Hareketlerin Bileşimi

Giden bir yürüyen merdivende yürürken aynı anda iki hareket yaparsın: bacakların seni basamaklarda taşır, basamaklar da bu sırada seni yukarı götürür. Nehirdeki kayık suya göre yüzer, su da bu sırada onu durmadan sürükler. Bileşke hareketi, bileşen hareketleri birleştirerek buluruz, yani hızlarını vektör olarak, oklar olarak toplarız.

Yürüyen Merdivende Yürümek

Metrodaki yürüyen merdiven v₂ = 0,5 m/s hızla yükseliyor ve sen üzerinde v₁ = 1 m/s hızla yürümeye başlıyorsun. Bu hızı basamaklara göre ölçüyorsun, sıradan bir merdivende de aynı hızla yürürdün. İstasyona göre daha hızlı ilerlersin, çünkü basamaklar altında kendiliğinden kayıyor. İki ok da aynı yöne bakıyor, bu yüzden büyüklükleri doğrudan toplanır:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Her saniye basamaklarda bir metre yürürsün ve basamaklar seni bunun üstüne yarım metre daha taşır. Yürüyen merdiven s = 30 m uzunluğundaysa, yukarıya şu sürede varırsın:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Olduğun yerde dursaydın $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, yani tam bir dakika giderdin.

Bu sefer aşağı inen bir yürüyen merdivene binelim ve onda aynı adımla yukarı yürüyelim. Oklar şimdi birbirine ters bakıyor, bu yüzden büyüklükleri çıkarılır:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Yukarıya çıkarsın, ama otuz metre yine tam bir dakikanı alır. Saniyede yalnızca yarım metre yürüseydin, olduğun yerde tepinirdin. Daha da yavaş yürüseydin yürüyen merdiven seni yavaş ama emin biçimde aşağı götürürdü.

Peki gerçekte ne kadar hızlı yürüyorsun? İki cevap da doğru. Basamaklara göre 1 m/s, istasyona göre 1,5 m/s ya da 0,5 m/s. Bu, hareketi neye göre tanımladığımıza, yani referans sistemine bağlıdır.

Yürüyen merdivende iki ok da aynı doğru üzerinde yatıyor, bu yüzden büyüklükleri toplamak ya da çıkarmak yeter. İki hareketin her biri başka yöne bakınca durum daha ilginç olur.

Nehirde Kayık

Nehir d = 60 m genişliğinde ve v₂ = 1 m/s hızla akıyor. Durgun suda v₁ = 2 m/s hızla yüzen bir kayık kıyıdan ayrılıyor. Dümenci kayığın başını karşı kıyıya dik çeviriyor ve bütün süre boyunca öyle tutuyor. Yola çıktığı yerin tam karşısına mı varır? Verilenleri yazalım:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Varamaz. Kayık karşıya doğru kürek çekerken altındaki su akar ve onu da beraber götürür. Başı hep kıyıya dik yönelmiş olsa da kayık eğik kayar ve akıntı yönünde biraz ileriye varır. Animasyonda bu iyi görünüyor: kayık, burnunun gösterdiği yöne gitmiyor. Burun, kayığın suya göre nereye gittiğini gösterir. Peki akıntı onu kaç metre sürükler?

Hareketler Birbirini Engellemez

Hesabın anahtarı hareketlerin bağımsızlığı ilkesidir: cisim aynı anda birkaç hareket yapıyorsa, her biri sanki diğerleri yokmuş gibi gerçekleşir. Cisim, hareketler birbiri ardına gerçekleşseydi varacağı yerde biter.

Kayıkla iki adımda deneyelim. Önce suyun durduğunu ve dümencinin yarım dakika kürek çektiğini düşün. Kayık dosdoğru karşıya yüzer ve tam karşıda durur. Sonra kürek çekmeyi bırakır ve yarım dakika kendini akıntıya bırakır, akıntı onu kıyı boyunca götürür. Tam olarak, ikisini aynı anda yaptığında varacağı yerde durur. Gerçekte iki hareket aynı anda gerçekleşir, bu yüzden kayık eğik yüzer, ama biri diğerini geciktirmez.

