Compunerea mișcărilor

Când mergi pe o scară rulantă aflată în mișcare, efectuezi două mișcări în același timp: picioarele te poartă pe trepte, iar treptele te duc în sus. O barcă de pe râu înaintează față de apă, iar apa o poartă tot timpul cu ea. Mișcarea rezultantă o obținem compunând mișcările componente, adică adunând vitezele lor ca vectori, ca pe niște săgeți.

Mersul pe scara rulantă

Scara rulantă din metrou urcă cu viteza v₂ = 0,5 m/s, iar tu pășești pe ea cu viteza v₁ = 1 m/s. O măsori față de trepte; la fel de repede ai porni și pe o scară obișnuită. Față de stație avansezi mai repede, pentru că treptele alunecă singure sub tine. Ambele săgeți arată în același sens, deci mărimile lor pur și simplu se adună:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

În fiecare secundă faci un metru pe trepte, iar treptele te mai duc încă o jumătate de metru. Dacă scara rulantă are lungimea s = 30 m, ajungi sus în

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Dacă ai sta pe loc, ai urca $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, un minut întreg.

Acum urci pe o scară rulantă care coboară și pornești în sus cu același pas. Săgețile arată acum în sensuri opuse, deci mărimile se scad:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ajungi sus, într-adevăr, dar cei treizeci de metri îți iau iarăși un minut întreg. Dacă ai merge cu doar jumătate de metru pe secundă, ai călca pe loc. Cu un pas și mai lent, scara rulantă te-ar duce încet, dar sigur, în jos.

Cu ce viteză mergi de fapt? Sunt corecte două răspunsuri. Față de trepte 1 m/s, față de stație 1,5 m/s sau 0,5 m/s. Depinde de sistemul de referință, adică de corpul față de care descriem mișcarea.

Pe scara rulantă ambele săgeți stau pe aceeași dreaptă, așa că e de ajuns să adunăm sau să scădem mărimile. Mai interesant devine când cele două mișcări au direcții diferite.

Barca ce traversează râul

Râul are lățimea d = 60 m și curge cu viteza v₂ = 1 m/s. De la mal pornește o barcă ce înaintează pe apă stătătoare cu viteza v₁ = 2 m/s. Cârmaciul își orientează barca cu prora perpendicular pe malul opus și o menține tot timpul așa. Va ajunge exact în fața locului de unde a plecat? Notăm datele problemei:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Nu ajunge. În timp ce barca taie râul de-a curmezișul, apa curge sub ea și o poartă cu sine. Prora arată mereu perpendicular pe mal, dar barca alunecă oblic și acostează ceva mai departe în aval. În animație se vede bine: barca nu merge încotro arată prora. Prora arată încotro merge barca față de apă. Și cu câți metri o duce curentul?

Mișcările nu se încurcă una pe alta

Cheia calculului este principiul independenței mișcărilor: dacă un corp efectuează simultan mai multe mișcări, fiecare se desfășoară ca și cum celelalte nu ar exista. Corpul ajunge în același loc ca și cum mișcările s-ar fi petrecut una după alta.

Să încercăm cu barca, în doi pași. Mai întâi închipuie-ți că apa stă pe loc și cârmaciul vâslește o jumătate de minut. Barca traversează drept, de-a curmezișul, și se oprește exact în fața punctului de plecare. Apoi încetează să vâslească și timp de o jumătate de minut se lasă dusă de curent, care o mută de-a lungul malului. Ajunge exact în locul în care ar ajunge dacă ar face ambele lucruri deodată. În realitate cele două mișcări se petrec simultan, de aceea barca înaintează oblic, dar niciuna nu o încurcă pe cealaltă.

În cazul bărcii e ușor de închipuit. Față de apă ea înaintează perpendicular, de-a curmezișul, exact ca pe un iaz. Curentul doar mută în aval toată porțiunea aceea de apă împreună cu barca, la fel cum scara rulantă mută treptele împreună cu tine. De-a curmezișul barca este deci împinsă doar de propria viteză de 2 m/s. Curentul merge de-a lungul malurilor, așa că nici nu ajută, nici nu încurcă traversarea. Durata traversării depinde deci numai de lățimea râului și de viteza de-a curmezișul:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Timp de treizeci de secunde barca este dusă de curent cu viteza de 1 m/s. Distanța cu care barca acostează mai departe în aval se numește derivă:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Barca acostează la treizeci de metri în aval față de punctul aflat exact vizavi. La fiecare doi metri parcurși de-a curmezișul, curentul o mută cu un metru de-a lungul malului, așa că urma ei este o dreaptă. Dacă râul ar curge de două ori mai repede, barca ar ajunge pe celălalt mal tot în jumătate de minut, dar la șaizeci de metri de țintă.

Cu ce viteză se mișcă barca față de mal? Viteza rezultantă este suma vectorială

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Desenăm ambele săgeți din același punct și le completăm până la un paralelogram; viteza rezultantă este diagonala lui. Săgețile sunt perpendiculare una pe alta, deci paralelogramul este aici un dreptunghi, ca în partea stângă a figurii. Mărimea vitezei rezultante o calculăm cu teorema lui Pitagora:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Față de mal barca este mai rapidă decât pe apă stătătoare, dar viteza în plus o duce altundeva decât vrea ea. Ar fi o greșeală să adunăm vitezele ca pe niște numere obișnuite, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Așa se adună doar săgețile îndreptate în același sens, ca pe scara rulantă.

Rezultatul îl putem verifica pe altă cale. În 30 s barca, cu viteza $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, parcurge oblic o distanță de aproximativ 67,1 m. La fel de lungă este ipotenuza triunghiului format din lățimea râului și deriva:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Se potrivește. Barca traversează râul în treizeci de secunde, se mișcă față de mal cu viteza de aproximativ 2,24 m/s și acostează la treizeci de metri în aval.

