Κεντρομόλος δύναμη

Ο Σίμος περιστρέφει πάνω από το κεφάλι του μια πέτρα δεμένη σε σχοινί. Η πέτρα κινείται κυκλικά, το σχοινί τεντώνεται και ο Σίμος νιώθει στο χέρι του την πέτρα να τον τραβάει. Μόλις όμως αφήσει το σχοινί, η πέτρα πετάγεται μακριά. Η στροφή δεν γίνεται δωρεάν: όποιος θέλει ένα σώμα να κινείται σε κύκλο, πρέπει να το αναγκάζει με δύναμη που κατευθύνεται προς το κέντρο. Αυτή λέγεται κεντρομόλος δύναμη.

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο: σε ένα σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ σε κύκλο ακτίνας R πρέπει να ασκείται κεντρομόλος δύναμη

$$F_{\kappa }=\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}=m\cdot {\omega }^2\cdot R,$$

όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα.

Η δύναμη που στρέφει την ταχύτητα

Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας μένει σταθερό, όμως το βέλος της ταχύτητας στρέφεται συνεχώς. Γι' αυτό το σώμα έχει κεντρομόλο επιτάχυνση, που κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου και έχει μέτρο

$${\alpha }_{\kappa }=\frac{{\upsilon }^2}{R}={\omega }^2\cdot R.$$

Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα κάθε επιτάχυνση προκύπτει από μια συνισταμένη δύναμη, F = m · α, και η συνισταμένη δύναμη έχει την κατεύθυνση της επιτάχυνσης. Σε ένα σώμα που κινείται σε κύκλο πρέπει επομένως να ασκείται συνισταμένη προς το κέντρο. Την επιτάχυνση την αντικαθιστούμε με την κεντρομόλο επιτάχυνση:

$$F_{\kappa }=m\cdot {\alpha }_{\kappa }=\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}$$

Αν αντικαταστήσουμε τη δεύτερη μορφή της επιτάχυνσης, βγαίνει F_κ = m · ω² · R. Δεν ανακαλύψαμε κάτι καινούργιο, πρόκειται για τον συνηθισμένο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα εφαρμοσμένο στη στροφή. Οι μονάδες συμφωνούν:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Σύμφωνα με τον τύπο, η στροφή είναι τόσο πιο απαιτητική, όσο μεγαλύτερη μάζα έχει το σώμα, όσο πιο γρήγορα κινείται και όσο πιο κλειστή είναι η στροφή. Η ταχύτητα μάλιστα υψώνεται στο τετράγωνο, άρα με διπλάσια ταχύτητα χρειάζεται τετραπλάσια δύναμη.

Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι καινούργια δύναμη

Εδώ γίνονται συχνά λάθη. Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι άλλο είδος δύναμης, που θα στεκόταν δίπλα στο βάρος, την τριβή ή τη δύναμη του σχοινιού. Είναι ένας ρόλος, τον οποίο σε μια δεδομένη περίπτωση παίζει κάποια εντελώς συνηθισμένη πραγματική δύναμη ή η συνισταμένη περισσότερων δυνάμεων:

• την πέτρα στον κύκλο τη συγκρατεί η δύναμη του τεντωμένου σχοινιού,
• το αυτοκίνητο στη στροφή το στρέφει η τριβή ανάμεσα στα ελαστικά και στον δρόμο,
• η Σελήνη περιφέρεται γύρω από τη Γη χάρη στη βαρύτητα, με την οποία την έλκει η Γη.

Όταν σχεδιάζεις τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, σχεδίασε μόνο τις πραγματικές. Ένα βέλος με την ένδειξη «κεντρομόλος δύναμη» που προστίθεται επιπλέον δίπλα στο σχοινί είναι λάθος, γιατί η δύναμη του σχοινιού θα υπήρχε στο σχήμα δύο φορές. Ο τύπος $F_{\kappa }=\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}$ δεν λέει από πού προέρχεται η δύναμη. Λέει μόνο πόσο μεγάλη πρέπει να είναι η συνισταμένη που κατευθύνεται προς το κέντρο, ώστε το σώμα να κινείται πραγματικά σε κύκλο. Κάποτε αρκεί μία δύναμη, άλλοτε συμμετέχουν περισσότερες ταυτόχρονα, όπως θα δούμε στην κεκλιμένη στροφή.

