Додавання рухів

Коли ти йдеш по ескалатору, що їде, то виконуєш одразу два рухи: ноги несуть тебе по сходах, а сходи водночас підіймають тебе вгору. Човен на річці пливе відносно води, а вода весь час зносить його вбік. Підсумковий рух ми отримуємо, коли додаємо окремі рухи, тобто знаходимо суму їхніх швидкостей як вектори, як стрілки.

Ходьба по ескалатору

Ескалатор у метро піднімається зі швидкістю v₂ = 0,5 м/с, а ти ступаєш на нього зі швидкістю v₁ = 1 м/с. Цю швидкість ти вимірюєш відносно сходів, з такою самою швидкістю можна йти й звичайними сходами. Відносно станції ти просуваєшся швидше, бо сходи під тобою їдуть самі. Обидві стрілки напрямлені в один бік, тому їхні модулі просто додаються:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 м / с + 0, 5 м / с = 1, 5 м / с$

За кожну секунду ти проходиш сходами метр, а сходи підвозять тебе ще на півметра. Якщо довжина ескалатора s = 30 м, то вгорі ти опинишся через

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 м}{1, 5 м / с} = 20 с .$

Якщо просто стояти на місці, поїздка триватиме $\frac{30 м}{0, 5 м / с} = 60 с$ , цілу хвилину.

А тепер ступи на ескалатор, що їде вниз, і піди по ньому вгору тим самим кроком. Стрілки тепер напрямлені назустріч одна одній, тому модулі віднімаються:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 м / с - 0, 5 м / с = 0, 5 м / с$

Угору ти все-таки дістанешся, але тридцять метрів забере знову цілу хвилину. Якщо йти лише зі швидкістю півметра за секунду, доведеться тупцювати на місці. А за ще повільнішого кроку ескалатор повільно, але неухильно повіз би тебе вниз.

З якою ж швидкістю ти насправді йдеш? Правильних відповідей дві. Відносно сходів 1 м/с, відносно станції 1,5 м/с або 0,5 м/с. Усе залежить від системи відліку, тобто від того, відносно чого ми описуємо рух.

На ескалаторі обидві стрілки лежать на одній прямій, тож досить додати або відняти модулі. Цікавіше стає тоді, коли два рухи напрямлені в різні боки.

Човен через річку

Річка завширшки d = 60 м тече зі швидкістю v₂ = 1 м/с. Від берега відчалює човен, який у стоячій воді пливе зі швидкістю v₁ = 2 м/с. Стерновий повертає його носом перпендикулярно до протилежного берега й увесь час тримає так. Чи опиниться човен точно навпроти того місця, звідки вирушив? Запишемо умову:

$\begin{aligned} d & = 60 м \\ v_{1} & = 2 м / с \\ v_{2} & = 1 м / с \end{aligned}$

Човен спрямований перпендикулярно до протилежного берега (сірий штриховий відрізок), але течія зносить його, тому він пливе навскіс червоним слідом і причалює нижче за течією. d — ширина річки, x — знесення

Не опиниться. Поки човен пробивається впоперек, вода під ним тече й несе його з собою. Ніс, звісно, весь час спрямований перпендикулярно до берега, але човен зсувається навскіс і причалює трохи далі за течією. В анімації це добре видно: човен пливе не туди, куди вказує його ніс. Ніс показує, куди човен пливе відносно води. А на скільки метрів його знесе течія?

Рухи не заважають один одному

Ключ до розрахунку — принцип незалежності рухів: якщо тіло виконує кілька рухів одночасно, то кожен із них відбувається так, ніби інших немає. Тіло опиняється в тому самому місці, що й тоді, коли б рухи відбулися один за одним.

Спробуймо це на човні у два кроки. Спершу уяви, що вода стоїть, а стерновий пів хвилини веслує. Човен пливе рівно впоперек і зупиняється точно навпроти. Потім він перестає веслувати й пів хвилини дає течії нести себе вздовж берега. Човен опиняється саме там, куди допливе, коли робитиме і те, й інше одночасно. Насправді обидва рухи відбуваються водночас, тому човен пливе навскіс, але жоден не затримує другий.

