Skládání pohybů

Když jdete po jedoucím eskalátoru, konáte dva pohyby zároveň: nohy vás nesou po schodech a schody vás přitom vezou nahoru. Loďka na řece pluje vůči vodě a voda ji přitom celou dobu unáší. Výsledný pohyb dostaneme tak, že dílčí pohyby složíme, což znamená sečíst jejich rychlosti jako vektory, jako šipky.

Chůze po eskalátoru

Eskalátor v metru stoupá rychlostí v₂ = 0,5 m/s a vy po něm vykročíte rychlostí v₁ = 1 m/s. Měříte ji vůči schodům, stejně rychle byste vyrazili po obyčejném schodišti. Vůči stanici postupujete rychleji, protože schody pod vámi ujíždějí samy. Obě šipky ukazují stejným směrem, takže se jejich velikosti prostě sečtou:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

Za každou sekundu uděláte po schodech metr a schody vás k tomu popovezou o další půlmetr. Je-li eskalátor dlouhý s = 30 m, budete nahoře za

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Kdybyste na místě jen stáli, jeli byste $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ , celou minutu.

Pro změnu nastoupíte na eskalátor jedoucí dolů a vyrazíte po něm nahoru stejným krokem. Šipky teď ukazují proti sobě, a velikosti se proto odečtou:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Nahoru se sice dostanete, ale třicet metrů vám zabere zase celou minutu. Kdybyste šli jen půl metru za sekundu, šlapali byste na místě. Při ještě pomalejším kroku by vás eskalátor pomalu, ale jistě, odvezl dolů.

Jak rychle vlastně jdete? Správné jsou dvě odpovědi. Vůči schodům 1 m/s, vůči stanici 1,5 m/s nebo 0,5 m/s. Záleží na vztažné soustavě, tedy na tom, vůči čemu pohyb popisujeme.

Na eskalátoru leží obě šipky na jedné přímce, a tak stačí velikosti sečíst, nebo odečíst. Zajímavější je to ve chvíli, kdy dva pohyby míří každý jinam.

Loďka přes řeku

Řeka je široká d = 60 m a teče rychlostí v₂ = 1 m/s. Od břehu odrazí loďka, která na stojaté vodě pluje rychlostí v₁ = 2 m/s. Kormidelník ji natočí přídí kolmo k protějšímu břehu a celou dobu ji tak drží. Skončí přímo naproti místu, odkud vyrazila? Zapíšeme si zadání:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Loďka míří kolmo k protějšímu břehu (šedá čárkovaná čára), proud ji ale unáší, takže pluje šikmo po červené stopě a přistane dál po proudu. d je šířka řeky, x snos

Nedopluje. Zatímco loďka razí napříč, voda pod ní teče a nese ji s sebou. Příď sice neustále míří kolmo k břehu, ale loďka se sune šikmo a přistane o kus dál po proudu. V animaci je to dobře vidět: loďka nepluje tam, kam ukazuje její příď. Příď ukazuje, kam loďka pluje vůči vodě. A o kolik metrů ji proud zanese?

Pohyby si nepřekážejí

Klíčem k výpočtu je princip nezávislosti pohybů: koná-li těleso několik pohybů současně, každý z nich probíhá tak, jako by ostatní nebyly. Těleso skončí na stejném místě, jako kdyby pohyby proběhly jeden po druhém.

Zkusme to s loďkou ve dvou krocích. Nejdřív si představte, že voda stojí a kormidelník půl minuty vesluje. Loďka přepluje rovně napříč a zastaví přímo naproti. Potom přestane veslovat a půl minuty se nechá unášet proudem, který ji posune podél břehu. Skončí přesně na tom místě, kam dopluje, když dělá obojí najednou. Ve skutečnosti probíhají oba pohyby současně, loďka proto pluje šikmo, ale ani jeden druhý nezdržuje.