Kayıkta bunu kolay hayal ederiz. Suya göre göletteki gibi dosdoğru karşıya yüzer. Akıntı yalnızca o su parçasını kayıkla birlikte akıntı yönünde taşır, tıpkı yürüyen merdivenin basamakları seninle birlikte taşıması gibi. Kayığı karşıya bu yüzden yalnızca kendi 2 m/s hızı götürür. Akıntı kıyılara paralel yöndedir, bu yüzden karşıya geçmeye ne yardım eder ne de engel olur. Karşıya geçme süresi bu yüzden yalnızca nehrin genişliğine ve karşıya doğru hıza bağlıdır:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Bütün otuz saniye boyunca akıntı kayığı 1 m/s hızla sürükler. Kayığın akıntı yönünde daha ileriye vardığı uzaklığa sürüklenme deriz:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Kayık, tam karşı noktanın otuz metre ilerisine, akıntı yönünde varır. Kayık karşıya doğru her iki metre ilerlediğinde akıntı onu kıyı boyunca bir metre kaydırır, bu yüzden izi bir doğrudur. Nehrin hızı iki kat olsaydı kayık karşı kıyıda yine yarım dakikada olurdu, ama hedeften altmış metre uzakta.

Kayık kıyıya göre ne kadar hızlı hareket ediyor? Bileşke hız vektörel toplamdır:

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

İki oku tek noktadan çizer ve paralelkenara tamamlarız, bileşke hız onun köşegenidir. Oklar birbirine dik olduğundan paralelkenar burada bir dikdörtgendir, şeklin sol tarafındaki gibi. Bileşke hızın büyüklüğünü Pisagor teoremiyle hesaplarız:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Kayık kıyıya göre durgun sudakinden daha hızlıdır, ama fazladan gelen bu hız onu istediği yere değil, başka yere taşır. Hızları sıradan sayılar gibi toplamak hata olurdu, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Yalnızca aynı yöne bakan oklar böyle toplanır, yürüyen merdivende olduğu gibi.

Sonucu başka bir yoldan da kontrol edebiliriz. 30 s’de kayık $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ hızla yaklaşık 67,1 m eğik yol alır. Nehrin genişliği ve sürüklenmeden oluşan üçgenin hipotenüsü de aynı uzunluktadır:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Uyuyor. Kayık nehri otuz saniyede geçer, kıyıya göre yaklaşık 2,24 m/s hızla hareket eder ve akıntı yönünde otuz metre ileride karaya çıkar.

Tam Karşıya Nasıl Varılır

Dümenci tam karşıya varmak istiyorsa kayığı akıntıya karşı eğik çevirmelidir. Kayığın hızının bir kısmı o zaman akıntıyı yener, geri kalanı onu karşıya iter. Bileşke hız $\overrightarrow{v}$, şeklin sağ tarafındaki gibi doğrudan karşı kıyıya bakmalıdır.

Sağda kırmızı ok, yeşil ok ve üstteki kesikli doğru parçasının oluşturduğu üçgene bak. Kesikli doğru parçası paralelkenarın karşı kenarıdır, bu yüzden akıntı okuyla aynı uzunlukta ve ona paraleldir. Yeşil okla bu yüzden dik açı yapar, tıpkı aşağıdaki akıntı gibi. Hipotenüs kayığın v₁ hızıdır ve α açısının karşısında akıntının v₂ hızı yer alır. Bu yüzden

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sinüsün yarıma eşit olduğu açı 30°’dir. Dümenci kayığı dik doğrultudan akıntıya karşı 30° çevirmelidir.

Aynı sonuca kayığın hızını iki dik bileşene ayırarak da varılır. Biri akıntıya karşı bakar ve büyüklüğü v₁ · sin α’dır, öbürü karşıya bakar ve büyüklüğü v₁ · cos α’dır. Kayık dosdoğru karşıya yüzecekse, akıntıya karşı bileşen akıntıyı tam olarak dengelemelidir, v₁ · sin α = v₂ olmalıdır. v₁ hızına bölünce yine $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ buluruz. Akıntı o zaman kayığı hiçbir yere sürüklemez ve geriye yalnızca karşıya hareket kalır.