З човном це уявити легко. Відносно води він пливе перпендикулярно впоперек, як на ставку. Течія лише зсуває весь цей шматок води разом із човном, так само як ескалатор зсуває сходи разом із тобою. Тож упоперек човен рухає лише його власна швидкість 2 м/с. Течія напрямлена вздовж берегів, тому вона ані не допомагає перепливти, ані не заважає. Час переправи залежить лише від ширини річки та швидкості впоперек:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 м}{2 м / с} = 30 с$

Усі ці тридцять секунд течія зносить човен зі швидкістю 1 м/с. Відстань, на яку човен причалить нижче за течією, називають знесенням:

$x = v_{2} \cdot t = 1 м / с \cdot 30 с = 30 м$

Човен причалить на тридцять метрів нижче за течією від місця, що лежить точно навпроти. На кожні два метри впоперек течія зсуває його на метр уздовж берега, тому слід човна — пряма. Якби швидкість річки була вдвічі більшою, човен знову був би на другому березі за пів хвилини, але за шістдесят метрів від мети.

Стрілки швидкостей. Ліворуч човен спрямований перпендикулярно до берега: червона швидкість човна v⃗_1, синя швидкість течії v⃗_2 і зелена сумарна v⃗. Праворуч човен спрямований під кутом α проти течії, і сумарна швидкість веде просто впоперек

З якою швидкістю човен рухається відносно берега? Сумарна швидкість — це векторна сума

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Обидві стрілки відкладаємо з однієї точки й добудовуємо їх до паралелограма, сумарна швидкість — його діагональ. Стрілки перпендикулярні одна до одної, тож паралелограм тут — прямокутник, як на лівій частині рисунка. Модуль сумарної швидкості обчислимо за теоремою Піфагора:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 м / с)^{2} + (1 м / с)^{2}} \\ = \sqrt{5 м^{2} {/ с}^{2}} \approx 2, 24 м / с \end{aligned}$

Відносно берега човен швидший, ніж у стоячій воді, але ця додаткова швидкість несе його не туди, куди він хоче. Помилкою було б додати швидкості як звичайні числа: 2 м/с + 1 м/с = 3 м/с. Так додаються лише стрілки, напрямлені в один бік, як на ескалаторі.

Результат можна перевірити іншим способом. За 30 с човен зі швидкістю $\sqrt{5 м^{2} {/ с}^{2}}$ проходить похилий шлях приблизно 67,1 м. Така сама довжина гіпотенузи трикутника, який утворюють ширина річки та знесення:

$\sqrt{(60 м)^{2} + (30 м)^{2}} = \sqrt{4 500 м^{2}} \approx 67, 1 м$

Збігається. Човен перепливає річку за тридцять секунд, відносно берега рухається зі швидкістю приблизно 2,24 м/с і причалює за тридцять метрів нижче за течією.

Як допливти точно навпроти

Щоб причалити точно навпроти, стерновий має повернути човен навскіс проти течії. Тоді частина його швидкості долає течію, а решта жене човен упоперек. Сумарна швидкість $\vec{v}$ має бути спрямована просто до протилежного берега, як на правій частині рисунка.

Праворуч знайди трикутник, який утворюють червона стрілка, зелена стрілка та штриховий відрізок угорі. Штриховий відрізок — протилежна сторона паралелограма, тому він такої самої довжини, як стрілка течії, і паралельний їй. Отже, із зеленою стрілкою він утворює прямий кут, так само як течія внизу. Гіпотенуза — це швидкість човна v₁, а навпроти кута α лежить швидкість течії v₂. Тому

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 м / с}{2 м / с} = \frac{1}{2} .$

Синус дорівнює одній другій для кута 30°. Стерновий має повернути човен на 30° від перпендикуляра проти течії.

До того самого результату веде й розкладання швидкості човна на дві взаємно перпендикулярні складові. Одна напрямлена проти течії й має модуль v₁ · sin α, друга напрямлена впоперек і має модуль v₁ · cos α. Щоб човен плив точно навпроти, складова проти течії має точно зрівноважити течію, тобто має виконуватися v₁ · sin α = v₂. Після ділення на швидкість v₁ знову дістаємо $\sin α = \frac{1}{2}$ . Течія тоді нікуди не зносить човен, і лишається тільки рух упоперек.

