Σύνθεση κινήσεων

Όταν περπατάς σε μια κυλιόμενη σκάλα που ανεβαίνει, εκτελείς δύο κινήσεις ταυτόχρονα: τα πόδια σου σε πηγαίνουν πάνω στα σκαλοπάτια και τα σκαλοπάτια σε ανεβάζουν. Μια βάρκα σε ένα ποτάμι κινείται ως προς το νερό και το νερό την παρασύρει όλη την ώρα. Τη συνολική κίνηση τη βρίσκουμε συνθέτοντας τις επιμέρους κινήσεις, δηλαδή προσθέτοντας τις ταχύτητές τους ως διανύσματα, ως βέλη.

Περπάτημα σε κυλιόμενη σκάλα

Η κυλιόμενη σκάλα του μετρό ανεβαίνει με ταχύτητα υ₂ = 0,5 m/s και εσύ περπατάς πάνω της με ταχύτητα υ₁ = 1 m/s. Αυτή τη μετράς ως προς τα σκαλοπάτια, με την ίδια ταχύτητα θα περπατούσες και σε μια συνηθισμένη σκάλα. Ως προς τον σταθμό προχωράς ταχύτερα, επειδή τα σκαλοπάτια κινούνται από μόνα τους κάτω από τα πόδια σου. Και τα δύο βέλη δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση, γι' αυτό τα μέτρα τους απλώς προστίθενται:

$$\upsilon ={\upsilon }_1+{\upsilon }_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Σε κάθε δευτερόλεπτο κάνεις ένα μέτρο πάνω στα σκαλοπάτια και τα σκαλοπάτια σε ανεβάζουν άλλο μισό μέτρο. Αν η κυλιόμενη σκάλα έχει μήκος s = 30 m, θα είσαι πάνω σε

$$t=\frac{s}{\upsilon }=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Αν απλώς στεκόσουν ακίνητος, θα ανέβαινες σε $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, ολόκληρο λεπτό.

Ας πούμε τώρα ότι ανεβαίνεις σε μια κυλιόμενη σκάλα που κατεβαίνει, με το ίδιο βήμα. Τα βέλη δείχνουν τώρα αντίθετα, και γι' αυτό τα μέτρα αφαιρούνται:

$$\upsilon ={\upsilon }_1-{\upsilon }_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Θα φτάσεις μεν πάνω, αλλά τα τριάντα μέτρα θα σου πάρουν πάλι ολόκληρο λεπτό. Αν περπατούσες με μισό μέτρο το δευτερόλεπτο, θα έμενες στο ίδιο σημείο. Με ακόμη πιο αργό βήμα η κυλιόμενη σκάλα θα σε κατέβαζε αργά αλλά σταθερά.

Πόσο γρήγορα περπατάς λοιπόν στην πραγματικότητα; Σωστές είναι δύο απαντήσεις. Ως προς τα σκαλοπάτια 1 m/s, ως προς τον σταθμό 1,5 m/s ή 0,5 m/s. Εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς, δηλαδή από το τι παίρνουμε ως αναφορά για να περιγράψουμε την κίνηση.

Στην κυλιόμενη σκάλα και τα δύο βέλη βρίσκονται στην ίδια ευθεία, και έτσι αρκεί να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τα μέτρα. Πιο ενδιαφέρον γίνεται όταν δύο κινήσεις έχουν διαφορετικές διευθύνσεις.

Βάρκα που περνά το ποτάμι

Το ποτάμι έχει πλάτος d = 60 m και ρέει με ταχύτητα υ₂ = 1 m/s. Από την όχθη ξεκινά μια βάρκα που σε ήρεμο νερό κινείται με ταχύτητα υ₁ = 2 m/s. Ο τιμονιέρης στρέφει την πλώρη κάθετα προς την απέναντι όχθη και την κρατά έτσι όλη την ώρα. Θα καταλήξει ακριβώς απέναντι από το σημείο εκκίνησης; Γράφουμε τα δεδομένα:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ {\upsilon }_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ {\upsilon }_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Δεν θα φτάσει. Ενώ η βάρκα κόβει κάθετα το ποτάμι, το νερό κάτω από αυτήν ρέει και τη μεταφέρει μαζί του. Η πλώρη δείχνει συνεχώς κάθετα προς την όχθη, η βάρκα όμως ολισθαίνει πλάγια και φτάνει λίγο πιο κάτω, κατά τη ροή. Στην κινούμενη εικόνα φαίνεται καθαρά: η βάρκα δεν κινείται προς εκεί που δείχνει η πλώρη της. Η πλώρη δείχνει προς πού κινείται η βάρκα ως προς το νερό. Και πόσα μέτρα θα τη μεταφέρει το ρεύμα;

Οι κινήσεις δεν εμποδίζουν η μία την άλλη

Το κλειδί του υπολογισμού είναι η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων: αν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα περισσότερες κινήσεις, καθεμιά τους γίνεται σαν να μην υπήρχαν οι άλλες. Το σώμα καταλήγει στο ίδιο σημείο όπως αν οι κινήσεις γίνονταν η μία μετά την άλλη.

