Samengestelde bewegingen

Als je op een rijdende roltrap loopt, voer je twee bewegingen tegelijk uit: je benen dragen je over de treden en de treden brengen je ondertussen omhoog. Een bootje op een rivier vaart ten opzichte van het water en het water voert het ondertussen voortdurend mee. De resulterende beweging krijgen we door de deelbewegingen samen te stellen, wat betekent dat we hun snelheden optellen als vectoren, als pijlen.

Lopen op een roltrap

De roltrap in het metrostation stijgt met een snelheid van v₂ = 0,5 m/s en jij loopt erop met een snelheid van v₁ = 1 m/s. Die meet je ten opzichte van de treden, even snel als je op een gewone trap zou lopen. Ten opzichte van het station kom je sneller vooruit, omdat de treden onder je vanzelf wegschuiven. Beide pijlen wijzen dezelfde kant op, dus hun groottes worden gewoon opgeteld:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

Elke seconde zet je een meter over de treden en de treden brengen je daarbovenop nog een halve meter verder. Als de roltrap s = 30 m lang is, ben je boven na

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Als je gewoon stil zou blijven staan, zou je $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ rijden, een hele minuut.

Voor de verandering stap je op een roltrap die naar beneden rijdt en loop je er met dezelfde pas omhoog. De pijlen wijzen nu tegen elkaar in en de groottes worden daarom afgetrokken:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Je komt weliswaar boven, maar dertig meter kost je weer een hele minuut. Als je maar een halve meter per seconde zou lopen, zou je niet vooruitkomen. Bij een nog lagere pas zou de roltrap je langzaam maar zeker naar beneden brengen.

Hoe snel loop je eigenlijk? Twee antwoorden zijn juist. Ten opzichte van de treden 1 m/s, ten opzichte van het station 1,5 m/s of 0,5 m/s. Het hangt af van het referentiestelsel, dus van het voorwerp ten opzichte waarvan we de beweging beschrijven.

Op de roltrap liggen beide pijlen op één lijn en dus volstaat het de groottes op te tellen of af te trekken. Interessanter wordt het op het moment dat twee bewegingen elk een andere kant op wijzen.

Een bootje over de rivier

De rivier is d = 60 m breed en stroomt met een snelheid van v₂ = 1 m/s. Van de oever steekt een bootje af dat op stilstaand water met een snelheid van v₁ = 2 m/s vaart. De roerganger richt de boeg loodrecht op de overkant en houdt hem de hele tijd zo. Komt hij precies tegenover de plek uit waar hij vertrok? We schrijven de gegevens op:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Het bootje richt zich loodrecht op de overkant (grijze gestippelde lijn), maar de stroom voert het mee, dus het vaart schuin langs het rode spoor en komt verder stroomafwaarts aan. d is de breedte van de rivier, x de afdrift

Nee. Terwijl het bootje dwars over vaart, stroomt het water eronder en neemt het mee. De boeg wijst weliswaar voortdurend loodrecht op de oever, maar het bootje schuift schuin en komt een stuk verder stroomafwaarts aan. In de animatie is dat goed te zien: het bootje vaart niet waar zijn boeg heen wijst. De boeg laat zien waarheen het bootje vaart ten opzichte van het water. En hoeveel meter voert de stroom het mee?

Bewegingen hinderen elkaar niet

De sleutel tot de berekening is het onafhankelijkheidsprincipe van bewegingen: als een voorwerp meerdere bewegingen tegelijk uitvoert, verloopt elk ervan alsof de andere er niet waren. Het voorwerp komt op dezelfde plek terecht alsof de bewegingen na elkaar waren verlopen.

Laten we het met het bootje in twee stappen proberen. Stel je eerst voor dat het water stilstaat en de roerganger een halve minuut roeit. Het bootje vaart recht over en stopt precies tegenover het beginpunt. Daarna houdt hij op met roeien en laat zich een halve minuut door de stroom meevoeren, die hem langs de oever verschuift. Hij komt precies uit op de plek waar hij terechtkomt als hij beide tegelijk doet. In werkelijkheid verlopen beide bewegingen tegelijk, het bootje vaart daarom schuin, maar geen van beide houdt de ander op.

