Überlagerung von Bewegungen

Wenn du auf einer fahrenden Rolltreppe gehst, führst du zwei Bewegungen gleichzeitig aus: Deine Beine tragen dich über die Stufen, und die Stufen fahren dich dabei nach oben. Ein Boot auf dem Fluss fährt relativ zum Wasser, und das Wasser treibt es dabei die ganze Zeit ab. Die resultierende Bewegung erhalten wir, indem wir die Teilbewegungen überlagern, das heißt, indem wir ihre Geschwindigkeiten als Vektoren addieren, als Pfeile.

Gehen auf der Rolltreppe

Eine Rolltreppe in der U-Bahn fährt mit der Geschwindigkeit v₂ = 0,5 m/s nach oben, und du gehst mit v₁ = 1 m/s los. Du misst sie relativ zu den Stufen, genauso schnell würdest du auf einer normalen Treppe losgehen. Relativ zum Bahnhof kommst du schneller voran, weil dir die Stufen unter den Füßen von selbst wegfahren. Beide Pfeile zeigen in dieselbe Richtung, ihre Beträge addieren sich also einfach:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In jeder Sekunde machst du einen Meter über die Stufen, und die Stufen tragen dich dabei noch einen halben Meter weiter. Ist die Rolltreppe s = 30 m lang, bist du oben nach

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Würdest du nur stehen bleiben, bräuchtest du $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, eine ganze Minute.

Zur Abwechslung steigst du auf eine Rolltreppe, die nach unten fährt, und gehst sie mit demselben Schritt nach oben. Die Pfeile zeigen jetzt gegeneinander, und die Beträge werden deshalb subtrahiert:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nach oben kommst du zwar, aber für die dreißig Meter brauchst du wieder eine ganze Minute. Würdest du nur einen halben Meter pro Sekunde gehen, würdest du auf der Stelle treten. Bei noch langsamerem Schritt würde dich die Rolltreppe langsam, aber sicher nach unten fahren.

Wie schnell gehst du eigentlich? Es gibt zwei richtige Antworten. Relativ zu den Stufen 1 m/s, relativ zum Bahnhof 1,5 m/s oder 0,5 m/s. Es hängt vom Bezugssystem ab, also davon, relativ wozu wir die Bewegung beschreiben.

Auf der Rolltreppe liegen beide Pfeile auf einer Geraden, und wir müssen die Beträge nur addieren oder subtrahieren. Interessanter wird es, wenn zwei Bewegungen in verschiedene Richtungen zeigen.

Boot über den Fluss

Der Fluss ist d = 60 m breit und fließt mit der Geschwindigkeit v₂ = 1 m/s. Vom Ufer stößt sich ein Boot ab, das auf stehendem Wasser mit v₁ = 2 m/s fährt. Der Bootsführer richtet den Bug senkrecht zum gegenüberliegenden Ufer aus und hält ihn die ganze Zeit so. Landet er genau gegenüber der Stelle, von der er gestartet ist? Wir schreiben die Angaben auf:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Tut er nicht. Während das Boot quer über den Fluss fährt, fließt das Wasser unter ihm und nimmt es mit. Der Bug zeigt zwar ständig senkrecht zum Ufer, das Boot bewegt sich aber schräg und legt ein Stück weiter flussabwärts an. In der Animation ist das gut zu sehen: Das Boot fährt nicht dorthin, wohin sein Bug zeigt. Der Bug zeigt, wohin das Boot relativ zum Wasser fährt. Und um wie viele Meter treibt die Strömung es ab?

Bewegungen stören sich nicht

Der Schlüssel zur Rechnung ist das Unabhängigkeitsprinzip der Bewegungen: Führt ein Körper mehrere Bewegungen gleichzeitig aus, läuft jede von ihnen so ab, als gäbe es die anderen nicht. Der Körper landet an derselben Stelle, als wären die Bewegungen nacheinander abgelaufen.

Probieren wir es mit dem Boot in zwei Schritten. Stell dir zuerst vor, das Wasser steht, und der Bootsführer rudert eine halbe Minute. Das Boot fährt geradeaus quer hinüber und hält genau gegenüber an. Dann hört er auf zu rudern und lässt sich eine halbe Minute von der Strömung treiben, die es am Ufer entlang verschiebt. Es landet genau an der Stelle, an der es ankommt, wenn es beides gleichzeitig macht. In Wirklichkeit laufen beide Bewegungen gleichzeitig ab, das Boot fährt deshalb schräg, aber keine hält die andere auf.

