Composizione dei moti

Quando cammini su una scala mobile in movimento, compi due moti insieme: le gambe ti portano lungo i gradini e i gradini, intanto, ti portano in alto. Una barca su un fiume naviga rispetto all’acqua e intanto l’acqua continua a trascinarla. Il moto risultante si ottiene componendo i moti parziali, cioè sommando le loro velocità come vettori, come frecce.

Camminare su una scala mobile

La scala mobile della metropolitana sale a v₂ = 0,5 m/s e tu ti avvii su di essa a v₁ = 1 m/s. La misuri rispetto ai gradini: con lo stesso passo saliresti su una scala normale. Rispetto alla stazione avanzi più in fretta, perché i gradini sotto di te scorrono da soli. Le due frecce puntano nella stessa direzione, quindi i loro moduli si sommano semplicemente:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A ogni secondo fai un metro sui gradini e i gradini ti portano su di un altro mezzo metro. Se la scala mobile è lunga s = 30 m, sarai in cima in

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Se rimanessi fermo, ci metteresti $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, un minuto intero.

Ora invece sali su una scala mobile che scende e la risali con lo stesso passo. Ora le frecce puntano in versi opposti, e quindi i moduli si sottraggono:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In cima ci arrivi, ma per fare trenta metri ci metti di nuovo un minuto intero. Se camminassi solo a mezzo metro al secondo, cammineresti sul posto. Con un passo ancora più lento la scala mobile ti riporterebbe giù, piano ma inesorabilmente.

A che velocità vai davvero? Le risposte giuste sono due. Rispetto ai gradini 1 m/s, rispetto alla stazione 1,5 m/s o 0,5 m/s. Dipende dal sistema di riferimento, cioè da ciò rispetto a cui descriviamo il moto.

Sulla scala mobile le due frecce stanno sulla stessa retta, quindi basta sommare i moduli o sottrarli. Più interessante è il caso in cui i due moti puntano in direzioni diverse.

Una barca attraversa il fiume

Il fiume è largo d = 60 m e scorre a v₂ = 1 m/s. Dalla riva si stacca una barca che in acqua ferma va a v₁ = 2 m/s. Il timoniere la orienta con la prua perpendicolare alla riva opposta e la tiene così per tutto il tempo. Arriverà proprio di fronte al punto da cui è partita? Scriviamo i dati:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Non ci arriverà. Mentre la barca fende l’acqua da una riva all’altra, l’acqua sotto di lei scorre e se la porta dietro. La prua punta sempre perpendicolarmente alla riva, ma la barca scivola in diagonale e approda un po’ più a valle. Nell’animazione si vede bene: la barca non va dove punta la sua prua. La prua indica dove va la barca rispetto all’acqua. E di quanti metri la porterà la corrente?

I moti non si ostacolano

La chiave del calcolo è il principio di indipendenza dei moti: se un corpo compie più moti contemporaneamente, ciascuno di essi si svolge come se gli altri non ci fossero. Il corpo finisce nello stesso punto in cui arriverebbe se i moti avvenissero uno dopo l’altro.

Proviamo con la barca in due tempi. Immagina prima che l’acqua sia ferma e che il timoniere remi per mezzo minuto. La barca attraversa in linea retta e si ferma proprio di fronte. Poi smette di remare e per mezzo minuto si lascia portare dalla corrente, che la sposta lungo la riva. Finisce esattamente nel punto in cui arriva quando fa le due cose insieme. In realtà i due moti avvengono nello stesso tempo, quindi la barca va in diagonale, ma nessuno dei due frena l’altro.

Con la barca è facile da immaginare. Rispetto all’acqua naviga perpendicolarmente alla riva, proprio come su uno stagno. La corrente sposta solo tutto quel tratto d’acqua insieme alla barca, come la scala mobile sposta i gradini insieme a te. Verso l’altra riva la barca è quindi spinta solo dalla sua velocità propria di 2 m/s. La corrente va lungo le rive, perciò non aiuta né ostacola l’attraversamento. Il tempo di traversata dipende dunque solo dalla larghezza del fiume e dalla velocità perpendicolare alla riva:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Per tutti questi trenta secondi la corrente trascina la barca a 1 m/s. La distanza di cui la barca approda più a valle si chiama deriva:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

La barca approda trenta metri più a valle del punto esattamente di fronte. Ogni due metri verso l’altra riva la corrente la sposta di un metro lungo la riva, quindi la sua traccia è una retta. Con un fiume due volte più veloce la barca sarebbe di nuovo sull’altra riva in mezzo minuto, ma a sessanta metri dalla meta.

A che velocità si muove la barca rispetto alla riva? La velocità risultante è la somma vettoriale

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Disegniamo le due frecce dallo stesso punto e le completiamo a parallelogramma: la velocità risultante è la sua diagonale. Le frecce sono perpendicolari tra loro, quindi qui il parallelogramma è un rettangolo, come a sinistra nella figura. Il modulo della velocità risultante si calcola con il teorema di Pitagora:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Rispetto alla riva la barca è più veloce che in acqua ferma, ma quella velocità in più la porta dove non vuole andare. Sarebbe un errore sommare le velocità come semplici numeri, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Si sommano così solo le frecce dirette nello stesso verso, come sulla scala mobile.

Il risultato possiamo controllarlo per un’altra strada. In 30 s la barca, alla velocità di $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, percorre in diagonale circa 67,1 m. Altrettanto è lunga l’ipotenusa del triangolo formato dalla larghezza del fiume e dalla deriva:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Torna. La barca attraversa il fiume in trenta secondi, rispetto alla riva si muove a circa 2,24 m/s e approda trenta metri più a valle.

