Fuerza centrípeta

Simón hace girar sobre su cabeza una piedra atada a una cuerda. La piedra gira, la cuerda se tensa y Simón siente en la mano cómo tira de él la piedra. Pero en cuanto suelta la cuerda, la piedra sale volando. Girar, sencillamente, no sale gratis: quien quiera que un cuerpo describa una circunferencia tiene que obligarlo a ello con una fuerza dirigida hacia el centro. A esa fuerza se le llama fuerza centrípeta.

Si solo buscas la fórmula: sobre un cuerpo de masa m que recorre con velocidad v una circunferencia de radio r tiene que actuar una fuerza centrípeta

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

donde ω es la velocidad angular.

La fuerza que hace girar la velocidad

En el movimiento circular uniforme el módulo de la velocidad se mantiene, pero la flecha de la velocidad gira continuamente. Por eso el cuerpo tiene una aceleración centrípeta, que apunta al centro de la circunferencia y tiene el módulo

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Según la segunda ley de Newton, toda aceleración procede de una fuerza resultante, F = m · a, y la fuerza resultante apunta hacia donde apunta la aceleración. Sobre un cuerpo que describe una circunferencia tiene que actuar, por tanto, una resultante dirigida al centro. Sustituimos la aceleración por la aceleración centrípeta:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Si sustituimos la segunda forma de la aceleración, resulta F_c = m · ω² · r. No hemos inventado ninguna novedad: es la ley fundamental de la dinámica aplicada a un giro. Las unidades cuadran:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Según la fórmula, girar resulta tanto más difícil cuanto mayor es la masa del cuerpo, cuanto más rápido va y cuanto más cerrada es la curva. La velocidad, además, está elevada al cuadrado, así que al doble de velocidad hace falta una fuerza cuatro veces mayor.

La fuerza centrípeta no es una fuerza nueva

Aquí se falla a menudo. La fuerza centrípeta no es otra clase de fuerza que esté junto al peso, el rozamiento o la tensión de la cuerda. Es un papel que en cada situación desempeña una fuerza real y corriente o, en su caso, la resultante de varias fuerzas:

• a la piedra en la circunferencia la sujeta la fuerza de la cuerda tensa,
• al coche en la curva lo hace girar el rozamiento entre los neumáticos y la carretera,
• la Luna orbita alrededor de la Tierra gracias a la gravedad con la que la Tierra la atrae.

Al dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, dibuja solo las reales. Una flecha con la etiqueta «fuerza centrípeta» añadida junto a la cuerda es un error, porque la fuerza de la cuerda aparecería dos veces en el dibujo. La fórmula $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ no dice de dónde sale la fuerza. Dice únicamente cuánto tiene que valer la resultante dirigida al centro para que el cuerpo describa de verdad una circunferencia. A veces basta una sola fuerza; otras, participan varias a la vez, como veremos en la curva peraltada.

Una piedra atada a una cuerda

La piedra de Simón tiene una masa de 0,2 kg, la cuerda mide 1 m y la piedra recorre la circunferencia dos veces por segundo, así que el periodo es de 0,5 s. ¿Con qué fuerza tiene que tirar la cuerda de la piedra?

La velocidad angular es una vuelta, 2π radianes, por periodo:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Sustituimos en la segunda forma de la fórmula. El radián es un número sin unidades y, por eso, el resultado sale en newtons:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

La cuerda tira de la piedra con una fuerza de unos 32 N, como si de ella colgara una bolsa de tres kilos. Si Simón hiciera girar la piedra al doble de velocidad, la cuerda tendría que aguantar cuatro veces más, unos 126 N. El peso de la piedra es de solo unos 2 N y por eso lo hemos despreciado. Según la tercera ley de Newton, la piedra tira hacia atrás de la cuerda con una fuerza igual, y la cuerda la transmite hasta la mano de Simón. Eso es justo lo que Simón siente.

Cuando la cuerda se rompe

¿Qué pasa en cuanto se rompe la cuerda? La respuesta la muestra la animación. Mientras la cuerda aguanta, tira de la piedra con la fuerza verde hacia el centro y la flecha roja de la velocidad va girando. En el momento en que la cuerda se rompe, la fuerza desaparece. En dirección horizontal ya no actúa nada sobre la piedra y, según la ley de la inercia, vuela en línea recta, con la misma rapidez y hacia donde apuntaba su velocidad en el instante de la rotura. Es decir, por la tangente a la circunferencia.

La piedra, pues, no sale disparada «hacia fuera» en línea recta desde el centro, como podría parecer. Nada tira de ella hacia fuera, simplemente ha dejado de girar. Así funciona la honda: la piedra se suelta justo en el momento en que su velocidad apunta al objetivo. La piedra de Simón sale con una velocidad de ω · r ≈ 12,6 m/s, es decir, unos 45 km/h, de modo que la ventana de los vecinos corre peligro.

Un coche en una curva

Un coche de 1200 kg toma a 54 km/h una curva de 50 m de radio. Convertimos la velocidad, 54 km/h = 15 m/s, y sustituimos:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

¿De dónde salen esos 5400 N? En la carretera no hay ninguna cuerda. Al coche lo obliga a girar solo el rozamiento entre los neumáticos y el asfalto, que apunta al centro de la curva.