U loďky si to představíme snadno. Vůči vodě pluje kolmo napříč, přesně jako na rybníce. Proud jen celý ten kus vody i s loďkou posouvá po proudu, tak jako eskalátor posouvá schody i s vámi. Napříč loďku proto žene jen její vlastní rychlost 2 m/s. Proud míří podél břehů, takže s přeplutím nijak nepomáhá ani mu nebrání. Doba přeplutí proto záleží jen na šířce řeky a na rychlosti napříč:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

Celých třicet sekund přitom loďku unáší proud rychlostí 1 m/s. Vzdálenost, o kterou loďka přistane dál po proudu, nazýváme snos:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Loďka přistane třicet metrů po proudu od místa přímo naproti. Při každých dvou metrech napříč ji proud posune o metr podél břehu, takže její stopa je přímka. Při dvojnásobné rychlosti řeky by loďka na druhém břehu byla zase za půl minuty, ale šedesát metrů od cíle.

Šipky rychlostí. Vlevo loďka míří kolmo k břehu: červená rychlost loďky v⃗_1, modrá rychlost proudu v⃗_2 a zelená výsledná v⃗. Vpravo loďka míří o úhel α proti proudu a výsledná rychlost vede přímo napříč

Jak rychle se loďka pohybuje vůči břehu? Výsledná rychlost je vektorový součet

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Obě šipky nakreslíme z jednoho bodu a doplníme je na rovnoběžník, výsledná rychlost je jeho úhlopříčka. Šipky jsou na sebe kolmé, takže rovnoběžník je tu obdélník, jako na levé straně obrázku. Velikost výsledné rychlosti spočítáme Pythagorovou větou:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} ≐ 2, 24 m / s \end{aligned}$

Vůči břehu je loďka rychlejší než na stojaté vodě, ale ta rychlost navíc ji nese jinam, než chce. Chybou by bylo sečíst rychlosti jako obyčejná čísla, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Takhle se sčítají pouze šipky mířící stejným směrem, jako na eskalátoru.

Výsledek můžeme zkontrolovat jinou cestou. Za 30 s urazí loďka rychlostí $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ šikmou dráhu asi 67,1 m. Stejně dlouhá je přepona trojúhelníku, který tvoří šířka řeky a snos:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4 500 m^{2}} ≐ 67, 1 m$

Sedí. Loďka přepluje řeku za třicet sekund, vůči břehu se přitom pohybuje rychlostí asi 2,24 m/s a přistane třicet metrů po proudu.

Jak doplout přímo naproti

Má-li kormidelník přistát přesně naproti, musí loďku natočit šikmo proti proudu. Část její rychlosti pak přemáhá proud a zbytek ji žene napříč. Výsledná rychlost $\vec{v}$ má mířit přímo k protějšímu břehu, jako na pravé straně obrázku.

Vpravo hledejte trojúhelník, který tvoří červená šipka, zelená šipka a čárkovaná úsečka nahoře. Čárkovaná úsečka je protější strana rovnoběžníku, takže je stejně dlouhá jako šipka proudu a rovnoběžná s ní. Se zelenou šipkou proto svírá pravý úhel, stejně jako proud dole. Přeponou je rychlost loďky v₁ a naproti úhlu α leží rychlost proudu v₂. Proto

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

Sinus je roven jedné polovině pro úhel 30°. Kormidelník musí loďku natočit o 30° od kolmice proti proudu.

K témuž výsledku vede i rozklad rychlosti loďky do dvou kolmých složek. Jedna míří proti proudu a má velikost v₁ · sin α, druhá míří napříč a má velikost v₁ · cos α. Má-li loďka plout přímo naproti, musí složka proti proudu přesně vyrovnat proud, musí platit v₁ · sin α = v₂. Po vydělení rychlostí v₁ dostaneme znovu $\sin α = \frac{1}{2}$ . Proud pak loďku nikam nesnáší a zbude jen pohyb napříč.