Πέτρα στο σχοινί

Η πέτρα του Σίμου έχει μάζα 0,2 kg, το σχοινί έχει μήκος 1 m και σε ένα δευτερόλεπτο η πέτρα κάνει δύο κύκλους, άρα η περίοδος είναι 0,5 s. Πόσο δυνατά πρέπει να τραβάει το σχοινί την πέτρα;

Η γωνιακή ταχύτητα είναι μία περιστροφή, 2π ακτίνια, ανά περίοδο:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη μορφή του τύπου. Το ακτίνιο είναι καθαρός αριθμός και γι' αυτό το αποτέλεσμα βγαίνει σε νιούτον:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\kappa }& =m\cdot {\omega }^2\cdot R=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Το σχοινί τραβάει την πέτρα με δύναμη περίπου 32 N, σαν να κρέμονταν από αυτό μια τσάντα τριών κιλών. Αν ο Σίμος περιέστρεφε την πέτρα με διπλάσια ταχύτητα, το σχοινί θα έπρεπε να αντέξει τέσσερις φορές περισσότερο, περίπου 126 N. Το βάρος της πέτρας είναι μόνο περίπου 2 N και γι' αυτό το αμελήσαμε. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα η πέτρα τραβάει το σχοινί προς τα πίσω με ίση δύναμη και το σχοινί τη μεταφέρει ως το χέρι του Σίμου. Αυτό ακριβώς το τράβηγμα νιώθει ο Σίμος.

Όταν σπάσει το σχοινί

Τι συμβαίνει μόλις κοπεί το σχοινί; Την απάντηση τη δείχνει η κινούμενη εικόνα. Όσο το σχοινί αντέχει, τραβάει την πέτρα με την πράσινη δύναμη προς το κέντρο και το κόκκινο βέλος της ταχύτητας στρέφεται. Τη στιγμή που σπάει το σχοινί, η δύναμη εξαφανίζεται. Στην οριζόντια διεύθυνση δεν ασκείται πια τίποτα στην πέτρα, άρα σύμφωνα με τον νόμο της αδράνειας πετά ευθεία, με την ίδια ταχύτητα και προς τα εκεί που έδειχνε η ταχύτητά της τη στιγμή που κόπηκε το σχοινί, δηλαδή κατά την εφαπτομένη του κύκλου.

Η πέτρα δηλαδή δεν πετάγεται «προς τα έξω» σε ευθεία από το κέντρο, όπως ίσως φαίνεται. Τίποτα δεν την τραβάει προς τα έξω, απλώς σταμάτησε να στρίβει. Αυτό εκμεταλλεύεται η σφεντόνα: η πέτρα αφήνεται ακριβώς τη στιγμή που η ταχύτητά της δείχνει προς τον στόχο. Η πέτρα του Σίμου φεύγει με ταχύτητα ω · R ≈ 12,6 m/s, δηλαδή περίπου 45 km/h, οπότε το παράθυρο των γειτόνων κινδυνεύει.

Αυτοκίνητο στη στροφή

Ένα αυτοκίνητο μάζας 1.200 kg περνά με ταχύτητα 54 km/h μια στροφή ακτίνας 50 m. Μετατρέπουμε την ταχύτητα, 54 km/h = 15 m/s, και αντικαθιστούμε:

$$F_{\kappa }=\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

Από πού προέρχονται αυτά τα 5.400 N; Στο δρόμο δεν υπάρχει κανένα σχοινί. Το αυτοκίνητο το αναγκάζει να στρίψει μόνο η τριβή ανάμεσα στα ελαστικά και στην άσφαλτο, που κατευθύνεται προς το κέντρο της στροφής.

Το ελαστικό δεν γλιστράει πλάγια πάνω στον δρόμο. Το σημείο με το οποίο ακουμπά στην άσφαλτο δεν κινείται εκείνη τη στιγμή ως προς τον δρόμο, και γι' αυτό πρόκειται για στατική τριβή. Είναι ακριβώς τόσο μεγάλη όσο χρειάζεται, εδώ 5.400 N, αλλά μόνο μέχρι τη μέγιστη τιμή της.

