Força centrípeta

Samuel faz girar sobre a cabeça uma pedra presa a um barbante. A pedra gira, o barbante se estica e Samuel sente na mão a pedra puxando. Assim que ele solta o barbante, porém, a pedra sai voando. Fazer curva simplesmente não é de graça: quem quer que um corpo gire em uma circunferência precisa obrigá-lo a isso com uma força que aponte para o centro. Ela se chama força centrípeta.

Se você procura só a fórmula: sobre um corpo de massa m que gira com velocidade v numa circunferência de raio r precisa agir a força centrípeta

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

onde ω é a velocidade angular.

A força que gira a velocidade

No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade continua o mesmo, só que a seta da velocidade gira sem parar. O corpo tem, por isso, aceleração centrípeta, que se dirige para o centro da circunferência e tem módulo

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Pela segunda lei de Newton, toda aceleração surge de uma força resultante, F = m · a, e a força resultante aponta para onde a aceleração aponta. Sobre um corpo na circunferência, portanto, precisa agir uma resultante para o centro. Substituímos a aceleração pela aceleração centrípeta:

$$F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Se substituirmos a segunda forma da aceleração, sai F_cp = m · ω² · r. Não inventamos nenhuma novidade, trata-se da lei da força comum aplicada ao fazer curva. As unidades conferem:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Pela fórmula, fazer curva é tanto mais exigente quanto maior a massa do corpo, quanto mais depressa ele anda e quanto mais fechada é a curva. A velocidade, aliás, é elevada ao quadrado, então com o dobro da velocidade é preciso uma força quatro vezes maior.

A força centrípeta não é uma força nova

Aqui se erra com frequência. A força centrípeta não é um outro tipo de força, que ficaria ao lado da força peso, da de atrito ou da do barbante. Trata-se do papel que, em dada situação, desempenha uma força real totalmente comum ou a resultante de várias forças:

• a pedra na circunferência é mantida pela força do barbante esticado,
• o que faz o carro fazer a curva é o atrito entre os pneus e a estrada,
• a Lua gira em torno da Terra graças à gravidade com que a Terra a atrai.

Ao desenhar as forças que agem sobre o corpo, desenhe só as reais. Uma seta com a legenda “força centrípeta” acrescentada ao lado do barbante é um erro, porque a força do barbante estaria na figura duas vezes. A fórmula $F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ não diz de onde a força vem. Diz apenas qual deve ser o módulo da resultante apontando para o centro, para que o corpo realmente gire na circunferência. Às vezes basta uma única força, outras vezes várias participam dela ao mesmo tempo, como veremos na curva sobrelevada.

A pedra no barbante

A pedra do Samuel tem massa de 0,2 kg, o barbante tem 1 m de comprimento e em um segundo ela dá duas voltas, o período é, portanto, 0,5 s. Com que intensidade o barbante precisa puxar a pedra?

A velocidade angular é uma volta, 2π radianos, por período:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Substituímos na segunda forma da fórmula. O radiano é um número puro e, por isso, o resultado sai em newtons:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

O barbante puxa a pedra com uma força de cerca de 32 N, como se uma sacola de três quilos estivesse pendurada nele. Se Samuel girasse a pedra duas vezes mais depressa, o barbante precisaria aguentar quatro vezes mais, cerca de 126 N. A força peso da pedra é só cerca de 2 N, e por isso a desprezamos. Pela terceira lei de Newton, a pedra puxa o barbante de volta com uma força de mesmo módulo e o barbante a transmite até a mão do Samuel. É exatamente esse puxão que Samuel sente.

Quando o barbante arrebenta

O que acontece quando o barbante se rompe? A animação mostra a resposta. Enquanto o barbante aguenta, ele puxa a pedra com a força verde para o centro e a seta vermelha da velocidade gira. No momento em que o barbante arrebenta, a força desaparece. Na horizontal nada mais age sobre a pedra, então, pela lei da inércia, ela voa em linha reta, com a mesma rapidez e para onde apontava a sua velocidade no instante do rompimento. Isso é ao longo da tangente à circunferência.

A pedra, portanto, não sai “para fora” em linha reta a partir do centro, como poderia parecer. Nada a puxa para fora, ela simplesmente deixou de fazer curva. A funda se aproveita disso: a pedra é solta exatamente no momento em que a sua velocidade aponta para o alvo. A pedra do Samuel sai com velocidade de ω · r ≈ 12,6 m/s, ou seja, cerca de 45 km/h, então a janela dos vizinhos corre perigo.

O carro na curva

Um carro de massa 1.200 kg faz uma curva de raio 50 m com velocidade de 54 km/h. Convertemos a velocidade, 54 km/h = 15 m/s, e substituímos:

$$F_{\mathrm{cp}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

De onde vêm esses 5.400 N? Na estrada não há barbante nenhum. O carro é obrigado a fazer curva só pelo atrito entre os pneus e o asfalto, que aponta para o centro da curva.