Rychlost napříč je druhá odvěsna, dopočítáme ji Pythagorovou větou:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} ≐ 1, 73 m / s \end{aligned}$

Stejně by vyšlo v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Princip nezávislosti se tu hodí podruhé. Dobu přeplutí určuje jen rychlost napříč, a ta je teď menší než předtím, takže přeplutí potrvá déle:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} ≐ 34, 6 s$

Přímá cesta je kratší, a přesto trvá skoro o pět sekund déle. Kdo se chce dostat na druhý břeh co nejrychleji, třeba plavec v řece, má mířit kolmo a se snosem se smířit. Kdo chce přistát u mola přímo naproti, musí se natočit proti proudu a smířit se s delší plavbou.

Stejný trik znají piloti v bočním větru. Letadlo letí přídí trochu proti větru, aby se vůči zemi pohybovalo přímo k cíli. Při přistání v silném bočním větru se proto k ranveji blíží jakoby bokem a srovná se až těsně nad zemí.

Ještě jedna zrada. Kdyby proud byl rychlejší než loďka, vyšel by sinus větší než jedna, a takový úhel neexistuje. Při stejně rychlém proudu by musela mířit přímo proti proudu a napříč by se vůbec nepohnula. Proud by loďku vždycky snesl, ať by mířila jakkoli. Už když je proud jen o málo pomalejší než loďka, musí kormidelník mířit skoro proti proudu a napříč se pohybuje jen šnečím tempem.

Šikmý déšť z jedoucího auta

Venku leje a vítr nefouká, takže kapky padají svisle, ty velké rychlostí asi 9 m/s. Když auto stojí, vidíte z okna svislé čárky. Sotva se ale rozjedete, kapky za bočním oknem letí šikmo dozadu, a čím rychleji jedete, tím víc.

Popíšeme to ve vztažné soustavě spojené s autem. Vůči autu se celá krajina sune dozadu, stromy, domy i kapky. Každá kapka tak koná dva pohyby: padá dolů rychlostí 9 m/s a zároveň se pohybuje dozadu rychlostí auta. Výsledná rychlost je jejich vektorový součet a míří šikmo dolů a dozadu.

Když auto jede také 9 m/s, tedy asi 32 km/h, jsou obě šipky stejně dlouhé a kolmé. Výsledná je úhlopříčka čtverce, takže kapky padají pod úhlem 45°. Na dálnici je vodorovná šipka několikrát delší než svislá a kapky letí skoro vodorovně.

Úvahu můžeme otočit. Když při jízdě rychlostí 32 km/h vidíte stopy kapek přesně pod úhlem 45°, víte, že kapky padají stejně rychle, jako jedete. Z tachometru a sklonu stop odhadneme rychlost deště, aniž bychom vystoupili.

Čelní sklo se při jízdě v dešti zalévá nejvíc, zatímco na zadní dopadne kapek málo. Ze stejného důvodu nakloní deštník dopředu každý, kdo v dešti běží. Kapky na něj totiž ve vztažné soustavě běžce padají šikmo zepředu. Kdo stojí na zastávce, drží deštník svisle, protože na něj kapky padají shora.

I rychlost, jakou kapky narážejí do čelního skla, se skládá. Při 32 km/h je to úhlopříčka čtverce o straně 9 m/s, tedy $\sqrt{2} \cdot 9 m / s ≐ 12, 7 m / s$ . Právě proto kapky při rychlé jízdě v dešti na sklo tak hlasitě bubnují.

Loďka, auto i kapky se tu pohybovaly po přímkách. Koník na kolotoči nebo hrot hodinové ručičky ale obíhají dokola. Jak popsat pohyb po kružnici, co jsou perioda, frekvence a radiány a proč jede okraj kolotoče rychleji než místa u středu, ukáže další článek, Rovnoměrný pohyb po kružnici.

« Předchozí: Volný pád

Další: Rovnoměrný pohyb po kružnici »