Bij het bootje kunnen we het ons gemakkelijk voorstellen. Ten opzichte van het water vaart het loodrecht dwars over, precies als op een vijver. De stroom verschuift alleen dat hele stuk water met het bootje erop stroomafwaarts, net zoals de roltrap de treden met jou erop verschuift. Dwars over wordt het bootje daarom alleen gedreven door zijn eigen snelheid van 2 m/s. De stroom loopt langs de oevers, dus hij helpt de oversteek niet en belemmert haar ook niet. De tijd van de oversteek hangt daarom alleen af van de breedte van de rivier en de snelheid dwars over:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

Al die dertig seconden voert de stroom het bootje mee met een snelheid van 1 m/s. De afstand waarover het bootje verder stroomafwaarts aankomt, noemen we de afdrift:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Het bootje komt dertig meter stroomafwaarts van de plek recht tegenover aan. Bij elke twee meter dwars over verschuift de stroom het een meter langs de oever, dus zijn spoor is een rechte lijn. Bij een twee keer zo snelle rivier zou het bootje op de andere oever weer na een halve minuut zijn, maar zestig meter van het doel.

Snelheidspijlen. Links richt het bootje zich loodrecht op de oever: rood de snelheid van het bootje v⃗_1, blauw de snelheid van de stroom v⃗_2 en groen de resulterende v⃗. Rechts richt het bootje zich onder een hoek α tegen de stroom in en loopt de resulterende snelheid recht dwars over

Hoe snel beweegt het bootje ten opzichte van de oever? De resulterende snelheid is de vectorsom

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Beide pijlen tekenen we vanuit één punt en we vullen ze aan tot een parallellogram, de resulterende snelheid is de diagonaal. De pijlen staan loodrecht op elkaar, dus het parallellogram is hier een rechthoek, zoals links in de afbeelding. De grootte van de resulterende snelheid berekenen we met de stelling van Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

Ten opzichte van de oever is het bootje sneller dan op stilstaand water, maar die extra snelheid voert het ergens anders heen dan het wil. Een fout zou zijn de snelheden als gewone getallen op te tellen, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Zo worden alleen pijlen opgeteld die dezelfde kant op wijzen, zoals op de roltrap.

Het resultaat kunnen we langs een andere weg controleren. In 30 s legt het bootje met snelheid $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ een schuine weg af van ongeveer 67,1 m. Even lang is de schuine zijde van de driehoek die de breedte van de rivier en de afdrift vormen:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Klopt. Het bootje steekt de rivier over in dertig seconden, beweegt zich daarbij ten opzichte van de oever met een snelheid van ongeveer 2,24 m/s en komt dertig meter stroomafwaarts aan.

Hoe kom je precies tegenover aan

Als de roerganger precies tegenover moet aankomen, moet hij het bootje schuin tegen de stroom in richten. Een deel van zijn snelheid werkt dan de stroom tegen en de rest drijft hem dwars over. De resulterende snelheid $\vec{v}$ moet recht op de overkant wijzen, zoals rechts in de afbeelding.

Zoek rechts de driehoek die de rode pijl, de groene pijl en het gestippelde lijnstuk bovenaan vormen. Het gestippelde lijnstuk is de overstaande zijde van het parallellogram, dus even lang als de pijl van de stroom en evenwijdig eraan. Met de groene pijl maakt het daarom een rechte hoek, net als de stroom onderaan. De schuine zijde is de snelheid van het bootje v₁ en tegenover hoek α ligt de snelheid van de stroom v₂. Daarom is

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

De sinus is een half bij een hoek van 30°. De roerganger moet het bootje 30° vanaf de loodlijn tegen de stroom in richten.

Hetzelfde resultaat geeft het ontbinden van de snelheid van het bootje in twee loodrechte componenten. De ene wijst tegen de stroom in en heeft grootte v₁ · sin α, de andere wijst dwars over en heeft grootte v₁ · cos α. Als het bootje recht tegenover moet aankomen, moet de component tegen de stroom in de stroom precies compenseren, er moet gelden v₁ · sin α = v₂. Na delen door de snelheid v₁ krijgen we opnieuw $\sin α = \frac{1}{2}$ . De stroom voert het bootje dan nergens heen en er blijft alleen de beweging dwars over.