Cum ajungi exact vizavi

Dacă cârmaciul vrea să acosteze exact vizavi, trebuie să întoarcă barca oblic, contra curentului. O parte din viteza ei învinge atunci curentul, iar restul o împinge de-a curmezișul. Viteza rezultantă $\overrightarrow{v}$ trebuie să fie îndreptată direct spre malul opus, ca în partea dreaptă a figurii.

În dreapta caută triunghiul format din săgeata roșie, săgeata verde și segmentul întrerupt de sus. Segmentul întrerupt este latura opusă a paralelogramului, deci are aceeași lungime ca săgeata curentului și este paralel cu ea. Cu săgeata verde formează de aceea un unghi drept, ca și curentul de jos. Ipotenuza este viteza bărcii v₁, iar cateta opusă unghiului α este viteza curentului v₂. Prin urmare

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sinusul este egal cu o doime pentru unghiul de 30°. Cârmaciul trebuie să întoarcă barca cu 30° față de perpendiculară, contra curentului.

La același rezultat duce și descompunerea vitezei bărcii în două componente perpendiculare. Una este îndreptată contra curentului și are mărimea v₁ · sin α, cealaltă este îndreptată de-a curmezișul și are mărimea v₁ · cos α. Pentru ca barca să ajungă exact vizavi, componenta contra curentului trebuie să compenseze exact curentul, adică trebuie să avem v₁ · sin α = v₂. După împărțirea la viteza v₁ obținem din nou $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Curentul nu mai duce barca nicăieri și rămâne doar mișcarea de-a curmezișul.

Viteza de-a curmezișul este cealaltă catetă; o aflăm cu teorema lui Pitagora:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

La fel ar ieși v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Principiul independenței ne ajută aici a doua oară. Durata traversării este determinată doar de viteza de-a curmezișul, iar aceasta este acum mai mică decât înainte, deci traversarea durează mai mult:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Drumul direct este mai scurt și totuși durează cu aproape cinci secunde mai mult. Cine vrea să ajungă pe celălalt mal cât mai repede, de exemplu un înotător într-un râu, trebuie să țintească perpendicular și să se împace cu deriva. Cine vrea să acosteze la ponton exact vizavi trebuie să îndrepte barca oblic, contra curentului, și să se împace cu o traversare mai lungă.

Același truc îl cunosc piloții în vânt lateral. Avionul zboară cu botul puțin contra vântului, ca să se miște față de sol direct spre țintă. La aterizarea cu vânt lateral puternic, avionul se apropie de pistă parcă cu botul într-o parte și se aliniază cu ea abia chiar deasupra solului.

Încă o capcană. Dacă curentul ar fi mai rapid decât barca, sinusul ar ieși mai mare decât unu, iar un astfel de unghi nu există. La un curent la fel de rapid barca ar trebui să țintească direct contra curentului și nu s-ar mișca deloc de-a curmezișul. Curentul ar duce-o mereu în aval, oricum ar ținti. Chiar și când curentul este doar puțin mai lent decât barca, cârmaciul trebuie să țintească aproape contra curentului, iar de-a curmezișul barca înaintează în ritm de melc.

Ploaia oblică văzută din mașina în mișcare

Afară plouă și nu bate vântul, așa că picăturile cad vertical, cele mari cu viteza de aproximativ 9 m/s. Când mașina stă pe loc, vezi pe geam dâre verticale. Dar de îndată ce pornești, picăturile de dincolo de geamul lateral zboară oblic spre spate, și cu cât mergi mai repede, cu atât mai mult.

Descriem situația în sistemul de referință legat de mașină. Față de mașină tot peisajul alunecă spre spate: copacii, casele și picăturile. Fiecare picătură efectuează astfel două mișcări: cade în jos cu viteza de 9 m/s și în același timp se mișcă spre spate cu viteza mașinii. Viteza rezultantă este suma lor vectorială și este îndreptată oblic în jos și spre spate.

Când mașina merge tot cu 9 m/s, adică aproximativ 32 km/h, ambele săgeți sunt la fel de lungi și perpendiculare. Rezultanta este diagonala unui pătrat, deci picăturile cad sub unghiul de 45°. Pe autostradă săgeata orizontală este de câteva ori mai lungă decât cea verticală, iar picăturile zboară aproape orizontal.

Raționamentul se poate inversa. Dacă, mergând cu 32 km/h, vezi dârele picăturilor exact sub unghiul de 45°, știi că picăturile cad la fel de repede cum mergi tu. Din vitezometru și din înclinația dârelor putem estima viteza ploii fără să coborâm din mașină.

Când mergi prin ploaie, parbrizul se udă cel mai tare, în timp ce pe luneta din spate cad puține picături. Din același motiv își înclină umbrela înainte oricine aleargă prin ploaie. Picăturile cad pe ea, în sistemul de referință al alergătorului, oblic dinspre față. Cine stă în stație ține umbrela vertical, pentru că picăturile cad de sus.

Și viteza cu care picăturile lovesc parbrizul se compune. La 32 km/h este diagonala unui pătrat cu latura de 9 m/s, deci $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tocmai de aceea, când mergi repede prin ploaie, picăturile răpăie atât de tare pe parbriz.

Barca, mașina și picăturile s-au mișcat aici pe drepte. Calul de la carusel sau vârful acului de ceas se rotesc însă în cerc. Cum descriem mișcarea pe cerc, ce sunt perioada, frecvența și radianii și de ce marginea caruselului merge mai repede decât locurile de lângă centru, vei afla în articolul următor, Mișcarea circulară uniformă.