Beim Boot können wir uns das leicht vorstellen. Relativ zum Wasser fährt es senkrecht quer, genau wie auf einem Teich. Die Strömung verschiebt nur das ganze Stück Wasser samt Boot flussabwärts, so wie die Rolltreppe die Stufen samt dir verschiebt. Quer über den Fluss treibt das Boot daher nur seine eigene Geschwindigkeit 2 m/s. Die Strömung verläuft entlang der Ufer, hilft also beim Überqueren nicht und behindert es auch nicht. Die Überfahrtszeit hängt deshalb nur von der Flussbreite und der Geschwindigkeit quer ab:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Die ganzen dreißig Sekunden treibt die Strömung das Boot mit der Geschwindigkeit 1 m/s ab. Die Entfernung, um die das Boot weiter flussabwärts anlegt, nennen wir Abdrift:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Das Boot legt dreißig Meter flussabwärts von der Stelle genau gegenüber an. Bei je zwei Metern quer verschiebt die Strömung es um einen Meter am Ufer entlang, seine Bahn ist also eine Gerade. Bei doppelter Strömungsgeschwindigkeit wäre das Boot am anderen Ufer wieder nach einer halben Minute, aber sechzig Meter vom Ziel entfernt.

Wie schnell bewegt sich das Boot relativ zum Ufer? Die resultierende Geschwindigkeit ist die Vektorsumme

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Beide Pfeile zeichnen wir von einem Punkt aus und ergänzen sie zu einem Parallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit ist seine Diagonale. Die Pfeile stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogramm ist hier also ein Rechteck, wie auf der linken Seite des Bildes. Den Betrag der resultierenden Geschwindigkeit berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Relativ zum Ufer ist das Boot schneller als auf stehendem Wasser, aber die zusätzliche Geschwindigkeit trägt es woandershin, als es will. Ein Fehler wäre es, die Geschwindigkeiten wie gewöhnliche Zahlen zu addieren, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. So addieren sich nur Pfeile, die in dieselbe Richtung zeigen, wie auf der Rolltreppe.

Das Ergebnis können wir auf einem anderen Weg prüfen. In 30 s legt das Boot mit der Geschwindigkeit $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ einen schrägen Weg von etwa 67,1 m zurück. Genauso lang ist die Hypotenuse des Dreiecks, das aus der Flussbreite und der Abdrift entsteht:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Passt. Das Boot überquert den Fluss in dreißig Sekunden, bewegt sich dabei relativ zum Ufer mit etwa 2,24 m/s und legt dreißig Meter flussabwärts an.

Wie man genau gegenüber ankommt

Soll der Bootsführer genau gegenüber anlegen, muss er das Boot schräg gegen die Strömung ausrichten. Ein Teil seiner Geschwindigkeit arbeitet dann gegen die Strömung, und der Rest treibt es quer hinüber. Die resultierende Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ soll direkt zum gegenüberliegenden Ufer zeigen, wie auf der rechten Seite des Bildes.

Suche rechts das Dreieck, das aus dem roten Pfeil, dem grünen Pfeil und der gestrichelten Strecke oben besteht. Die gestrichelte Strecke ist die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms, sie ist also genauso lang wie der Pfeil der Strömung und parallel zu ihm. Mit dem grünen Pfeil bildet sie deshalb einen rechten Winkel, genauso wie die Strömung unten. Die Hypotenuse ist die Geschwindigkeit des Boots v₁, und gegenüber dem Winkel α liegt die Geschwindigkeit der Strömung v₂. Deshalb gilt

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Der Sinus ist für den Winkel 30° gleich einem Halben. Der Bootsführer muss das Boot um 30° von der Senkrechten gegen die Strömung ausrichten.

Zum selben Ergebnis führt auch die Zerlegung der Geschwindigkeit des Boots in zwei senkrechte Komponenten. Die eine zeigt gegen die Strömung und hat den Betrag v₁ · sin α, die andere zeigt quer und hat den Betrag v₁ · cos α. Soll das Boot genau gegenüber ankommen, muss die Komponente gegen die Strömung die Strömung genau ausgleichen, es muss v₁ · sin α = v₂ gelten. Nach dem Teilen durch die Geschwindigkeit v₁ erhalten wir wieder $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Die Strömung treibt das Boot dann nirgendwohin ab, und es bleibt nur die Bewegung quer.

