Composição de movimentos

Quando você anda numa escada rolante em movimento, você faz dois movimentos ao mesmo tempo: as pernas levam você pelos degraus e os degraus, enquanto isso, levam você para cima. Um barquinho num rio navega em relação à água e a água, durante todo o tempo, o arrasta. Obtemos o movimento resultante compondo os movimentos parciais, o que significa somar as velocidades deles como vetores, como setas.

Andar na escada rolante

A escada rolante do metrô sobe com velocidade v₂ = 0,5 m/s e você começa a andar nela com velocidade v₁ = 1 m/s. Você a mede em relação aos degraus, com a mesma rapidez com que partiria numa escada comum. Em relação à estação você avança mais depressa, porque os degraus se movem sozinhos sob você. As duas setas apontam no mesmo sentido, então os módulos delas simplesmente se somam:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A cada segundo você faz um metro pelos degraus e os degraus ainda levam você meio metro a mais. Se a escada rolante tem s = 30 m de comprimento, você estará lá em cima em

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Se você ficasse só parado no lugar, subiria $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, um minuto inteiro.

Para variar, você entra numa escada rolante que desce e começa a subir por ela com o mesmo passo. As setas agora apontam uma contra a outra e, por isso, os módulos se subtraem:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Você chega lá em cima, é verdade, mas os trinta metros levam de novo um minuto inteiro. Se você andasse só meio metro por segundo, estaria pisando no mesmo lugar. Com um passo ainda mais lento, a escada rolante levaria você, devagar e sempre, para baixo.

Com que velocidade, afinal, você anda? As respostas corretas são duas. Em relação aos degraus, 1 m/s; em relação à estação, 1,5 m/s ou 0,5 m/s. Depende do referencial, isto é, de em relação a quê descrevemos o movimento.

Na escada rolante as duas setas estão sobre uma mesma reta, então basta somar ou subtrair os módulos. É mais interessante quando dois movimentos apontam cada um para um lado.

O barquinho atravessando o rio

O rio tem largura d = 60 m e corre com velocidade v₂ = 1 m/s. Da margem parte um barquinho que, em água parada, navega com velocidade v₁ = 2 m/s. O barqueiro vira a proa dele perpendicularmente à margem oposta e a mantém assim o tempo todo. Ele termina bem em frente ao lugar de onde partiu? Anotamos os dados:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Não termina. Enquanto o barquinho avança de través, a água sob ele corre e o leva consigo. A proa, é verdade, aponta o tempo todo perpendicularmente à margem, mas o barquinho desliza obliquamente e chega um pedaço mais adiante, rio abaixo. Na animação isso se vê bem: o barquinho não navega para onde aponta a proa. A proa mostra para onde o barquinho navega em relação à água. E quantos metros a correnteza o leva?

Os movimentos não se atrapalham

A chave do cálculo é o princípio da independência dos movimentos: quando um corpo executa vários movimentos ao mesmo tempo, cada um deles acontece como se os outros não existissem. O corpo termina no mesmo lugar em que terminaria se os movimentos acontecessem um depois do outro.

Vamos tentar com o barquinho em dois passos. Primeiro imagine que a água está parada e o barqueiro rema por meio minuto. O barquinho atravessa em linha reta de través e para exatamente em frente. Depois ele para de remar e, por meio minuto, se deixa levar pela correnteza, que o desloca ao longo da margem. Ele termina exatamente no mesmo lugar a que chega quando faz as duas coisas ao mesmo tempo. Na realidade, os dois movimentos acontecem simultaneamente, o barquinho por isso navega obliquamente, mas nenhum atrasa o outro.

No barquinho é fácil imaginar isso. Em relação à água ele navega perpendicularmente de través, exatamente como num lago. A correnteza apenas desloca todo aquele pedaço de água, junto com o barquinho, rio abaixo, assim como a escada rolante desloca os degraus junto com você. De través, portanto, o barquinho é empurrado só pela sua própria velocidade de 2 m/s. A correnteza aponta ao longo das margens, então não ajuda a travessia nem a atrapalha. O tempo de travessia, por isso, depende só da largura do rio e da velocidade de través:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Durante os trinta segundos inteiros, a correnteza arrasta o barquinho com velocidade de 1 m/s. Chamamos de deriva a distância, rio abaixo, entre o ponto onde o barquinho chega e o ponto bem em frente:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

O barquinho chega trinta metros rio abaixo do lugar bem em frente. A cada dois metros de través, a correnteza o desloca um metro ao longo da margem, de modo que o rastro dele é uma reta. Se o rio corresse com o dobro da velocidade, o barquinho chegaria à outra margem de novo em meio minuto, mas a sessenta metros do destino.

Com que rapidez o barquinho se move em relação à margem? A velocidade resultante é a soma vetorial

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Desenhamos as duas setas a partir de um ponto e as completamos num paralelogramo, a velocidade resultante é a diagonal dele. As setas são perpendiculares entre si, então o paralelogramo aqui é um retângulo, como no lado esquerdo da figura. Calculamos o módulo da velocidade resultante pelo teorema de Pitágoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Em relação à margem o barquinho é mais rápido do que em água parada, mas essa velocidade a mais o leva para onde ele não quer. Seria um erro somar as velocidades como números comuns, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Assim se somam apenas as setas que apontam para o mesmo lado, como na escada rolante.