Αρκεί γι' αυτό οποιοσδήποτε δρόμος; Θα υπολογίσουμε με τους συντελεστές τριβής ολίσθησης. Η στατική τριβή των ελαστικών είναι συνήθως λίγο μεγαλύτερη, άρα τα αποτελέσματα είναι μια προσεκτική εκτίμηση. Για λάστιχο σε στεγνή άσφαλτο ο συντελεστής είναι περίπου 0,7, σε βρεγμένη 0,5, σε χιόνι 0,3 και σε πάγο 0,1. Το βάρος του αυτοκινήτου είναι 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N και ίση με αυτό είναι στον οριζόντιο δρόμο η κάθετη δύναμη. Η τριβή πρέπει να δώσει 5.400 N, άρα ο συντελεστής τριβής πρέπει να είναι τουλάχιστον $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Η στεγνή άσφαλτος το καταφέρνει άνετα, στη βρεγμένη βγαίνει οριακά. Στο χιόνι η τριβή θα έδινε το πολύ 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N και το αυτοκίνητο δεν θα έπαιρνε τη στροφή.

Με ποια ταχύτητα περνά κανείς μια στροφή

Σε οριζόντιο δρόμο η κάθετη δύναμη εξισορροπεί το βάρος, N = m · g, και η μέγιστη τριβή είναι μ · m · g. Το αυτοκίνητο περνά τη στροφή όσο η τριβή αρκεί:

$$\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Η μέγιστη ταχύτητα είναι αυτή για την οποία ισχύει ισότητα. Η μάζα απλοποιείται, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με την ακτίνα και παίρνουμε τετραγωνική ρίζα:

$${\upsilon }_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot R}$$

Σε στεγνή άσφαλτο είναι μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Σε στεγνό δρόμο το αυτοκίνητο μπορεί λοιπόν να περάσει τη στροφή το πολύ με περίπου 67 km/h και τα δικά μας 54 km/h τα καταφέρνει με άνεση. Στον πάγο είναι μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Στην ίδια στροφή σε παγωμένο δρόμο μπορείς να μπεις μόνο λίγο πιο γρήγορα από έναν ποδηλάτη. Επειδή η μάζα απλοποιήθηκε, αυτό ισχύει το ίδιο για ένα μικρό αυτοκίνητο και για ένα φορτωμένο φορτηγό με τα ίδια ελαστικά. Ένα αυτοκίνητο με μεγαλύτερη μάζα χρειάζεται μεν μεγαλύτερη δύναμη, πιέζει όμως και περισσότερο τον δρόμο και έτσι έχει και μεγαλύτερη τριβή.

Τι γίνεται αν το αυτοκίνητο μπει στη στροφή πιο γρήγορα; Η τριβή φτάνει στο μέγιστο και περισσότερη δεν δίνει. Η δύναμη προς το κέντρο είναι μικρότερη από όση θα χρειαζόταν ένας κύκλος ακτίνας 50 m, άρα το αυτοκίνητο στρίβει λιγότερο. Κινείται σε πιο ανοιχτό τόξο, στην οριακή περίπτωση σχεδόν ευθεία κατά την εφαπτομένη, και η στροφή του φεύγει κάτω από τις ρόδες. Σε έναν παρατηρητή στην άκρη του δρόμου φαίνεται ότι το αυτοκίνητο «βγήκε έξω». Στην πραγματικότητα δεν το έσπρωξε τίποτα προς τα έξω, η τριβή απλώς δεν μπόρεσε να το στρέψει αρκετά.

Ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και αντίστροφα. Πόσο ανοιχτή στροφή χρειάζεται ένας αυτοκινητόδρομος, για να περνά κανείς με 130 km/h, δηλαδή περίπου 36,1 m/s; Την εξίσωση υ² = μ · g · R τη διαιρούμε με το γινόμενο μ · g:

$$R=\frac{{\upsilon }^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Στο βρεγμένο, με συντελεστή 0,5, χρειάζονται ήδη περίπου 266 m, και κι αυτό χωρίς κανένα περιθώριο. Οι στροφές των αυτοκινητοδρόμων έχουν γι' αυτό ακτίνα πολλών εκατοντάδων μέτρων και επιπλέον είναι κεκλιμένες.