De snelheid dwars over is de andere rechthoekszijde, die berekenen we met de stelling van Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Hetzelfde zou uitkomen als v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Het onafhankelijkheidsprincipe komt hier voor de tweede keer van pas. De tijd van de oversteek wordt alleen bepaald door de snelheid dwars over, en die is nu kleiner dan eerder, dus de oversteek duurt langer:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

De directe weg is korter en toch duurt hij bijna vijf seconden langer. Wie zo snel mogelijk aan de overkant wil komen, bijvoorbeeld een zwemmer in een rivier, moet loodrecht richten en zich met de afdrift verzoenen. Wie bij de steiger precies tegenover wil aankomen, moet zich tegen de stroom in richten en zich verzoenen met een langere vaartijd.

Dezelfde truc kennen piloten bij zijwind. Het vliegtuig vliegt met de neus een beetje tegen de wind in, zodat het ten opzichte van de grond recht op het doel afgaat. Bij de landing in een sterke zijwind nadert het de landingsbaan daarom als het ware zijwaarts en richt zich pas vlak boven de grond recht.

Nog een valstrik. Als de stroom sneller was dan het bootje, zou de sinus groter dan één uitkomen en zo'n hoek bestaat niet. Bij een even snelle stroom zou het bootje recht tegen de stroom in moeten richten en zou het dwars over helemaal niet vooruitkomen. De stroom zou het bootje altijd meevoeren, hoe het zich ook richt. Al als de stroom maar een beetje langzamer is dan het bootje, moet de roerganger bijna tegen de stroom in richten en beweegt het dwars over in een slakkengang.

Schuine regen vanuit een rijdende auto

Buiten regent het en er waait geen wind, dus de druppels vallen verticaal, de grote met ongeveer 9 m/s. Als de auto stilstaat, zie je door het raam verticale streepjes. Zodra je wegrijdt, vliegen de druppels achter het zijraam schuin naar achteren, en hoe sneller je rijdt, hoe meer.

We beschrijven het in het referentiestelsel dat aan de auto vastzit. Ten opzichte van de auto schuift het hele landschap naar achteren, bomen, huizen en druppels. Elke druppel voert zo twee bewegingen uit: ze valt omlaag met 9 m/s en beweegt tegelijk naar achteren met de snelheid van de auto. De resulterende snelheid is hun vectorsom en wijst schuin omlaag en naar achteren.

Als de auto ook 9 m/s rijdt, dus ongeveer 32 km/h, zijn beide pijlen even lang en loodrecht. De resulterende is de diagonaal van een vierkant, dus de druppels vallen onder een hoek van 45°. Op de snelweg is de horizontale pijl een paar keer zo lang als de verticale en vliegen de druppels bijna horizontaal.

De redenering kunnen we omdraaien. Als je bij 32 km/h de sporen van de druppels precies onder een hoek van 45° ziet, weet je dat de druppels even snel vallen als je rijdt. Uit de snelheidsmeter en de helling van de sporen schatten we de snelheid van de regen, zonder uit te stappen.

De voorruit wordt bij het rijden in de regen het meest nat, terwijl op de achterruit weinig druppels komen. Om dezelfde reden houdt iedereen die in de regen rent zijn paraplu naar voren gekanteld. De druppels vallen in het referentiestelsel van de hardloper namelijk schuin van voren op hem. Wie bij de bushalte staat, houdt zijn paraplu verticaal, omdat de druppels van boven vallen.

Ook de snelheid waarmee de druppels op de voorruit slaan, wordt samengesteld. Bij 32 km/h is dat de diagonaal van een vierkant met zijde 9 m/s, dus $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Juist daarom roffelen de druppels bij snel rijden in de regen zo luid op het glas.

Het bootje, de auto en de druppels bewogen zich hier langs rechte lijnen. Maar een paardje in de draaimolen of de punt van een klokwijzer draaien rond. Hoe je een beweging langs een cirkel beschrijft, wat omlooptijd, frequentie en radialen zijn en waarom de rand van de draaimolen sneller gaat dan de plekken bij het midden, laat het volgende artikel zien, Eenparige cirkelbeweging.

« Vorige: Vrije val

Volgende: Eenparige cirkelbeweging »