Enquanto isso, o pneu não escorrega de lado pela estrada. O ponto em que ele toca o asfalto, naquele momento, não se move em relação à estrada, e por isso se trata do atrito estático. Ele é exatamente tão grande quanto necessário, aqui 5.400 N, mas só até o seu máximo.

Qualquer estrada dá conta disso? Vamos calcular com os coeficientes do atrito cinético. O atrito estático dos pneus costuma ser um pouco maior, os resultados são, portanto, uma estimativa cautelosa. Para borracha sobre asfalto seco, o coeficiente é cerca de 0,7, sobre molhado 0,5, sobre neve 0,3 e sobre gelo 0,1. A força peso do carro é 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N e, numa estrada horizontal, a força normal é igual a ela. O atrito precisa fornecer 5.400 N, então o coeficiente de atrito precisa ser de no mínimo $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. O asfalto seco dá conta disso com folga, no molhado sai só por pouco. Na neve, o atrito daria no máximo 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N e o carro não conseguiria fazer a curva.

Com que velocidade se pode fazer a curva

Numa estrada horizontal, a força normal equilibra a força peso, N = m · g, e a maior força de atrito é μ · m · g. O carro faz a curva enquanto o atrito basta:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

A maior velocidade é aquela em que ocorre a igualdade. A massa se cancela, multiplicamos os dois lados pelo raio e extraímos a raiz quadrada:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

No asfalto seco, μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

No seco, portanto, o carro faz a curva no máximo a cerca de 67 km/h e dá conta dos nossos 54 km/h com folga. No gelo, μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Na mesma curva, no gelo só se pode entrar um pouco mais depressa do que anda um ciclista. Como a massa se cancelou, isso vale igualmente para um carro pequeno e para um caminhão carregado com os mesmos pneus. O carro de maior massa precisa, é verdade, de uma força maior, só que também aperta mais a estrada e, assim, tem também mais atrito.

E se o carro entra na curva mais depressa? O atrito chega ao máximo e não dá mais do que isso. A força para o centro é menor do que a circunferência de raio 50 m exigiria, então o carro curva menos. Anda por um arco mais suave, no caso extremo quase em linha reta ao longo da tangente, e a curva escapa de debaixo das rodas. Para um observador à beira da estrada parece que o carro foi “jogado para fora”. Na realidade, nada o empurrou para fora, o atrito apenas não conseguiu girá-lo o suficiente.

A fórmula pode ser usada também ao contrário. Que raio precisa ter uma curva de rodovia para que se possa passar por ela a 130 km/h, ou seja, cerca de 36,1 m/s? Dividimos a equação v² = μ · g · r pelo produto μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

No molhado, com coeficiente 0,5, já são necessários cerca de 266 m e, ainda assim, sem nenhuma margem. As curvas de rodovia, por isso, costumam ter raio de muitas centenas de metros e, além disso, são sobrelevadas.

Curvas sobrelevadas

Nas alças de acesso das rodovias, no velódromo e na pista de bobsled, a curva é inclinada: a borda externa fica mais alta que a interna. A força normal é perpendicular à pista, então já não aponta verticalmente para cima, mas obliquamente para o centro da curva.

A força peso e a força normal então não se anulam e parte da tarefa que, numa estrada plana, cabe ao atrito passa para a força normal. Com uma velocidade adequada, a resultante delas aponta exatamente na horizontal para o centro e fornece toda a força centrípeta, de modo que o carro faria a curva até sem atrito, por exemplo no gelo. Na figura as duas forças estão desenhadas a partir de um ponto comum, para que a soma delas possa ser construída com um paralelogramo. Quanto mais inclinada a curva, mais depressa se pode passar por ela. Os ciclistas no velódromo, por isso, andam nas curvas inclinados como um telhado.

O que segura a Lua

A Lua gira em torno da Terra a uma distância de cerca de 3,84 · 10⁸ m e uma volta leva 27,3 dias, ou seja, cerca de 2,36 · 10⁶ s. A velocidade dela é

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A Lua tem massa de cerca de 7,35 · 10²² kg. A força centrípeta com que a Terra precisa segurá-la sai

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Nenhum cabo aguentaria uma força dessas. A Lua, porém, não precisa de cabo, o papel dele é assumido pela gravidade. Se a Terra deixasse de atrair a Lua, ela sairia pela tangente como a pedra do Samuel.

Calculadora da velocidade máxima na curva

Digite o raio da curva e escolha a superfície. A calculadora calcula a velocidade máxima $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ numa estrada horizontal.

Até agora descrevemos tudo a partir da estrada, de onde se vê que o carro e a pedra só são obrigados a fazer curva por uma força para o centro. O passageiro no carro, porém, vive isso de outro modo: ele é pressionado contra a porta e, do ponto de vista dele, parece que algo o empurra para lá. As forças de inércia mostrarão como se pode descrever o movimento do ponto de vista de alguém que viaja com o carro.

O próximo artigo, Forças de inércia, explica como o passageiro dentro do carro vive a curva e por que lhe parece que algo o empurra para fora.