Швидкість упоперек — це другий катет, його обчислимо за теоремою Піфагора:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 м / с)^{2} - (1 м / с)^{2}} \\ = \sqrt{3 м^{2} {/ с}^{2}} \approx 1, 73 м / с \end{aligned}$

Так само вийшло б із v₁ · cos α = 2 м/с · cos 30°. Принцип незалежності тут стає в пригоді вдруге. Час переправи визначає лише швидкість упоперек, а вона тепер менша, ніж раніше, тому переправа триватиме довше:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 м}{\sqrt{3 м^{2} {/ с}^{2}}} \approx 34, 6 с$

Прямий шлях коротший, а проте триває майже на п'ять секунд довше. Хто хоче потрапити на інший берег якнайшвидше, наприклад плавець у річці, має пливти перпендикулярно до берега і змиритися зі знесенням. Хто хоче причалити до пристані точно навпроти, мусить повернутися проти течії й змиритися з довшою переправою.

Такий самий прийом знають пілоти під час бокового вітру. Літак летить носом трохи проти вітру, щоб відносно землі рухатися просто до мети. Тому під час посадки в сильний боковий вітер літак наближається до смуги ніби боком і вирівнюється лише над самою землею.

Є ще одна пастка. Якби течія була швидшою за човен, синус вийшов би більшим за одиницю, а такого кута не існує. За однаково швидкої течії човен мусив би триматися точно проти течії й упоперек не зрушив би зовсім. Течія зносила б його завжди, куди б він не був спрямований. Навіть коли течія лише трохи повільніша за човен, стерновий мусить триматися майже проти течії, і впоперек човен просувається равликовим темпом.

Похилий дощ з автомобіля, що їде

Надворі ллє, а вітру немає, тому краплі падають вертикально, великі зі швидкістю приблизно 9 м/с. Коли автомобіль стоїть, ти бачиш із вікна вертикальні рисочки. Але щойно ти рушаєш, краплі за боковим вікном летять навскіс назад, і що швидше ти їдеш, то більший нахил.

Опишемо це в системі відліку, пов'язаній з автомобілем. Відносно автомобіля вся місцевість рухається назад: дерева, будинки й краплі. Тому кожна крапля виконує два рухи: падає вниз зі швидкістю 9 м/с і водночас рухається назад зі швидкістю автомобіля. Сумарна швидкість — їхня векторна сума, і вона напрямлена навскіс униз і назад.

Коли автомобіль теж їде зі швидкістю 9 м/с, тобто приблизно 32 км/год, обидві стрілки однакової довжини й перпендикулярні. Сумарна швидкість — діагональ квадрата, тож краплі падають під кутом 45°. На автомагістралі горизонтальна стрілка в кілька разів довша за вертикальну, і краплі летять майже горизонтально.

Міркування можна обернути. Якщо під час руху зі швидкістю 32 км/год ти бачиш сліди крапель точно під кутом 45°, то знаєш, що краплі падають так само швидко, як ти їдеш. За спідометром і нахилом слідів можна оцінити швидкість дощу, не виходячи з машини.

Лобове скло під час їзди під дощем заливається найбільше, а на заднє потрапляє мало крапель. З тієї самої причини парасольку нахиляє вперед кожен, хто біжить під дощем. Адже в системі відліку бігуна краплі падають на неї навскіс спереду. Хто стоїть на зупинці, тримає парасольку вертикально, бо краплі падають на неї згори.

Складається й швидкість, з якою краплі вдаряються в лобове скло. За 32 км/год це діагональ квадрата зі стороною 9 м/с, тобто $\sqrt{2} \cdot 9 м / с \approx 12, 7 м / с$ . Саме тому краплі під час швидкої їзди так гучно барабанять по склу.

Човен, автомобіль і краплі рухалися тут по прямих. Але конячка на каруселі або кінчик годинникової стрілки обертаються по колу. Як описати рух по колу, що таке період, частота і радіани та чому край каруселі їде швидше, ніж місця біля центру, покаже наступна стаття — Рівномірний рух по колу.

« Попередня: Вільне падіння

Наступна: Рівномірний рух по колу »