Κεκλιμένες στροφές

Στους κόμβους των αυτοκινητοδρόμων, στο ποδηλατοδρόμιο και στην πίστα μπόμπσλεϊ η στροφή είναι κεκλιμένη: το εξωτερικό άκρο βρίσκεται ψηλότερα από το εσωτερικό. Η κάθετη δύναμη είναι κάθετη στον δρόμο, άρα δεν κατευθύνεται πια κατακόρυφα προς τα πάνω, αλλά πλάγια προς το κέντρο της στροφής.

Το βάρος και η κάθετη δύναμη δεν αλληλοαναιρούνται πια και ένα μέρος του ρόλου που στον ίσιο δρόμο παίζει η τριβή το αναλαμβάνει η κάθετη δύναμη. Με κατάλληλη ταχύτητα η συνισταμένη τους κατευθύνεται ακριβώς οριζόντια προς το κέντρο και εξασφαλίζει ολόκληρη την κεντρομόλο δύναμη, οπότε το αυτοκίνητο θα περνούσε τη στροφή ακόμη και χωρίς τριβή, ας πούμε σε πάγο. Στο σχήμα οι δύο δυνάμεις είναι σχεδιασμένες από κοινό σημείο, ώστε το άθροισμά τους να κατασκευάζεται με παραλληλόγραμμο. Όσο πιο απότομα κλίνει η στροφή, τόσο πιο γρήγορα μπορεί κανείς να τη διασχίσει. Γι' αυτό οι ποδηλάτες στο ποδηλατοδρόμιο τρέχουν σε στροφές κεκλιμένες σαν στέγη.

Τι κρατά τη Σελήνη

Η Σελήνη κινείται γύρω από τη Γη σε απόσταση περίπου 3,84 · 10⁸ m και μία περιφορά διαρκεί 27,3 ημέρες, δηλαδή περίπου 2,36 · 10⁶ s. Η ταχύτητά της είναι

$$\upsilon =\frac{2\pi \cdot R}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Η Σελήνη έχει μάζα περίπου 7,35 · 10²² kg. Η κεντρομόλος δύναμη, με την οποία πρέπει να την κρατά η Γη, βγαίνει

$$\begin{array}{rl}{F}_{\kappa }& =\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Κανένα σχοινί δεν θα άντεχε τέτοια δύναμη. Η Σελήνη όμως δεν χρειάζεται σχοινί, τον ρόλο του παίζει η βαρύτητα. Αν η Γη σταματούσε να έλκει τη Σελήνη, εκείνη θα έφευγε κατά την εφαπτομένη, ακριβώς όπως η πέτρα του Σίμου.

Αριθμομηχανή μέγιστης ταχύτητας σε στροφή

Δώσε την ακτίνα της στροφής και διάλεξε επιφάνεια. Η αριθμομηχανή υπολογίζει τη μέγιστη ταχύτητα ${\upsilon }_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot R}$ σε οριζόντιο δρόμο.

Όλα μέχρι τώρα τα περιγράψαμε από τον δρόμο, απ' όπου φαίνεται ότι το αυτοκίνητο και η πέτρα αναγκάζονται να στρίψουν μόνο από μια δύναμη προς το κέντρο. Ο επιβάτης στο αυτοκίνητο όμως το βιώνει διαφορετικά: κολλάει στην πόρτα και από τη δική του οπτική είναι σαν να τον σπρώχνει κάτι προς αυτήν. Πώς περιγράφεται η κίνηση από την οπτική γωνία κάποιου που ταξιδεύει μέσα στο αυτοκίνητο, θα το δείξουν οι αδρανειακές δυνάμεις.

Πώς βιώνει τη στροφή ο επιβάτης μέσα στο αυτοκίνητο και γιατί του φαίνεται ότι κάτι τον σπρώχνει προς τα έξω, εξηγεί το επόμενο άρθρο, Αδρανειακές δυνάμεις.