centre est plus petite que ce qu’il faudrait pour un cercle de rayon 50 m, la voiture tourne donc moins. Elle suit un arc plus doux, dans le cas extrême presque en ligne droite suivant la tangente, et le virage lui échappe sous les roues. Pour un observateur au bord de la route, la voiture semble « emportée vers l’extérieur ». En réalité, rien ne la poussait vers l’extérieur, les frottements n’ont simplement pas pu la faire tourner assez.

On peut aussi utiliser la formule dans l’autre sens. Quel rayon de virage faut-il à une autoroute pour qu’on puisse le prendre à 130 km/h, soit environ 36,1 m/s ? Nous divisons l’équation v² = μ · g · r par le produit μ · g :

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Sur le mouillé, avec un coefficient de 0,5, il faut déjà environ 266 m, et même cela reste sans aucune marge. Les virages d’autoroute ont donc en général un rayon de plusieurs centaines de mètres et sont souvent relevés en plus.

Virages relevés

Sur les bretelles d’autoroute, sur un vélodrome et sur une piste de bobsleigh, le virage est incliné : le bord extérieur est plus haut que le bord intérieur. La réaction normale est perpendiculaire à la route, elle n’est donc plus dirigée verticalement vers le haut, mais en biais vers le centre du virage.

Le poids et la réaction normale ne s’annulent alors pas et la réaction normale prend en charge une partie de la tâche que les frottements assurent sur une route plate. À la bonne vitesse, leur résultante est dirigée exactement horizontalement vers le centre et fournit toute la force centripète, la voiture passerait donc le virage même sans frottements, par exemple sur la glace. Sur la figure, les deux forces sont dessinées à partir d’un point commun, pour qu’on puisse construire leur somme par un parallélogramme. Plus le virage est incliné, plus on peut le prendre vite. Les cyclistes du vélodrome roulent donc dans des virages inclinés comme un toit.

Ce qui retient la Lune

La Lune tourne autour de la Terre à une distance d’environ 3,84 · 10⁸ m et un tour lui prend 27,3 jours, soit environ 2,36 · 10⁶ s. Sa vitesse est

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

La Lune a une masse d’environ 7,35 · 10²² kg. La force centripète que la Terre doit exercer pour la retenir est

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Aucun câble ne supporterait une telle force. Mais la Lune n’a pas besoin de câble, son rôle est joué par la gravitation. Si la Terre cessait d’attirer la Lune, celle-ci partirait suivant la tangente, comme la pierre de Simon.

Calculatrice de la vitesse maximale dans un virage

Entre le rayon du virage et choisis le revêtement. La calculatrice calcule la vitesse maximale $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ sur une route horizontale.

Jusqu’ici, nous avons tout décrit depuis la route, d’où l’on voit que la voiture comme la pierre sont simplement obligées de tourner par une force dirigée vers le centre. Mais le passager de la voiture le vit autrement : il est plaqué contre la portière et, de son point de vue, on dirait que quelque chose l’y pousse. Comment décrire le mouvement du point de vue de quelqu’un qui voyage dans la voiture, les forces d’inertie le montrent.

Comment le passager à l’intérieur de la voiture vit le virage et pourquoi il lui semble que quelque chose le pousse vers l’extérieur, l’article suivant l’explique : Forces d’inertie.