Mozgások összetétele

Amikor egy közlekedő mozgólépcsőn mész, egyszerre két mozgást végzel: a lábad a lépcsőfokokon visz, a lépcsőfokok pedig közben felfelé visznek. A folyón a csónak a vízhez képest halad, a víz pedig közben végig sodorja. Az eredő mozgást úgy kapjuk, hogy a részmozgásokat összetesszük, vagyis a sebességeiket vektorként, nyilakként adjuk össze.

Járás a mozgólépcsőn

A metró mozgólépcsője v₂ = 0,5 m/s sebességgel emelkedik, és te v₁ = 1 m/s sebességgel lépsz rá. Ezt a lépcsőfokokhoz képest mérjük, ugyanilyen gyorsan indulnál egy közönséges lépcsőn. Az állomáshoz képest gyorsabban haladsz, mert a lépcsőfokok maguktól is haladnak alattad. Mindkét nyíl ugyanarra mutat, így a nagyságuk egyszerűen összeadódik:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

Minden másodpercben megteszel egy métert a lépcsőfokokon, a lépcső pedig még fél méterrel tovább visz. Ha a mozgólépcső s = 30 m hosszú, ennyi idő alatt érsz fel:

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Ha csak állnál, $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ alatt érnél fel, egy egész perc alatt.

Most változtatásként lefelé menő mozgólépcsőre lépsz, és ugyanazzal a lépéssel indulsz felfelé. A nyilak most egymással szemben mutatnak, ezért a nagyságuk kivonódik:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Felérsz ugyan, de a harminc méter megint egy egész percig tart. Ha csak fél métert haladnál másodpercenként, egy helyben tipegnél. Még lassabb lépésnél a mozgólépcső lassan, de biztosan levinne.

Valójában milyen gyorsan mész? Két válasz is helyes. A lépcsőfokokhoz képest 1 m/s, az állomáshoz képest 1,5 m/s vagy 0,5 m/s. Ez a vonatkoztatási rendszertől függ, vagyis attól, mihez képest írjuk le a mozgást.

A mozgólépcsőn mindkét nyíl egy egyenesen fekszik, ezért elég a nagyságokat összeadni vagy kivonni. Érdekesebb a helyzet, amikor a két mozgás különböző irányba mutat.

Csónak a folyón

A folyó d = 60 m széles, és v₂ = 1 m/s sebességgel folyik. A parttól elindul egy csónak, amely állóvízen v₁ = 2 m/s sebességgel halad. A kormányos a csónak orrát merőlegesen a túlpart felé fordítja, és végig így tartja. Pontosan a kiindulási hellyel szemben köt ki? Felírjuk az adatokat:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

A csónak merőlegesen a túlpart felé tart (szürke szaggatott vonal), az áramlat azonban sodorja, ezért ferdén halad a piros nyomon, és lejjebb ér partot az áramlás irányában. A d a folyó szélessége, az x az elsodródás

Nem. Miközben a csónak keresztben hasítja a vizet, a víz alatta folyik, és viszi magával. Az orr ugyan végig merőlegesen mutat a partra, de a csónak ferdén csúszik, és kicsit lejjebb köt ki az áramlás irányában. Az animáción jól látszik: a csónak nem oda halad, ahová az orra mutat. Az orr azt mutatja, merre halad a csónak a vízhez képest. És hány méterre sodorja el az áramlat?

A mozgások nem zavarják egymást

A számítás kulcsa a mozgások függetlenségének elve: ha egy test egyszerre több mozgást végez, mindegyik úgy zajlik, mintha a többi nem lenne. A test ugyanott köt ki, mintha a mozgások egymás után zajlottak volna le.

Próbáljuk ki a csónakkal két lépésben. Először képzeld el, hogy a víz áll, és a kormányos fél percig evez. A csónak egyenesen átkel a túlpartra, és pontosan szemben áll meg. Aztán abbahagyja az evezést, és fél percig hagyja, hogy az áramlat vigye, amely a part mentén elmozdítja. Pontosan ott köt ki, ahová akkor ér, ha mindkettőt egyszerre csinálja. A valóságban a két mozgás egyszerre zajlik, a csónak ezért ferdén halad, de egyik sem tartja fel a másikat.