El neumático no resbala lateralmente por la carretera. El punto por el que toca el asfalto no se mueve en ese instante respecto a la carretera y, por eso, se trata de rozamiento estático. Es exactamente tan grande como hace falta, aquí 5400 N, pero solo hasta su máximo.

¿Basta con cualquier carretera? Calcularemos con los coeficientes de rozamiento dinámico del artículo sobre el rozamiento. El rozamiento estático de los neumáticos suele ser algo mayor, así que los resultados son una estimación prudente. Para goma sobre asfalto seco el coeficiente es de aproximadamente 0,7, sobre mojado 0,5, sobre nieve 0,3 y sobre hielo 0,1. El peso del coche es 1200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N y, en una carretera horizontal, la fuerza normal es igual de grande. El rozamiento tiene que aportar 5400 N, así que el coeficiente de rozamiento tiene que ser al menos $\frac{5400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. El asfalto seco lo cumple de sobra; con el mojado, justo justo. Sobre nieve, el rozamiento daría como mucho 0,3 · 11.772 N ≈ 3500 N y el coche no tomaría la curva.

A qué velocidad se puede tomar una curva

En una carretera horizontal, la fuerza normal compensa al peso, N = m · g, y la fuerza de rozamiento máxima es μ · m · g. El coche toma la curva mientras el rozamiento alcance:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

La velocidad máxima es aquella para la que se da la igualdad. La masa se simplifica, multiplicamos los dos miembros por el radio y extraemos la raíz:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Sobre asfalto seco, μ = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Sobre suelo seco, el coche puede tomar la curva como mucho a unos 67 km/h y con nuestros 54 km/h va con margen. Sobre hielo, μ = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

A la misma curva, con hielo en la calzada, solo se puede entrar un poco más deprisa de lo que va un ciclista. Como la masa se ha simplificado, esto vale igual para un coche pequeño que para un camión cargado con los mismos neumáticos. Es verdad que un coche de mayor masa necesita más fuerza, pero también presiona más sobre la carretera y, por tanto, tiene más rozamiento.

¿Y si el coche entra en la curva más deprisa? El rozamiento alcanza su máximo y no da más. La fuerza hacia el centro es menor de lo que necesitaría una circunferencia de 50 m de radio, así que el coche gira menos. Sigue un arco más suave, en el caso extremo casi recto por la tangente, y la curva se le escapa de debajo de las ruedas. A un observador junto a la carretera le parece que el coche se «ha ido hacia fuera». En realidad, nada lo empujaba hacia fuera, simplemente el rozamiento no fue capaz de hacerlo girar lo bastante.

La fórmula también se puede usar al revés. ¿Qué radio de curva necesita una autopista para poder tomarla a 130 km/h, es decir, a unos 36,1 m/s? Dividimos la ecuación v² = μ · g · r entre el producto μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Sobre mojado, con un coeficiente de 0,5, hacen falta ya unos 266 m, y aun así sin ningún margen. Por eso las curvas de autopista suelen tener un radio de muchos cientos de metros y, además, están peraltadas.

Curvas peraltadas

En los enlaces de las autopistas, en un velódromo y en una pista de bobsleigh, la curva está inclinada: el borde exterior queda más alto que el interior. La fuerza normal es perpendicular a la carretera, así que ya no apunta verticalmente hacia arriba, sino en diagonal hacia el centro de la curva.

El peso y la fuerza normal ya no se anulan, y una parte de la tarea que en una carretera plana cumple el rozamiento la asume la fuerza normal. A la velocidad adecuada, su resultante apunta exactamente en horizontal hacia el centro y aporta toda la fuerza centrípeta, de modo que el coche tomaría la curva incluso sin rozamiento, por ejemplo, sobre hielo. En la figura, las dos fuerzas están dibujadas desde un punto común para poder construir su suma con un paralelogramo. Cuanto más inclinada está la curva, más deprisa se puede tomar. Por eso los ciclistas del velódromo corren en curvas inclinadas como un tejado.

Qué mantiene a la Luna

La Luna orbita alrededor de la Tierra a una distancia de unos 3,84 · 10⁸ m y una vuelta le lleva 27,3 días, es decir, unos 2,36 · 10⁶ s. Su velocidad es

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

La Luna tiene una masa de unos 7,35 · 10²² kg. La fuerza centrípeta con la que la Tierra tiene que sujetarla resulta

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Ninguna cuerda aguantaría una fuerza así. Pero la Luna no necesita cuerda: su papel lo asume la gravedad. Si la Tierra dejara de atraer a la Luna, esta saldría por la tangente igual que la piedra de Simón.

Calculadora de la velocidad máxima en una curva

Introduce el radio de la curva y elige el firme. La calculadora halla la velocidad máxima $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ en una carretera horizontal.

Hasta ahora lo hemos descrito todo desde la carretera, desde donde se ve que tanto el coche como la piedra solo giran porque los obliga una fuerza dirigida hacia el centro. Pero el pasajero del coche lo vive de otra manera: se pega a la puerta y, desde su punto de vista, parece que algo lo empuja hacia ella. Las fuerzas de inercia muestran cómo se puede describir el movimiento desde el punto de vista de alguien que viaja dentro del coche.

Cómo vive la curva el pasajero dentro del coche y por qué le parece que algo lo empuja hacia fuera se explica en el siguiente artículo, Fuerzas de inercia.