Ας το δοκιμάσουμε με τη βάρκα σε δύο βήματα. Πρώτα φαντάσου ότι το νερό είναι ακίνητο και ο τιμονιέρης κωπηλατεί μισό λεπτό. Η βάρκα διασχίζει ευθεία το ποτάμι και σταματά ακριβώς απέναντι. Μετά σταματά να κωπηλατεί και για μισό λεπτό αφήνεται να τη μεταφέρει το ρεύμα, που την παρασύρει κατά μήκος της όχθης. Καταλήγει ακριβώς στο σημείο όπου φτάνει όταν κάνει και τα δύο ταυτόχρονα. Στην πραγματικότητα οι δύο κινήσεις γίνονται την ίδια στιγμή και η βάρκα γι' αυτό κινείται πλάγια, καμία όμως δεν καθυστερεί την άλλη.

Στη βάρκα είναι εύκολο να το φανταστείς. Ως προς το νερό κινείται κάθετα, ακριβώς όπως σε μια λίμνη. Το ρεύμα απλώς μετακινεί ολόκληρη αυτή τη μάζα νερού μαζί με τη βάρκα, όπως η κυλιόμενη σκάλα μετακινεί τα σκαλοπάτια μαζί με σένα. Κάθετα προς την όχθη τη βάρκα λοιπόν τη σπρώχνει μόνο η δική της ταχύτητα 2 m/s. Το ρεύμα έχει τη διεύθυνση των όχθων, γι' αυτό ούτε βοηθά ούτε εμποδίζει τη διάσχιση. Ο χρόνος διάσχισης εξαρτάται έτσι μόνο από το πλάτος του ποταμού και από την ταχύτητα κάθετα προς την όχθη:

$$t=\frac{d}{{\upsilon }_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Και στα τριάντα αυτά δευτερόλεπτα το ρεύμα παρασύρει τη βάρκα με ταχύτητα 1 m/s. Την απόσταση κατά την οποία η βάρκα καταλήγει πιο κάτω, κατά τη ροή, την ονομάζουμε παράσυρση:

$$x={\upsilon }_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Η βάρκα φτάνει τριάντα μέτρα κατά τη ροή από το σημείο που βρίσκεται ακριβώς απέναντι. Για κάθε δύο μέτρα κάθετα προς την όχθη το ρεύμα τη μετακινεί ένα μέτρο κατά μήκος της όχθης, και έτσι το ίχνος της είναι ευθεία. Αν το ποτάμι έτρεχε με διπλάσια ταχύτητα, η βάρκα θα βρισκόταν πάλι στην απέναντι όχθη σε μισό λεπτό, αλλά εξήντα μέτρα από τον στόχο.

Πόσο γρήγορα κινείται η βάρκα ως προς την όχθη; Η συνολική ταχύτητα είναι το διανυσματικό άθροισμα

$$\overrightarrow{\upsilon }={\overrightarrow{\upsilon }}_1+{\overrightarrow{\upsilon }}_2.$$

Σχεδιάζουμε τα δύο βέλη από το ίδιο σημείο και τα συμπληρώνουμε σε παραλληλόγραμμο, η συνολική ταχύτητα είναι η διαγώνιός του. Τα βέλη είναι κάθετα μεταξύ τους, άρα το παραλληλόγραμμο είναι εδώ ορθογώνιο, όπως στην αριστερή πλευρά του σχήματος. Το μέτρο της συνολικής ταχύτητας το υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =\sqrt{{\upsilon }_1^2+{\upsilon }_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Ως προς την όχθη η βάρκα είναι ταχύτερη απ' ό,τι σε ήρεμο νερό, αλλά η επιπλέον ταχύτητα τη μεταφέρει αλλού από εκεί που θέλει. Λάθος θα ήταν να προσθέσουμε τις ταχύτητες σαν απλούς αριθμούς, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Έτσι προστίθενται μόνο βέλη που δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση, όπως στην κυλιόμενη σκάλα.

Το αποτέλεσμα μπορούμε να το ελέγξουμε με άλλο τρόπο. Σε 30 s η βάρκα με ταχύτητα $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ διανύει πλάγια διαδρομή περίπου 67,1 m. Το ίδιο μήκος έχει και η υποτείνουσα του τριγώνου που σχηματίζουν το πλάτος του ποταμού και η παράσυρση:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Συμφωνεί. Η βάρκα περνά το ποτάμι σε τριάντα δευτερόλεπτα, ως προς την όχθη κινείται με ταχύτητα περίπου 2,24 m/s και φτάνει τριάντα μέτρα κατά τη ροή.