Come arrivare proprio di fronte

Se il timoniere vuole approdare esattamente di fronte, deve orientare la barca in diagonale contro corrente. Una parte della sua velocità compensa allora la corrente e il resto la spinge verso l’altra riva. La velocità risultante $\overrightarrow{v}$ deve puntare direttamente alla riva opposta, come a destra nella figura.

A destra cerca il triangolo formato dalla freccia rossa, dalla freccia verde e dal segmento tratteggiato in alto. Il segmento tratteggiato è il lato opposto del parallelogramma, quindi è lungo quanto la freccia della corrente e parallelo ad essa. Con la freccia verde forma perciò un angolo retto, come la corrente in basso. L’ipotenusa è la velocità della barca v₁ e di fronte all’angolo α sta la velocità della corrente v₂. Quindi

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Il seno vale un mezzo per l’angolo di 30°. Il timoniere deve ruotare la barca di 30° dalla perpendicolare, contro corrente.

Allo stesso risultato porta la scomposizione della velocità della barca in due componenti perpendicolari. Una punta contro corrente e ha modulo v₁ · senα, l’altra punta verso l’altra riva e ha modulo v₁ · cos α. Perché la barca vada proprio di fronte, la componente contro corrente deve compensare esattamente la corrente, cioè deve valere v₁ · senα = v₂. Dividendo per la velocità v₁ otteniamo di nuovo $\mathrm{sen}\alpha =\frac{1}{2}$. La corrente allora non porta la barca da nessuna parte e resta solo il moto verso l’altra riva.

La velocità verso l’altra riva è l’altro cateto, la ricaviamo con il teorema di Pitagora:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Verrebbe lo stesso con v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Il principio di indipendenza ci serve qui una seconda volta. Il tempo di traversata è determinato solo dalla velocità verso l’altra riva, che ora è minore di prima, quindi la traversata dura di più:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

La via diretta è più corta, eppure dura quasi cinque secondi in più. Chi vuole raggiungere l’altra riva il più in fretta possibile, per esempio un nuotatore nel fiume, deve puntare perpendicolarmente e rassegnarsi alla deriva. Chi vuole approdare al molo proprio di fronte deve orientarsi contro corrente e accettare una traversata più lunga.

Lo stesso trucco lo conoscono i piloti con il vento laterale. L’aereo vola con il muso un po’ controvento, per muoversi rispetto al suolo direttamente verso la meta. Nell’atterraggio con forte vento laterale si avvicina quindi alla pista quasi di traverso e si raddrizza solo poco prima di toccare terra.

Un’altra insidia. Se la corrente fosse più veloce della barca, il seno risulterebbe maggiore di uno, e un angolo così non esiste. Con una corrente veloce quanto la barca, questa dovrebbe puntare dritta contro corrente e non si sposterebbe affatto verso l’altra riva. La corrente la porterebbe sempre via, comunque puntasse. Già quando la corrente è appena più lenta della barca, il timoniere deve puntare quasi contro corrente e verso l’altra riva si avanza a passo di lumaca.

Pioggia obliqua vista da un’auto

Fuori piove e non c’è vento, quindi le gocce cadono in verticale, quelle grosse a circa 9 m/s. Quando l’auto è ferma, dal finestrino vedi righe verticali. Ma appena parti, le gocce accanto al finestrino laterale vanno in diagonale all’indietro, e tanto più quanto più vai veloce.

Descriviamolo nel sistema di riferimento solidale con l’auto. Rispetto all’auto tutto il paesaggio scorre all’indietro, alberi, case e gocce. Ogni goccia compie così due moti: cade verso il basso a 9 m/s e nello stesso tempo si muove all’indietro con la velocità dell’auto. La velocità risultante è la loro somma vettoriale e punta in diagonale verso il basso e all’indietro.

Quando anche l’auto va a 9 m/s, cioè a circa 32 km/h, le due frecce hanno la stessa lunghezza e sono perpendicolari. La risultante è la diagonale di un quadrato, quindi le gocce cadono con un angolo di 45°. In autostrada la freccia orizzontale è parecchie volte più lunga di quella verticale e le gocce vanno quasi in orizzontale.

Il ragionamento si può rovesciare. Se viaggiando a 32 km/h vedi le tracce delle gocce proprio a 45°, sai che le gocce cadono veloci quanto vai tu. Dal tachimetro e dall’inclinazione delle tracce stimiamo la velocità della pioggia senza scendere dall’auto.

Quando guidi sotto la pioggia, il parabrezza è il vetro che si bagna di più, mentre sul lunotto arrivano poche gocce. Per lo stesso motivo inclina l’ombrello in avanti chiunque corra sotto la pioggia. Nel sistema di riferimento di chi corre, le gocce gli cadono addosso in diagonale da davanti. Chi aspetta alla fermata tiene l’ombrello dritto, perché le gocce cadono dall’alto.

Anche la velocità con cui le gocce colpiscono il parabrezza si compone. A 32 km/h è la diagonale di un quadrato di lato 9 m/s, cioè $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. È proprio per questo che, quando si va veloci sotto la pioggia, le gocce tamburellano così forte sul vetro.

La barca, l’auto e le gocce si muovevano lungo rette. Ma il cavallino di una giostra o la punta della lancetta di un orologio girano in tondo. Come descrivere il moto lungo una circonferenza, che cosa sono periodo, frequenza e radianti e perché il bordo della giostra va più veloce dei punti vicino al centro lo mostrerà il prossimo articolo, Moto circolare uniforme.