Karşıya doğru hız öbür dik kenardır, onu Pisagor teoremiyle hesaplarız:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Aynı sonuç v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30° ile de çıkardı. Bağımsızlık ilkesi burada ikinci kez işe yarıyor. Karşıya geçme süresini yalnızca karşıya doğru hız belirler ve o şimdi öncekinden küçüktür, bu yüzden geçiş daha uzun sürer:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Doğrudan yol daha kısadır, ama yine de yaklaşık beş saniye daha uzun sürer. Karşı kıyıya mümkün olduğunca çabuk varmak isteyen, örneğin nehirde yüzen biri, dik yönelmeli ve sürüklenmeye razı olmalıdır. Tam karşıdaki iskeleye varmak isteyen ise akıntıya karşı dönmeli ve daha uzun yüzmeye razı olmalıdır.

Aynı hileyi yan rüzgârda pilotlar bilir. Uçak, yere göre doğrudan hedefe gitsin diye burnunu rüzgâra doğru biraz çevirerek uçar. Güçlü yan rüzgârda inişte bu yüzden piste sanki yan yan yaklaşır ve ancak yere çok yakınken düzelir.

Bir tuzak daha. Akıntı kayıktan hızlı olsaydı sinüs birden büyük çıkardı ve böyle bir açı yoktur. Akıntı aynı hızda olsaydı kayık doğrudan akıntıya karşı yönelmek zorunda kalırdı ve karşıya hiç ilerlemezdi. Akıntı, kayık nasıl yönelirse yönelsin onu hep sürüklerdi. Akıntı kayıktan yalnızca biraz yavaş olduğunda bile dümenci neredeyse akıntıya karşı yönelmek zorundadır ve karşıya salyangoz hızıyla ilerler.

Giden Arabadan Eğik Yağmur

Dışarıda yağmur yağıyor ve rüzgâr esmiyor, bu yüzden damlalar düşey düşüyor, büyük olanlar yaklaşık 9 m/s ile. Araba durduğunda pencereden düşey çizgiler görürsün. Ama hareket eder etmez yan camın arkasındaki damlalar eğik olarak geriye doğru uçar ve ne kadar hızlı gidersen o kadar çok.

Bunu arabaya bağlı referans sisteminde tanımlayalım. Arabaya göre bütün manzara geriye kayar, ağaçlar, evler ve damlalar. Her damla bu yüzden iki hareket yapar: 9 m/s hızla aşağı düşer ve aynı zamanda arabanın hızıyla geriye doğru hareket eder. Bileşke hız bunların vektörel toplamıdır ve eğik olarak aşağı ve geriye bakar.

Araba da 9 m/s ile, yani yaklaşık 32 km/h ile giderse, iki ok aynı uzunlukta ve diktir. Bileşke karenin köşegenidir, bu yüzden damlalar 45° açıyla düşer. Otoyolda yatay ok düşeyden birkaç kat uzundur ve damlalar neredeyse yatay uçar.

Düşünceyi tersine çevirebiliriz. 32 km/h ile giderken damla izlerini tam 45° açıyla görüyorsan, damlaların senin gittiğin kadar hızlı düştüğünü bilirsin. Hız göstergesinden ve izlerin eğiminden, arabadan inmeden yağmurun hızını tahmin ederiz.

Yağmurda giderken ön cam en çok ıslanır, arka cama ise az damla düşer. Aynı nedenle yağmurda koşan herkes şemsiyesini öne eğer. Damlalar koşucunun referans sisteminde ona önden eğik düşer. Durakta bekleyen ise şemsiyesini düşey tutar, çünkü damlalar ona yukarıdan düşer.

Damlaların ön cama çarpma hızı da birleşir. 32 km/h’te bu, kenarı 9 m/s olan karenin köşegenidir, yani $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hızlı gidince damlaların cama bu kadar gürültüyle vurmasının nedeni tam olarak budur.

Kayık, araba ve damlalar burada doğrular üzerinde hareket etti. Ama atlıkarıncadaki at ya da akrebin ucu çember çizerek döner. Çember üzerindeki hareketin nasıl tanımlanacağını, periyot, frekans ve radyanın ne olduğunu ve atlıkarıncanın kenarının neden merkeze yakın yerlerden daha hızlı gittiğini bir sonraki makale, Düzgün Çembersel Hareket gösterecek.