A csónaknál ezt könnyű elképzelni. A vízhez képest merőlegesen halad át, pontosan úgy, mint egy tavon. Az áramlat csak az egész vízdarabot a csónakkal együtt viszi tovább az áramlás irányában, ahogy a mozgólépcső a lépcsőfokokat veled együtt. A csónakot keresztben tehát csak a saját 2 m/s sebessége hajtja. Az áramlat a partokkal párhuzamosan mutat, így az átkelésen nem segít, és nem is akadályozza. Az átkelés ideje ezért csak a folyó szélességétől és a keresztirányú sebességtől függ:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

A teljes harminc másodperc alatt az áramlat 1 m/s sebességgel sodorja a csónakot. Azt a távolságot, amellyel a csónak lejjebb köt ki az áramlás irányában, elsodródásnak nevezzük:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

A csónak harminc méterrel lejjebb köt ki az áramlás irányában attól a helytől, amely pontosan szemben van. Minden két méter keresztirányú haladásra az áramlat egy métert mozdít a part mentén, így a csónak nyoma egyenes. Kétszer akkora folyósebességnél a csónak a túlparton megint fél perc múlva lenne, de hatvan méterre a céltól.

A sebességek nyilai. Balra a csónak merőlegesen a part felé tart: a piros a csónak v⃗_1 sebessége, a kék az áramlat v⃗_2 sebessége, a zöld az eredő v⃗. Jobbra a csónak az áramlással szemben α szögben tart, és az eredő sebesség egyenesen keresztbe mutat

Milyen gyorsan mozog a csónak a parthoz képest? Az eredő sebesség a vektorösszeg

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Mindkét nyilat ugyanabból a pontból rajzoljuk, és paralelogrammává egészítjük ki, az eredő sebesség ennek az átlója. A nyilak merőlegesek egymásra, így a paralelogramma itt téglalap, mint az ábra bal oldalán. Az eredő sebesség nagyságát a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

A parthoz képest a csónak gyorsabb, mint állóvízen, de ez a többletsebesség máshová viszi, mint ahová akar. Hiba lenne a sebességeket közönséges számokként összeadni, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Így csak az egy irányba mutató nyilakat adjuk össze, mint a mozgólépcsőn.

Az eredményt más úton is ellenőrizhetjük. 30 s alatt a csónak $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ sebességgel nagyjából 67,1 m ferde utat tesz meg. Ugyanilyen hosszú annak a háromszögnek az átfogója, amelyet a folyó szélessége és az elsodródás alkot:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Egyezik. A csónak harminc másodperc alatt kel át a folyón, közben a parthoz képest nagyjából 2,24 m/s sebességgel mozog, és harminc méterrel lejjebb köt ki az áramlás irányában.

Hogyan jussunk át pontosan szemben

Ha a kormányos pontosan szemben akar kikötni, a csónakot ferdén az áramlással szemben kell fordítania. A sebességének egy része ekkor az áramlatot győzi le, a többi keresztben viszi. A $\vec{v}$ eredő sebességnek egyenesen a túlpart felé kell mutatnia, mint az ábra jobb oldalán.

Jobbra keresd azt a háromszöget, amelyet a piros nyíl, a zöld nyíl és a felső szaggatott szakasz alkot. A szaggatott szakasz a paralelogramma szemközti oldala, ezért ugyanolyan hosszú, mint az áramlat nyila, és párhuzamos vele. A zöld nyíllal így derékszöget zár be, ugyanúgy, mint lent az áramlat. Az átfogó a csónak v₁ sebessége, és az α szöggel szemben az áramlat v₂ sebessége van. Ezért

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

A szinusz értéke a 30° szögnél egy fél. A kormányosnak a csónakot a merőlegestől 30° szöggel kell az áramlással szemben fordítania.

Ugyanerre az eredményre vezet a csónak sebességének két merőleges összetevőre való felbontása is. Az egyik az áramlással szemben mutat, és nagysága v₁ · sin α, a másik keresztben, és nagysága v₁ · cos α. Ha a csónaknak pontosan szemben kell haladnia, az áramlással szembeni összetevőnek pontosan ki kell egyenlítenie az áramlatot, vagyis v₁ · sin α = v₂ teljesülnie kell. A v₁ sebességgel elosztva újra $\sin α = \frac{1}{2}$ adódik. Az áramlat ekkor a csónakot sehová sem sodorja, és csak a keresztirányú mozgás marad.