Πώς να φτάσεις ακριβώς απέναντι

Για να φτάσει ο τιμονιέρης ακριβώς απέναντι, πρέπει να στρέψει τη βάρκα πλάγια, αντίθετα προς το ρεύμα. Ένα μέρος της ταχύτητάς της υπερνικά τότε το ρεύμα και το υπόλοιπο τη σπρώχνει κάθετα προς την όχθη. Η συνολική ταχύτητα $\overrightarrow{\upsilon }$ πρέπει να δείχνει κατευθείαν προς την απέναντι όχθη, όπως στη δεξιά πλευρά του σχήματος.

Στα δεξιά αναζήτησε το τρίγωνο που σχηματίζουν το κόκκινο βέλος, το πράσινο βέλος και το διακεκομμένο ευθύγραμμο τμήμα στο πάνω μέρος. Το διακεκομμένο τμήμα είναι η απέναντι πλευρά του παραλληλογράμμου, άρα έχει το ίδιο μήκος με το βέλος του ρεύματος και είναι παράλληλο προς αυτό. Με το πράσινο βέλος σχηματίζει γι' αυτό ορθή γωνία, όπως το ρεύμα κάτω. Υποτείνουσα είναι η ταχύτητα της βάρκας υ₁ και απέναντι από τη γωνία α βρίσκεται η ταχύτητα του ρεύματος υ₂. Επομένως

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Το ημίτονο ισούται με ένα δεύτερο για γωνία 30°. Ο τιμονιέρης πρέπει να στρέψει τη βάρκα κατά 30° από την κάθετο, αντίθετα προς το ρεύμα.

Στο ίδιο αποτέλεσμα οδηγεί και η ανάλυση της ταχύτητας της βάρκας σε δύο κάθετες συνιστώσες. Η μία δείχνει αντίθετα προς το ρεύμα και έχει μέτρο υ₁ · ημα, η άλλη δείχνει κάθετα προς την όχθη και έχει μέτρο υ₁ · συνα. Για να κινηθεί η βάρκα κατευθείαν απέναντι, η συνιστώσα αντίθετα προς το ρεύμα πρέπει να εξουδετερώνει ακριβώς το ρεύμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει υ₁ · ημα = υ₂. Αφού διαιρέσουμε με την ταχύτητα υ₁, βρίσκουμε πάλι $\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{1}{2}$. Το ρεύμα τότε δεν παρασύρει καθόλου τη βάρκα και μένει μόνο η κίνηση κάθετα προς την όχθη.

Η ταχύτητα κάθετα προς την όχθη είναι η άλλη κάθετη πλευρά και τη βρίσκουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =\sqrt{{\upsilon }_1^2-{\upsilon }_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Το ίδιο θα έβγαινε και από το υ₁ · συνα = 2 m/s · συν30°. Η αρχή της ανεξαρτησίας μας χρειάζεται εδώ για δεύτερη φορά. Τον χρόνο διάσχισης τον καθορίζει μόνο η ταχύτητα κάθετα προς την όχθη, και αυτή είναι τώρα μικρότερη απ' ό,τι πριν, άρα η διάσχιση θα διαρκέσει περισσότερο:

$$t=\frac{d}{\upsilon }=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Η ευθεία διαδρομή είναι συντομότερη και παρ' όλα αυτά διαρκεί σχεδόν πέντε δευτερόλεπτα περισσότερο. Όποιος θέλει να φτάσει στην άλλη όχθη όσο το δυνατόν πιο γρήγορα, για παράδειγμα ένας κολυμβητής στο ποτάμι, πρέπει να κατευθύνεται κάθετα και να συμβιβαστεί με την παράσυρση. Όποιος θέλει να φτάσει στην αποβάθρα ακριβώς απέναντι, πρέπει να στραφεί αντίθετα προς το ρεύμα και να συμβιβαστεί με πιο μακρύ ταξίδι.

Το ίδιο κόλπο το ξέρουν οι πιλότοι όταν φυσά πλάγιος άνεμος. Το αεροπλάνο πετά με τη μύτη λίγο προς τον άνεμο, ώστε ως προς το έδαφος να κινείται κατευθείαν προς τον προορισμό. Στην προσγείωση με δυνατό πλάγιο άνεμο πλησιάζει γι' αυτό τον διάδρομο σχεδόν πλαγιαστά και ευθυγραμμίζεται μόλις λίγο πριν αγγίξει το έδαφος.