Podemos conferir o resultado por outro caminho. Em 30 s o barquinho, com velocidade $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, percorre uma distância oblíqua de cerca de 67,1 m. Do mesmo comprimento é a hipotenusa do triângulo formado pela largura do rio e pela deriva:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Confere. O barquinho atravessa o rio em trinta segundos, em relação à margem se move com velocidade de cerca de 2,24 m/s e chega trinta metros rio abaixo.

Como chegar bem em frente

Para chegar exatamente em frente, o barqueiro precisa virar o barquinho obliquamente contra a correnteza. Parte da velocidade dele, então, vence a correnteza e o resto o empurra de través. A velocidade resultante $\overrightarrow{v}$ deve apontar direto para a margem oposta, como no lado direito da figura.

À direita, procure o triângulo formado pela seta vermelha, pela seta verde e pelo segmento tracejado de cima. O segmento tracejado é o lado oposto do paralelogramo, então tem o mesmo comprimento da seta da correnteza e é paralelo a ela. Com a seta verde ele forma, por isso, um ângulo reto, assim como a correnteza embaixo. A hipotenusa é a velocidade do barquinho v₁ e oposta ao ângulo α está a velocidade da correnteza v₂. Por isso

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

O seno é igual a um meio para o ângulo de 30°. O barqueiro precisa virar o barquinho 30° a partir da perpendicular, contra a correnteza.

A decomposição da velocidade do barquinho em duas componentes perpendiculares também leva ao mesmo resultado. Uma aponta contra a correnteza e tem módulo v₁ · senα, a outra aponta de través e tem módulo v₁ · cos α. Para o barquinho navegar direto em frente, a componente contra a correnteza precisa compensar exatamente a correnteza, deve valer v₁ · senα = v₂. Depois de dividir pela velocidade v₁, obtemos de novo $\mathrm{sen}\alpha =\frac{1}{2}$. A correnteza então não arrasta o barquinho para lado nenhum e resta só o movimento de través.

A velocidade de través é o outro cateto, que calculamos pelo teorema de Pitágoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

O mesmo sairia de v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. O princípio da independência vem a calhar aqui pela segunda vez. O tempo de travessia é determinado só pela velocidade de través, e ela agora é menor do que antes, então a travessia dura mais:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

O caminho direto é mais curto e, mesmo assim, dura quase cinco segundos a mais. Quem quer chegar à outra margem o mais depressa possível, por exemplo um nadador no rio, deve apontar perpendicularmente e se conformar com a deriva. Quem quer chegar a um píer exatamente em frente precisa virar contra a correnteza e se conformar com uma travessia mais longa.

Os pilotos conhecem o mesmo truque com vento lateral. O avião voa com o nariz um pouco contra o vento, para que em relação ao solo se mova direto para o destino. No pouso, com forte vento lateral, ele por isso se aproxima da pista como se fosse de lado e só se alinha bem rente ao solo.

Mais uma armadilha. Se a correnteza fosse mais rápida do que o barquinho, o seno sairia maior do que um, e um ângulo assim não existe. Com a correnteza igualmente rápida, ele teria de apontar direto contra a correnteza e de través não se moveria nada. A correnteza sempre arrastaria o barquinho, por mais que ele apontasse. Já quando a correnteza é apenas um pouco mais lenta do que o barquinho, o barqueiro precisa apontar quase contra a correnteza e de través se move só num ritmo de lesma.

Chuva oblíqua vista do carro

Lá fora chove e não há vento, então as gotas caem na vertical, as grandes a cerca de 9 m/s. Quando o carro está parado, você vê da janela riscos verticais. Assim que você arranca, porém, as gotas junto à janela lateral vão obliquamente para trás, e quanto mais depressa você anda, mais.

Descrevemos isso no referencial ligado ao carro. Em relação ao carro, toda a paisagem se desloca para trás, árvores, casas e gotas. Cada gota executa, assim, dois movimentos: cai para baixo com velocidade de 9 m/s e ao mesmo tempo se move para trás com a velocidade do carro. A velocidade resultante é a soma vetorial delas e aponta obliquamente para baixo e para trás.

Quando o carro anda também a 9 m/s, ou seja, a cerca de 32 km/h, as duas setas têm o mesmo comprimento e são perpendiculares. A resultante é a diagonal de um quadrado, então as gotas caem com ângulo de 45°. Na rodovia a seta horizontal é várias vezes mais longa que a vertical e as gotas vão quase na horizontal.

Podemos inverter o raciocínio. Quando, andando a 32 km/h, você vê os riscos das gotas exatamente a 45°, sabe que as gotas caem com a mesma rapidez com que você anda. Pelo velocímetro e pela inclinação dos riscos estimamos a velocidade da chuva sem descer do carro.

O para-brisa, ao andar na chuva, se molha mais, enquanto no vidro traseiro caem poucas gotas. Pelo mesmo motivo, quem corre na chuva inclina o guarda-chuva para a frente. As gotas, no referencial do corredor, caem sobre ele obliquamente pela frente. Quem está no ponto de ônibus segura o guarda-chuva na vertical, porque as gotas caem sobre ele de cima.

Também a velocidade com que as gotas atingem o para-brisa se compõe. A 32 km/h é a diagonal de um quadrado de lado 9 m/s, ou seja, $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. É justamente por isso que as gotas, numa viagem rápida na chuva, tamborilam tão alto no vidro.

O barquinho, o carro e as gotas se moveram aqui em linhas retas. Já o cavalinho do carrossel ou a ponta do ponteiro de um relógio giram em círculos. O próximo artigo, Movimento circular uniforme, mostra como descrever o movimento em uma circunferência, o que são período, frequência e radianos e por que a borda do carrossel anda mais depressa do que os lugares perto do centro.