A keresztirányú sebesség a másik befogó, a Pitagorasz-tétellel számoljuk ki:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Ugyanez jönne ki a v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30° szorzatból is. A mozgások függetlenségének elve itt másodszor jön jól. Az átkelés idejét csak a keresztirányú sebesség határozza meg, és az most kisebb, mint előbb, ezért az átkelés tovább tart:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

Az egyenes út rövidebb, mégis majdnem öt másodperccel tovább tart. Aki a lehető leggyorsabban akar átjutni a túlpartra, például egy úszó a folyóban, merőlegesen célozzon, és törődjön bele az elsodródásba. Aki pontosan szemben szeretne kikötni a stégnél, az fordítsa a csónakot az áramlással szembe, és törődjön bele a hosszabb átkelésbe.

Ugyanezt a trükköt ismerik a pilóták oldalszélben. A repülőgép kicsit a szélnek fordított orral repül, hogy a földhöz képest egyenesen a cél felé haladjon. Erős oldalszélben landoláskor ezért mintha oldalazva közelítene a kifutópályához, és csak közvetlenül a föld felett igazodik egyenesbe.

Még egy csapda. Ha az áramlat gyorsabb volna a csónaknál, a szinusz egynél nagyobb lenne, és ilyen szög nem létezik. Ugyanolyan gyors áramlatnál egyenesen az áramlással szemben kellene céloznia, és keresztben egyáltalán nem mozdulna. Az áramlat mindig elsodorná a csónakot, bárhogy célozna is. Már akkor is, ha az áramlat csak kicsit lassabb a csónaknál, a kormányosnak majdnem az áramlással szemben kell céloznia, és keresztben csak csigatempóban halad.

Ferde eső a haladó autóból

Odakint zuhog, és nem fúj a szél, ezért az esőcseppek függőlegesen esnek, a nagyok nagyjából 9 m/s sebességgel. Amikor az autó áll, az ablakból függőleges vonalkákat látsz. De alighogy elindulsz, az oldalablaknál a cseppek ferdén hátrafelé repülnek, és minél gyorsabban mész, annál jobban.

Írjuk le ezt az autóhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben. Az autóhoz képest az egész táj hátrafelé csúszik, a fák, a házak és a cseppek is. Minden csepp így két mozgást végez: lefelé esik 9 m/s sebességgel, és egyszerre hátrafelé mozog az autó sebességével. Az eredő sebesség a vektorösszegük, és ferdén lefelé és hátrafelé mutat.

Ha az autó is 9 m/s sebességgel megy, vagyis nagyjából 32 km/h sebességgel, a két nyíl egyforma hosszú és merőleges. Az eredő a négyzet átlója, ezért a cseppek 45° szögben esnek. Az autópályán a vízszintes nyíl többszöröse a függőlegesnek, és a cseppek szinte vízszintesen repülnek.

A gondolatmenetet meg is fordíthatjuk. Ha 32 km/h sebességgel haladva a cseppek nyomát pontosan 45° szögben látod, tudod, hogy a cseppek ugyanolyan gyorsan esnek, mint amilyen gyorsan mész. A sebességmérőből és a nyomok dőlésszögéből megbecsülhetjük az eső sebességét, anélkül hogy kiszállnánk.

A szélvédőt esőben menet közben éri a legtöbb csepp, a hátsó ablakra kevés csepp esik. Ugyanezért dönti előre az esernyőjét mindenki, aki esőben fut. A cseppek ugyanis a futó vonatkoztatási rendszerében ferdén elölről esnek rá. Aki a megállóban áll, függőlegesen tartja az esernyőt, mert a cseppek felülről esnek rá.

Az a sebesség is összetett, amellyel a cseppek a szélvédőbe csapódnak. 32 km/h sebességnél ez egy 9 m/s oldalú négyzet átlója, vagyis $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Éppen ezért dobolnak a cseppek olyan hangosan az üvegen, ha gyorsan megyünk esőben.

A csónak, az autó és a cseppek itt mind egyenes vonalban mozogtak. A körhinta lova vagy az óra mutatójának hegye viszont körben jár. Hogyan írjuk le a körmozgást, mi a periódusidő, a frekvencia és a radián, és miért megy gyorsabban a körhinta széle, mint a közepe közelében lévő helyek, azt a következő, Egyenletes körmozgás című cikk mutatja meg.

« Előző: Szabadesés

Következő: Egyenletes körmozgás »