Και μια ακόμη παγίδα. Αν το ρεύμα ήταν ταχύτερο από τη βάρκα, το ημίτονο θα έβγαινε μεγαλύτερο από ένα, και τέτοια γωνία δεν υπάρχει. Με ρεύμα εξίσου γρήγορο η βάρκα θα έπρεπε να κατευθύνεται ακριβώς αντίθετα προς το ρεύμα και κάθετα προς την όχθη δεν θα κινούνταν καθόλου. Το ρεύμα θα παρέσυρε τη βάρκα πάντα, όπως κι αν την έστρεφες. Ακόμη και όταν το ρεύμα είναι λίγο πιο αργό από τη βάρκα, ο τιμονιέρης πρέπει να στρέψει τη βάρκα σχεδόν αντίθετα προς το ρεύμα και κάθετα προς την όχθη η βάρκα κινείται με ρυθμό σαλιγκαριού.

Πλάγια βροχή από αυτοκίνητο που κινείται

Έξω βρέχει και δεν φυσά, οι σταγόνες πέφτουν κατακόρυφα, οι μεγάλες με ταχύτητα περίπου 9 m/s. Όταν το αυτοκίνητο στέκεται, από το παράθυρο βλέπεις κατακόρυφες γραμμούλες. Μόλις όμως ξεκινήσεις, οι σταγόνες στο πλαϊνό παράθυρο πετούν πλάγια προς τα πίσω, και όσο πιο γρήγορα πηγαίνεις, τόσο περισσότερο.

Θα το περιγράψουμε στο σύστημα αναφοράς που συνδέεται με το αυτοκίνητο. Ως προς το αυτοκίνητο ολόκληρο το τοπίο κινείται προς τα πίσω, δέντρα, σπίτια και σταγόνες. Κάθε σταγόνα εκτελεί έτσι δύο κινήσεις: πέφτει προς τα κάτω με ταχύτητα 9 m/s και ταυτόχρονα κινείται προς τα πίσω με την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Η συνολική ταχύτητα είναι το διανυσματικό τους άθροισμα και δείχνει πλάγια, προς τα κάτω και προς τα πίσω.

Όταν το αυτοκίνητο κινείται κι αυτό με 9 m/s, δηλαδή περίπου 32 km/h, τα δύο βέλη έχουν το ίδιο μήκος και είναι κάθετα. Η συνολική ταχύτητα είναι η διαγώνιος τετραγώνου, και οι σταγόνες πέφτουν υπό γωνία 45°. Στον αυτοκινητόδρομο το οριζόντιο βέλος είναι αρκετές φορές μακρύτερο από το κατακόρυφο και οι σταγόνες πετούν σχεδόν οριζόντια.

Τον συλλογισμό μπορούμε να τον αντιστρέψουμε. Όταν κινούμενος με 32 km/h βλέπεις τα ίχνη των σταγόνων ακριβώς υπό γωνία 45°, ξέρεις ότι οι σταγόνες πέφτουν εξίσου γρήγορα όσο κινείσαι. Από το κοντέρ και την κλίση των ιχνών εκτιμούμε την ταχύτητα της βροχής χωρίς να βγούμε από το αυτοκίνητο.

Το παρμπρίζ βρέχεται περισσότερο απ' όλα όταν οδηγείς στη βροχή, ενώ στο πίσω τζάμι πέφτουν λίγες σταγόνες. Για τον ίδιο λόγο γέρνει την ομπρέλα προς τα μπροστά όποιος τρέχει στη βροχή. Οι σταγόνες πέφτουν πάνω της, στο σύστημα αναφοράς του δρομέα, πλάγια από μπροστά. Όποιος στέκεται στη στάση, κρατά την ομπρέλα κατακόρυφα, επειδή οι σταγόνες πέφτουν πάνω της από ψηλά.

Και η ταχύτητα με την οποία οι σταγόνες χτυπούν το παρμπρίζ προκύπτει από σύνθεση. Στα 32 km/h είναι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά 9 m/s, δηλαδή $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Γι' αυτό ακριβώς οι σταγόνες χτυπούν τόσο δυνατά στο τζάμι όταν οδηγείς γρήγορα στη βροχή.

Η βάρκα, το αυτοκίνητο και οι σταγόνες κινούνταν εδώ πάνω σε ευθείες. Το αλογάκι σε ένα καρουζέλ ή η άκρη του δείκτη ενός ρολογιού όμως κινούνται κυκλικά. Πώς περιγράφουμε την κίνηση σε κύκλο, τι είναι η περίοδος, η συχνότητα και τα ακτίνια, και γιατί η άκρη του καρουζέλ κινείται ταχύτερα από τα σημεία κοντά στο κέντρο, θα το δείξει το επόμενο άρθρο, Ομαλή κυκλική κίνηση.