Die Geschwindigkeit quer ist die andere Kathete, wir berechnen sie mit dem Satz des Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Genauso käme v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30° heraus. Das Unabhängigkeitsprinzip kommt hier zum zweiten Mal zum Zug. Die Überfahrtszeit bestimmt nur die Geschwindigkeit quer, und die ist jetzt kleiner als vorher, die Überfahrt dauert also länger:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Der direkte Weg ist kürzer und dauert trotzdem fast fünf Sekunden länger. Wer möglichst schnell ans andere Ufer will, zum Beispiel ein Schwimmer im Fluss, soll senkrecht darauf zuhalten und sich mit der Abdrift abfinden. Wer genau gegenüber an der Anlegestelle ankommen will, muss das Boot gegen die Strömung ausrichten und die längere Fahrt in Kauf nehmen.

Denselben Trick kennen Piloten bei Seitenwind. Das Flugzeug fliegt mit dem Bug etwas gegen den Wind, damit es sich relativ zum Boden direkt auf das Ziel zubewegt. Bei der Landung bei starkem Seitenwind nähert es sich der Landebahn deshalb gewissermaßen seitwärts und richtet sich erst kurz über dem Boden gerade aus.

Noch eine Falle. Wäre die Strömung schneller als das Boot, käme ein Sinus größer als eins heraus, und einen solchen Winkel gibt es nicht. Bei gleich schneller Strömung müsste das Boot direkt gegen die Strömung zeigen und käme quer überhaupt nicht voran. Die Strömung würde das Boot immer abtreiben, wie auch immer es zielt. Schon wenn die Strömung nur etwas langsamer ist als das Boot, muss der Bootsführer fast gegen die Strömung halten und kommt quer nur im Schneckentempo voran.

Schräger Regen aus dem fahrenden Auto

Draußen regnet es, und es weht kein Wind, die Tropfen fallen also senkrecht, die großen mit etwa 9 m/s. Steht das Auto, siehst du aus dem Fenster senkrechte Striche. Kaum fährst du aber los, fliegen die Tropfen vor dem Seitenfenster schräg nach hinten, und je schneller du fährst, desto mehr.

Wir beschreiben es im Bezugssystem des Autos. Relativ zum Auto bewegt sich die ganze Landschaft nach hinten, Bäume, Häuser und Tropfen. Jeder Tropfen führt so zwei Bewegungen aus: Er fällt mit 9 m/s nach unten und bewegt sich gleichzeitig mit der Geschwindigkeit des Autos nach hinten. Die resultierende Geschwindigkeit ist ihre Vektorsumme und zeigt schräg nach unten und hinten.

Fährt das Auto ebenfalls mit 9 m/s, also etwa 32 km/h, sind beide Pfeile gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Die resultierende ist die Diagonale eines Quadrats, die Tropfen fallen also unter dem Winkel 45°. Auf der Autobahn ist der waagerechte Pfeil um ein Vielfaches länger als der senkrechte, und die Tropfen fliegen fast waagerecht.

Die Überlegung können wir umdrehen. Wenn du bei 32 km/h die Spuren der Tropfen genau unter dem Winkel 45° siehst, weißt du, dass die Tropfen genauso schnell fallen, wie du fährst. Aus dem Tacho und der Neigung der Spuren schätzen wir die Geschwindigkeit des Regens, ohne auszusteigen.

Die Windschutzscheibe wird bei Regenfahrt am meisten nass, auf die Heckscheibe fallen nur wenige Tropfen. Aus demselben Grund neigt jeder, der im Regen rennt, den Regenschirm nach vorn. Die Tropfen fallen im Bezugssystem des Läufers nämlich schräg von vorn auf ihn. Wer an der Haltestelle steht, hält den Schirm senkrecht, weil die Tropfen von oben auf ihn fallen.

Auch die Geschwindigkeit, mit der die Tropfen auf die Windschutzscheibe treffen, ist eine Überlagerung. Bei 32 km/h ist es die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 9 m/s, also $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Genau deshalb prasseln die Tropfen bei schneller Fahrt im Regen so laut auf die Scheibe.

Boot, Auto und Tropfen bewegten sich hier auf Geraden. Das Pferdchen auf dem Karussell oder die Spitze eines Uhrzeigers laufen aber im Kreis herum. Wie man eine Kreisbewegung beschreibt, was Umlaufdauer, Frequenz und Radiant sind und warum der Rand eines Karussells schneller fährt als die Stellen nahe der Mitte, zeigt der nächste Artikel, Gleichförmige Kreisbewegung.